孫東陽，陳國平，王鐵成

（南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016）

諧波齒輪傳動的含間隙機構(gòu)的動力學(xué)分析

孫東陽，陳國平，王鐵成

（南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，南京 210016）

在考慮諧波齒輪柔性的基礎(chǔ)上，研究了諧波齒輪傳動對間隙機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。首先，利用非線性彈簧阻尼模型建立了諧波齒輪傳動的含間隙機構(gòu)的接觸碰撞動力學(xué)模型。然后，對含間隙曲柄滑塊機構(gòu)進行仿真分析，結(jié)果表明諧波齒輪傳動和機械部件柔性對間隙碰撞都有緩沖效果，只是機械部件剛度較大時，部件柔性的緩沖效果不明顯，而降低機械部件剛度又將導(dǎo)致機械部件在運動過程中產(chǎn)生大變形，影響其機械性能。為諧波齒輪傳動在含間隙機構(gòu)中的應(yīng)用，提供了理論依據(jù)。

諧波齒輪傳動；間隙；磨損；曲柄滑塊機構(gòu)

由于設(shè)計公差、加工和裝配誤差、磨損，機械系統(tǒng)的運動副中廣泛的存在間隙。間隙會使機械系統(tǒng)發(fā)生沖擊和碰撞，加劇運動副的磨損，產(chǎn)生噪聲和振動，影響機械的工作性能，因此，含間隙機構(gòu)的研究，引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。Flores［1］對含間隙的平面多體系統(tǒng)進行了比較系統(tǒng)的研究，并且通過比較有無間隙的曲柄滑塊機構(gòu)的系統(tǒng)響應(yīng)得到間隙對系統(tǒng)的影響。隨后，F(xiàn)lores［2］對含間隙的多體系統(tǒng)進行了更深入的研究，在考慮油膜潤滑效果的基礎(chǔ)上，建立了混合純擠壓油膜潤滑模型，并且建立了含間隙的球關(guān)節(jié)和空間轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)模型。Machado［3］對幾種基于Hertz碰撞模型建立的碰撞力模型進行了比較，以評價這幾種模型的優(yōu)缺點和適用范圍。Zhao［4］討論了間隙大小對空間機器人機構(gòu)動力學(xué)性能的影響。郝雪清［5］對四桿機構(gòu)進行了研究，以分析不同運動副材料對間隙機構(gòu)動力學(xué)特性的影響。

以上研究都是建立在剛體假設(shè)的基礎(chǔ)上，研究發(fā)現(xiàn)：隨著間隙增大，間隙對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響將更加顯著［6］。為了減小間隙對機構(gòu)動力學(xué)特性的影響，需要將機構(gòu)設(shè)計得比較柔軟或引入緩沖器。Bauchau等［7－8］對含間隙的柔性多體系統(tǒng)進行了研究，可以發(fā)現(xiàn)：系統(tǒng)的柔性會對含間隙機構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)有明顯的影響。

諧波齒輪傳動以其體積小、重量輕、噪聲小、精度高、速比高和抗沖擊等優(yōu)點，已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于機器人關(guān)節(jié)中［9－10］。然而，諧波齒輪傳動的含間隙機構(gòu)的研究卻未見相關(guān)報道。本文對諧波齒輪傳動的含間隙機構(gòu)進行了動力學(xué)建模，并且以曲柄滑塊機構(gòu)為研究對象，在分析過程中分別考慮了諧波齒輪傳動和連桿柔性，以分析諧波齒輪傳動和連桿柔性對間隙碰撞的緩沖效果。

1 諧波齒輪傳動多體系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1 諧波齒輪傳動建模

由于諧波齒輪傳動的柔性部件在機械系統(tǒng)的運行過程中將表現(xiàn)出扭轉(zhuǎn)彈性。因此，具有諧波齒輪傳動的機械系統(tǒng)，在建模時需要將剛性關(guān)節(jié)考慮為柔性關(guān)節(jié)。Spong［14］首先建立了柔性關(guān)節(jié)模型，其在建模過程中，基于以下兩點假設(shè)：

