王麗軍 王語涵 付宇隨 隗立闊

（北京師范大學良鄉(xiāng)附中 北京 102488）

變化的電流產生的熱量不能用平均值計算*

王麗軍 王語涵 付宇隨 隗立闊

（北京師范大學良鄉(xiāng)附中 北京 102488）

對2009年北京市某區(qū)的一道關于電磁感應的模擬題產生質疑，師生共同討論、分析、整理，認為題目用電流的平均值算出的變化電流產生的熱量值存在錯誤．

變化的電流 熱量 平均值

電流通過導體時，由于導體中存在電阻，會產生焦耳熱，產生的熱量Q跟電流I的二次方成正比，跟電阻R成正比，跟通電時間t成正比，即Q＝I2Rt，這就是焦耳定律．應用焦耳定律計算熱量時，如果是恒定電流，則可以用上面公式直接計算，但如果電流是隨時間變化的，一般來說需要通過積分運算．中學階段一般不要求運用微積分運算，這就要用到“有效值”的概念．

例如，2009年北京市某區(qū)有一道高三模擬題．

【題目】如圖1（a）所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN，PQ所在平面與水平面成θ＝30°角，兩導軌的間距l(xiāng)＝0．50 m，一端接有阻值R＝1．0Ω的電阻．質量m＝0．10 kg的金屬棒ab置于導軌上，與軌道垂直，電阻r＝0．25Ω．整個裝置處于磁感應強度為B＝1．0 T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下．t＝0時刻，對金屬棒施加一平行于導軌向上的外力F，使之由靜止開始運動，運動過程中電路中的電流隨時間t變化的關系如圖1（b）所示．電路中其他部分電阻忽略不計，g取10 m/s2，求：

（1）4．0 s末金屬棒ab瞬時速度的大小；

（2）3．0 s末力F的瞬時功率；

（3）已知0～4．0 s時間內電阻R上產生的熱量為0．64 J，試計算F對金屬棒所做的功．

圖1

前兩問比較簡單在此不再贅述，只分析第（3）問．

過程分析：從圖像中我們可以看出電流I隨時間呈線性變化，即動生電動勢隨時間呈線性變化，所以金屬棒在導軌上做的是勻加速運動，所受合外力不變．由于金屬棒所受的安培力隨電流的變化而變化，所以外力F為變力．由前兩問可以求出金屬棒ab運動的加速度a＝0．5 m/s2，4．0 s末金屬棒ab瞬時速度的大小v4＝2 m/s．

第（3）問中求F對金屬棒所做的功有兩種辦法，即動能定理和積分．

解法1：運用功能關系求解

設經過時間t，電阻R上產生的焦耳熱為Q，金屬棒ab上產生的焦耳熱為Q′．根據焦耳定律，有

由題知，在0～4．0 s時間內Q＝0．64 J，由

解法2：利用積分求解

對金屬棒受力分析，可以得出

金屬棒ab所受的安培力為

因金屬棒ab做勻加速直線運動，有

將式（2）、（3）代入式（1），并代入具體數值，得

在d t時間內F做功為

在0～4．0 s時間內F對金屬棒所做的功為

以上兩種解法原理和運算都是正確的，為什么得出的結果不一樣呢？通過比較可以看出第二種解法沒有用到“0～4．0s時間內電阻R上產生的熱量為0．64 J”這個已知條件，由此推測很有可能是已知條件出現了問題，那么電阻R上實際產生的熱量是多少呢？題目中給出的條件合適不合適呢？下面利用積分的方法求0～4．0 s時間內電阻R上產生的熱量．

解法1：

根據所給的圖像信息可知電流I隨時間呈線性變化，即i＝0．2t．

在0～4．0 s時間內電阻R上產生的熱量Q為代入數據得

電路中產生的總熱量等于這個過程中金屬棒克服安培力做的功，即

所以0～4．0 s時間內電阻R上產生的熱量實際應為0．853 J．

猜測：題目中的Q＝0．64 J是如何來的呢？

題目中已知R＝1．0Ω，t＝4 s，由圖像可知，這個過程中電流的平均值I-＝0．4 A，代入公式Q＝I2Rt得Q＝0．64 J．之所以出現問題，原因是電流與時間成正比不等價于電流的平方與時間成正比，所以對電流取平均后算出的熱量是不正確的．這個道理在交變電流一章中有涉及，為了計算電流產生的能量定義了電流的有效值，而有效值和平均值一般情況下并不相等．

借鑒交流電的研究方法，引用電流的有效值的概念．有效值是根據電流的熱效應定義的，一個變化的電流通過某一阻值的電阻器，在一定時間內產生的熱量，如果跟一個恒定直流電通過該電阻器在同樣時間內產生的熱量相等，則該直流電的電流就叫交流電的有效值．要計算有效值，依據焦耳定律公式，可得

但這個電流的“有效值”與交變電流的有效值不同，大小與所取的時間有關．

在0～2 s的時間內電流的有效值

在2 s～4 s的時間內電流的有效值

從上面的分析可以看出，在電磁感應現象中，計算熱量的問題不能用電流的平均值．雖然物理上一般不要求用微積分求解，但由于新課程實施后數學要求的變化，現在高二的學生已經學習了微積分的初步知識，學生完全有能力求解．教師在命題的過程中，對此類問題要認識清楚，不能疏忽，避免出現類似的錯誤．

Using the Average Value of Changing Current to Calculate the Heat Is Wrong

Wang Lijun Wang Yuhan Fu Yuxuan Wei Likuo
（Liangxiang High School Affiliated to Beijing Normal University，Beijing 102488）

The authors questioned an electromagnetic induction simulation question in 2009 of one district in Beijing．After the teacher and students discussed，analyzed and sorted，the paper considered that the calorie value calculated by average value of Changing current is error．

changing curren；，heat；average value

*本校物理組獨立承擔“高中學生物理學科能力培養(yǎng)的實證研究”是房山區(qū)“十二五”教育科學規(guī)劃課題，北京市房山區(qū)2012年優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助個人項目．

2014- 04- 25）