楊步恩

（大連理工大學(xué)物理與光電學(xué)院 遼寧大連 116024）

太陽(yáng)系行星運(yùn)動(dòng)遵循似不確定關(guān)系

楊步恩

（大連理工大學(xué)物理與光電學(xué)院 遼寧大連 116024）

速率比 似作用量子 似不確定關(guān)系 行星軌道 分布 似精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)

1 引言

20世紀(jì)20年代，為創(chuàng)建原子量子理論貢獻(xiàn)卓著的物理學(xué)家海森伯（Heisen berg）發(fā)現(xiàn)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系［1］

闡明了原子系統(tǒng)粒子的“波粒二象性”及其遵循的定則．有許多實(shí)驗(yàn)可以證明測(cè)量粒子位置的精度Δq和動(dòng)量的精度Δp之間的不確定關(guān)系．

時(shí)至今日，此不確定關(guān)系依然限于原子系統(tǒng)是適用的，此觀念根深蒂固．在這種情況下，假設(shè)有人說(shuō)，太陽(yáng)系的行星、小行星和彗星的行為也有似“波粒二象性”，而且遵循似不確定關(guān)系，如牛頓的萬(wàn)有引力定律一樣，能推出開(kāi)普勒（Kepler）行星運(yùn)動(dòng)第三定律．如果這不是“天方夜譚”，那么，贊成此觀點(diǎn)的人似乎為零．

通常說(shuō)天體力學(xué)能幫助科學(xué)家預(yù)言行星未來(lái)的位置，那么，與此相反，值得注意的是，行星軌道分布的規(guī)律性，自牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律以來(lái)300年間，一直是天文學(xué)家感到茫然失措的問(wèn)題．在我們看來(lái)，這方面不能取得進(jìn)展的原因，或許是宇宙間存在尚未發(fā)現(xiàn)的自然規(guī)律．然而，這正是該文要探索的目標(biāo)．

為此，在這提供一個(gè)值得大家關(guān)注的線(xiàn)索，即從天文觀測(cè)數(shù)據(jù)中歸納出天然行星軌道速度分布的特征［］．

真空中的光速與行星軌道平均速度之比（速率比）等于常數(shù)λ的整數(shù)倍

其中“速率比”的系數(shù)λ≈2．099×103．

當(dāng)似量子數(shù)n取3，4，5，…整數(shù)時(shí)，由式（2）給出行星、矮行星等天體的“速率比”，如表1所示．對(duì)行星來(lái)說(shuō)，λ系數(shù)意義重大，借助于此常數(shù)，根據(jù)牛頓引力定律可構(gòu)造一個(gè)行星系的似作用量子

其中c為真空光速，G為引力恒量，M為太陽(yáng)質(zhì)量．

在行星系，η常量的作用相當(dāng)于原子系統(tǒng)中普朗克（M．Plack）常量?扮演的角色．

因此，在行星系，描述行星似“波粒二象性”行為的“似不確定關(guān)系”是

其中r是行星軌道距離，v是行星軌道速度．

同理，行星的“時(shí)間-能量”“似不確定關(guān)系”是

式中t是行星運(yùn)行時(shí)間，ε是行星機(jī)械能密度．

以下各節(jié)，將根據(jù)“似不確定關(guān)系”式（4）和式（5）來(lái)推導(dǎo)行星軌道參數(shù)似量子化形式；導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)第三定律；證明“似不確定關(guān)系”與最小能量原理是相容的；闡明引進(jìn)λ常數(shù)的意義．

表1 行星軌道的和軌道角動(dòng)量的密度J

表1 行星軌道的和軌道角動(dòng)量的密度J

注解：（1）*號(hào)表示矮行星；（2）大行星的nφ＝n，類(lèi)冥王星的nφ＝n-1，鬩神星的nφ＝n-4；（3）λ＝2．099×103；η＝9．285×1014m2/s．

行星順序似量子數(shù)n λn/×103觀測(cè)值cv/×103似角量子數(shù)nφηnφ/（×1014m2·s-1）觀測(cè)值J/（×1014m2·s-1）水星3 6．297 6．260 3 27．85 27．13金星4 8．396 8．558 4 37．14 37．89地球5 10．50 10．06 5 46．43 44．55火星6 12．594 12．42 6 55．71 54．78谷神星* 8 16．792 —8 74．25—木星11 23．089 22．96 11 102．14 101．5土星15 31．485 31．1 15 139．28 137．4天王星21 44．079 44．02 21 194．99 194．9海王星26___ _ 54．574 _____ 55．21_____ _______ 26 241．41 244．4__________冥王星*_ ____30____ _ 62．97_ _____ 63．25 29 269．27 270．9__________妊神星* ____31____ _ 65．10_ _______—30 278．55—鳥(niǎo)神星* ____32____ _ 67．20_ _______—31 287．84—鬩神星*_ ____39 81．90_ _______—35 324．98 —

2 “似不確定關(guān)系”與行星軌道距離分布

由天然行星軌道“速率比”分布式（2），知道

將v代入“似不確定關(guān)系”式（4），則得

假如令n取3，4，5，…整數(shù)，代入式（9），則得行星、矮行軌道半長(zhǎng)徑數(shù)值，如表2所示．可見(jiàn)，在海王星和冥王星方面，由式（9）得到比波得（Bode）定則要正確的數(shù)值．