（1）電機轉(zhuǎn)子關(guān)于轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸對稱，因此，轉(zhuǎn)子質(zhì)心的速度與轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動相互獨立。

（2）關(guān)節(jié)的柔性被描述成線性彈簧，其彈性系數(shù)由關(guān)節(jié)的柔性特征決定。

基于以上兩點假設(shè)其將關(guān)節(jié)柔性等效為線性彈簧，得到全局線性反饋的柔性關(guān)節(jié)模型。如果彈簧剛度趨近無窮大，則可以退化為標(biāo)準(zhǔn)的剛性關(guān)節(jié)模型。由于諧波齒輪傳動過程中存在能量損耗，因此，在用Spong模型進行建模時，需要引入阻尼器以描述能量耗散，如圖1所示。

圖1 單關(guān)節(jié)簡化模型Fig．1 The simple model of single joint

具有n個自由度的柔性關(guān)節(jié)機器人模型表述為

式中Jm、Km、Cm分別代表電機轉(zhuǎn)動慣量矩陣、柔性關(guān)節(jié)等效彈簧剛度和等效阻尼；qm、q分別代表電機角度向量和關(guān)節(jié)角度向量；M（q）、M（q）、g（q）分別代表連桿轉(zhuǎn)動慣量矩陣、離心力與哥氏力項矩陣和重力向量。

1.2 多體系統(tǒng)動力學(xué)建模

采用拉格朗日方法建立含約束的多體系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式中M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，Φq為約束方程對廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣為加速度矢量，Q為系統(tǒng)廣義外力，λ為拉格朗日乘子

等式（2）是微分－代數(shù)方程，通過迭代可以得到每個時刻點的加速度。但是，等式中卻不顯含位移和速度約束方程，這將導(dǎo)致計算結(jié)果不能滿足系統(tǒng)約束。為防止數(shù)值求解過程中違約，引入Baumgarte違約修正法［12］，則式（2）修改為

式中，α，β為穩(wěn)定性系數(shù)

2 間隙鉸接副建模

2.1 旋轉(zhuǎn)鉸間隙數(shù)學(xué)模型

由于磨損導(dǎo)致兩個部件的連接不再是理想旋轉(zhuǎn)鉸，需要在旋轉(zhuǎn)鉸中引入間隙，同時將軸和軸承考慮為兩個碰撞體［13］，如圖2。在建模過程中，利用其力學(xué)關(guān)系將位移約束替換為力約束來建立間隙鉸接副力學(xué)模型。

圖2 含間隙的旋轉(zhuǎn)鉸模型Fig．2 Revolute clearance joint modeled as colliding bodies

注意單位向量n與軸和軸承中心連線有相同的方向。

圖3 多體系統(tǒng)中旋轉(zhuǎn)鉸間隙模型［13］Fig．3 General revolute clearance joint in a multibody system

如圖4，當(dāng)軸和軸承碰撞時，嵌入深度為

式中c為間隙大小其值等于軸承半徑Ri與軸半徑Rj之差。

于是，體i和體j的接觸點Qi和Qj的全局位置為

將式（10）對時間求導(dǎo)得到接觸點Qi和Qj的全局速度矢量

將接觸點速度向法向和切向進行投影得到法向速度vN和切向速度vT為

式中切向量t是通過向量n逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到。

圖4 軸和軸承碰撞時的穿透深度［13］Fig．4 Penetration depth due to the impact between the journal and the bearing

碰撞點處的法向力和切向力分別為fN和fT。將法向和切向接觸力分別向X軸和Y軸投影，同時將接觸力作用到體i和體j的質(zhì)心Qi和Qj。如圖5，作用在體i質(zhì)心上的力和力矩分別為

作用在體j質(zhì)心上的力和力矩分別為

圖5 碰撞點的力矢量［13］Fig．5 Force vectors that working at the points of contact

2.2 接觸碰撞力模型

用于計算軸和軸承間碰撞力的接觸碰撞力模型對存在間隙的機械系統(tǒng)的動力學(xué)仿真起著關(guān)鍵作用。接觸碰撞力模型必須考慮接碰撞體的材料屬性、幾何特性、碰撞速度等信息。除此之外，模型還應(yīng)該有利于機構(gòu)動力學(xué)方程的穩(wěn)定求解。研究者們認(rèn)為，對于靜態(tài)接觸和低速碰撞情況，Hertz接觸力模型比較適用。但是Hertz接觸力模型不包含能量耗散項，因此不能描述接觸碰撞過程中的能量損失行為。為了描述接觸碰撞過程中的能量損耗，Hunt等［14］提出了非線性彈簧阻尼模型。隨后，Lankarani等［15］在Hunt和Crossley的基礎(chǔ)上，在Hertz接觸模型中引入與恢復(fù)系數(shù)有關(guān)的虛阻尼項，提出了連續(xù)碰撞模型。這種碰撞力模型可以表示為

式中參數(shù)hi和hj為

式中vk為泊松比，Ek為彈性模量。

因此法向碰撞力為

3 算例：含間隙的曲柄滑塊機構(gòu)

本文以含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構(gòu)為研究對象，在分析過程中分別考慮了諧波齒輪傳動和連桿柔性，以分析諧波齒輪傳動和連桿柔性對間隙碰撞的緩沖作用。因此，本文基于三種情況對含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構(gòu)進行研究。首先對完全作剛性考慮的含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構(gòu)進行了研究。如圖6所示曲柄滑塊機構(gòu)由地面1，曲柄，2，連桿3和滑塊4組成。參考文獻［2］，該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，材料屬性及動力學(xué)分析相關(guān)參數(shù)如表2所示。曲柄在驅(qū)動力作用下以5 000 r／min的恒定角速度運動。在初始情況下，曲柄和連桿都在水平位置，軸和軸承中心重合。

圖6 含間隙的柔性關(guān)節(jié)曲柄滑塊機構(gòu)Fig．6 Flexible joint slider-crank mechanism with joint clearance

表2 曲柄滑塊機構(gòu)仿真參數(shù)Tab.2 Parameters used in the dynamic simulation of the slider-crank mechanism

隨后，將連桿作為柔性體，用絕對節(jié)點坐標(biāo)法［16－17］對其進行建模，將柔性連桿等分為4個單元，彈性模量為207 GPa，截面積為2．243 6×10－4m2，密度為7 800 kg／m3，截面慣量矩為4．194 7×10－9m4。間隙碰撞參數(shù)不變，以分析連桿柔性對響應(yīng)的影響。

最后，對諧波齒輪傳動的含間隙鉸接副的曲柄滑塊機構(gòu)進行了研究。如圖6所示，在上述模型的基礎(chǔ)上增加了諧波齒輪傳動5。本文基于Spong模型將諧波齒輪傳動簡化為線性彈簧－阻尼，驅(qū)動力作用于轉(zhuǎn)子，使其以5 000 r／min的恒定角速度運動，再通過扭簧的變形帶動曲柄一起運動。簡化模型的等效扭簧剛度為2 000 Nm／rad，等效阻尼10 Nm／（rad·s），轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量0．000 005 kg·m2．分別取間隙c＝0．01 mm，c＝0．2 mm和c＝0．5 mm，其對應(yīng)的接觸剛度系數(shù)分別為1．52×107N·mm－3／2，3．42×106N·mm－3／2和2．20× 106N·mm－3／2。將上述三種間隙情況計算得到的響應(yīng)結(jié)果與理想鉸接副的響應(yīng)結(jié)果進行比較。圖7和圖8分別為間隙c＝0．01 mm時，驅(qū)動力矩圖和碰撞力圖。由圖7和圖8可知：小間隙情況下三種間隙情況得到的驅(qū)動力矩和碰撞力與理想鉸接情況的結(jié)果都比較接近，只是在考慮連桿柔性時，機構(gòu)運動過程中，會激發(fā)出高頻振動，導(dǎo)致驅(qū)動力矩圖和碰撞力圖出現(xiàn)很多毛刺。圖9和圖10分別為間隙c＝0．2 mm時，驅(qū)動力矩圖和碰撞力圖。圖11和圖12分別為間隙c＝0．5 mm時，驅(qū)動力矩圖和碰撞力圖。由圖9－圖12可知：當(dāng)間隙變大時，間隙對系統(tǒng)響應(yīng)有很明顯的影響；當(dāng)連桿剛度較大時，連桿柔性對間隙碰撞的緩沖效果不是很明顯，反而會激發(fā)出柔性連桿的高頻振動，使間隙碰撞更加頻繁，從而使碰撞力和驅(qū)動力矩振蕩比較劇烈；考慮關(guān)節(jié)柔性時，能夠?qū)﹂g隙碰撞有很好的緩沖作用，并且能夠抑制間隙碰撞中的高頻振蕩。