3 “似不確定關(guān)系”與行星軌道平均運(yùn)動(dòng)

式中常量κ≈108°．9/day．

如果令n等于3，4，5，…整數(shù)，那么由式（13）給出行星軌道平均運(yùn)動(dòng)ν，如表2所示．

表2 行星軌道距離a與平均運(yùn)動(dòng)ν［3］

4 “似不確定關(guān)系”與Kepler第三定律

假如將式（7）取立方，則得

再將（13）取平方，得到

若將式（14）和式（15）相乘，并化簡(jiǎn)，則得

此式正是Kepler行星運(yùn)動(dòng)第三定律．

5 “似不確定關(guān)系”和最小能量原理

現(xiàn)在換一個(gè)角度來(lái)討論行星軌道距離分布，即從“最小能量原理”出發(fā)，在角動(dòng)量守恒的前提下，系統(tǒng)的機(jī)械能ε（r，θ）變分等于零

其中，r為向徑，θ＝（v，r）．

行星的機(jī)械能密度為

此外，根據(jù)行星軌道角動(dòng)量守恒，以及參考索末菲量子化假設(shè)，因此行星軌道角動(dòng)量密度

其中nφ是似角量子數(shù)，nφ的取值范圍是

將式（19）代入式（18），消去v，則得

由此不難看出，θ＝90°意味著行星軌道是圓形，按照索末菲量子假設(shè)要求，似角量子數(shù)nφ＝n，代入式（23），則得行星軌道距離為

而行星軌道角動(dòng)量密度為

最近10余年，在柯伊伯帶又發(fā)現(xiàn)了幾顆類(lèi)冥王星，其軌道偏心率e接近冥王星．根據(jù)行星軌道偏心率似量子化表達(dá)式

估計(jì)這類(lèi)行星似角量子數(shù)nφ＝n-1，所以，類(lèi)冥王星的角動(dòng)量密度為

然而，鬩神星軌道偏心率特別大，估計(jì)

總而言之，應(yīng)用最小能量原理和似量子假設(shè)，在角動(dòng)量守恒的條件下，也會(huì)得到此前“似不確定關(guān)系”相同形式的行星軌道距離表達(dá)式．

6 引進(jìn)常數(shù)λ的意義

20世紀(jì)80年代初，即發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系天然行星軌道“速率比”的分布規(guī)律式（2），系數(shù)λ≈2．099× 103（約2．1×103）．用此數(shù)來(lái)表達(dá)行星系的似作用量子η

借助于玻爾-索末菲量子化假設(shè)，以η為基本常量表述行星橢圓軌道參數(shù)［5］．

為了證明所述觀點(diǎn)的真實(shí)性，引用1986年的《關(guān)于太陽(yáng)系行星軌道分布規(guī)律的探討》一文中闡明過(guò)的兩個(gè)問(wèn)題［4］．

（1）行星徑向概率的最可幾位置

描述行星運(yùn)動(dòng)的似定態(tài)薛定諤方程為

對(duì)該方程求解，得徑向波函數(shù)Rnl，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，僅考慮當(dāng)r很大時(shí)，Rnl的漸近形式

根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，行星運(yùn)動(dòng)的徑向概率為

由此推出行星運(yùn)動(dòng)的徑向最可幾位置

該式與“似不確定關(guān)系”得到的軌道距離式（7）全同．

（2）“速率比”系數(shù)λ的物理意義

根據(jù)描述行星運(yùn)動(dòng)的似相對(duì)論性狄拉克方程，求解得行星總能量密度E的本征值為

是相對(duì)論修正項(xiàng)，其中似精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)

因此，在略去修正項(xiàng)O（α4）之后，在引力場(chǎng)的行星機(jī)械能密度ε為

另一方面，由天體力學(xué)的活力定理知道［6］

該式與式（33）相等，則得行星軌道半長(zhǎng)徑為

由此，得到似精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α

可見(jiàn)，λ與α成倒數(shù)關(guān)系．

7 結(jié)論

（1）太陽(yáng)系天然行星軌道“速率比”的分布

（3）描述行星運(yùn)動(dòng)似“波粒二象性”的“似不確定關(guān)系”

（4）根據(jù)“似不確定關(guān)系”推出行星軌道半長(zhǎng)徑

（5）“似不確定關(guān)系”是宇宙間基本規(guī)律之一，小至原子系統(tǒng)，大至天文系統(tǒng)均成立，如牛頓引力定律一樣，能推出開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律．

（6）常數(shù)λ與似能量精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α是互為倒數(shù)關(guān)系．

1 W·海森伯著．量子論的物理原理．王正行譯．北京：科學(xué)出版社，1983．11～44

2 楊步恩．行星衛(wèi)星量子理論導(dǎo)引．大連：大連理工大學(xué)出版社，1996．51～54

3 Allen．C．W．物理量和天體物理量．楊建譯．上海：上?？萍汲霭嫔纾?976．179

4 楊步恩，金百順．“關(guān)于太陽(yáng)系行星軌道分布規(guī)律的探討”．大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，1986，25（1），9～15

5 Born M．The Mechanics of The Atom．1960．143

6 易照華．天體力學(xué)引論．北京：科學(xué)出版社，1978．17，182

2014- 05- 12）