圖7 理想和非理想鉸接副驅(qū)動力矩（c＝0．01 mm）Fig．7 Comparison of driving moment between the ideal and the non-ideal joints with a 0．01 mm clearance

圖8 理想和非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．01 mm）Fig．8 Comparison of contact force between the ideal and the non-ideal joints with a 0．01 mm clearance

圖9 理想和非理想鉸接副驅(qū)動力矩（c＝0．2 mm）Fig．9 Comparison of driving moment between the ideal and the non-ideal joints with a 0．2 mm clearance

圖10 理想和非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．2 mm）Fig．10 Comparison of contact force between the ideal and the non-ideal joints with a 0．2 mm clearance

圖11 理想和非理想鉸接副驅(qū)動力矩（c＝0．5 mm）Fig．11 Comparison of driving moment between the ideal and the non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

圖12 理想和非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．5 mm）Fig．12 Comparison of contact force between the ideal and the non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

為了研究連桿剛度下降時，連桿柔性對間隙碰撞的影響，在保持其它參數(shù)不變情況下，取連桿楊氏模量為2．07 GPa和20．7 GPa，分析間隙為0．5 mm的情況下三種間隙情況機構(gòu)的驅(qū)動力矩和碰撞力，結(jié)果如圖13和圖14所示。

圖13 非理想鉸接副驅(qū)動力矩（c＝0．5 mm）Fig．13 Driving moment of non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

圖14 非理想鉸接副間隙碰撞力（c＝0．5 mm）Fig．14 Contact force of non-ideal joints with a 0．5 mm clearance

由圖13和圖14可知：當(dāng)連桿剛度下降時，柔性連桿對間隙碰撞也有很好的緩沖效果。只是當(dāng)連桿很柔軟時，連桿在運動過程中將產(chǎn)生大變形，影響機構(gòu)的機械性能，且不便于控制。

4 結(jié) 論

本文考慮到傳統(tǒng)齒輪傳動的含間隙機構(gòu)碰撞比較劇烈，改用諧波齒輪傳動以減緩間隙碰撞，提高機械性能。在建模過程中，考慮了諧波齒輪的柔性，建立了含間隙運動副的接觸動力學(xué)模型。再通過對含間隙曲柄滑塊機構(gòu)進行分析，可以發(fā)現(xiàn)：諧波齒輪傳動和連桿柔性對間隙碰撞都有一定的緩沖作用，只是連桿剛度較大時，連桿柔性的緩沖效果不是很明顯，而降低連桿剛度又將導(dǎo)致連桿在運動過程中產(chǎn)生大變形，影響機構(gòu)的機械性能。因此，在間隙機構(gòu)中采用諧波齒輪傳動，能夠更好的改善機構(gòu)的機械性能。

［1］Flores P，Ambrósio J．Revolute joints with clearance in multibody systems［J］．Computers＆Structures，2004，82：1359－1369．

［2］Flores P．Dynamic analysis of mechanical systems with imperfectkinematicjoints［D］．Guimaraes，Portugal：University of Minho，2004．

［3］Machado M，Moreira P，F(xiàn)lores P，et al．Compliant contact force models in multibody dynamics：Evolution of the Hertz contact theory［J］．Mechanism and Machine Theory，2012，53：99－121．

［4］Zhao Y，Bai Z F．Dynamics analysis of space robot manipulator with joint clearance［J］．Acta Astronautica，2011，68：1147－1155．

［5］郝雪清，陳江義．不同運動副材料對間隙機構(gòu)動力學(xué)特性的影響［J］．振動與沖擊，2012，31（12）：19－21．

HAO Xue-qing，CHEN Jiang-yi．Effects of different materials in joints on dynamic characteristics of a mechanism with clearance［J］．Journal of Vibration and Shock，2012，31 （12）：19－21．

［6］Muvengei O，Kihiu J，Ikua B．Numerical study of parametric effects on the dynamic response of planar multi-body systems with differently located frictionless revolute clearance joints ［J］．Mechanism and Machine Theory，2012，53：30－49．［7］Bauchau O A，Rodriguez J．Modeling of joints with clearance in flexible multibody systems［J］．International Journal of Solids and Structures，2002，39：41－63．

［8］Tian Q，Zhang Y，Chen L，et al．Simulation of planar flexible multibody systems with clearance and lubricated revolute joints［J］．Nonlinear Dynamics，2010，2010：489－511．

［9］熊根良．具有柔性關(guān)節(jié)的輕型機械臂控制系統(tǒng)研究［D］．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2010．

［10］Saskatoon．Tiptrajectorytrackingofflexible-joint manipulators［D］．University of Saskatchewan，2009．

［11］Spong M W．Modelling and control of elastic joints robots ［J］．ASME Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1987，109（6）：310－319．

［12］Baumgarte J．Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems［J］．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1972，1（1）：1－16．

［13］Flores P，Ambrósio J，Claro J P．Dynamic analysis for planar multibody mechanical systems with lubricated joints［J］．Nonlinear Dynamics，2004，12：47－74．

［14］Hunt K H，Crossley F R．Coefficient of restitution interpreted asdampinginvibroimpact［J］．JournalofApplied Mechanics，1975，42：440－445．

［15］Lankarani H M．A contact force model with hysteresis damping for impact analysis of multibody systems［J］．Journal of Mechanical Design，1990，112：369－376．

［16］Omar MA，ShabanaAA．Atwo-dimensionalshear deformable beam for large rotation and deformation problems ［J］．Journal of Sound and Vibration，2001，243（3）：565 －576．

［17］García-Vallejo D，Mayo J，Escalona J L，et al．Efficient evaluation of the elastic forces and the Jacobian in the absolutenodalcoordinateformulation［J］．Nonlinear Dynamics，2004，35：313－329．

Dynamic analysis of a mechanism with clearances and harmonic gear transmission

SUN Dong-yang，CHEN Guo-ping，WANG Tie-cheng
（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Here，the effects of harmonic gear transmission on dynamic characteristics of a mechanism with clearances，considering flexibility of harmonic gear were investigated．Firstly，the contact and impact dynamic model of a mechanism with clearances and harmonic gear transmission was established by using the nonlinear spring-damping model．Then，a slider-crank mechanism with clearances was simulated．The result showed that harmonic gear transmission and flexibility of mechanical parts have a cushioning effect on clearance impact；the cushioning effect is not obvious when the stiffness of mechanical parts is higher；while reducing stiffness of mechanical parts leads to larger deformation influencing the mechanical performances of the mechanism．The study results provided a theoretical foundation for the use of harmonic gear transmission in mechanisms with clearances．

harmonic gear transmission；clearance；wear；slider-crank mechanism

O313．7

A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．23．029

江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目

2013－09－23 修改稿收到日期：2013－12－19

孫東陽男，博士生，1985年6月生

陳國平男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1956年生