薛 暉，鄭中華，謝啟偉

（1.天津大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院，天津300072；2.中國人民大學(xué)教育學(xué)院，北京100872；3.中國科學(xué)院自動化研究所，北京100190）

基于多種DEA模型和Gini準則的效率評價方法
——兼對我國高校運營績效的評價

薛 暉1，鄭中華2，謝啟偉3

（1.天津大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院，天津300072；2.中國人民大學(xué)教育學(xué)院，北京100872；3.中國科學(xué)院自動化研究所，北京100190）

針對多種數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，簡稱DEA）模型會產(chǎn)生不同績效評價結(jié)果的問題，提出基于Gini準則科學(xué)地融合各DEA模型結(jié)果的方法。首先基于Gini準則定義信息純度以衡量各DEA模型結(jié)果的確定性并賦予權(quán)重，然后通過加權(quán)融合最終得出客觀唯一的綜合效率。此外，根據(jù)評價者的偏好信息或先驗知識，進一步提出交互式多DEA模型-Gini準則方法。以前學(xué)者僅從單一角度出發(fā)選擇DEA模型評價高校的運營績效，考慮到從不同角度出發(fā)的多種DEA模型可以給出高校更加全面客觀的運營績效評價，利用以上方法對2011年國內(nèi)25所理工類高校的運營績效進行了實證分析，結(jié)果驗證了以上方法可以合理有效的衡量各高校的運營績效表現(xiàn)，對于高校運營績效的評價研究具有實際指導(dǎo)意義。

績效評價；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析；Gini準則；綜合效率

1 引言

自Charnes等［1］正式提出首個數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（Data Envelopment Analysis，簡稱DEA）模型——CCR模型（Charnes，Cooper and Rhode model）以來，一系列重要的從不同視角出發(fā)的DEA模型被提出，如Banker等［2］提出的BCC（Banker，Charnes and Cooper model），Charnes等［3］加性DEA模型，Andersen和Petersen［4］提出的超效率DEA模型，Du Juan等［5］提出的超效率加性DEA模型等。DEA作為一種重要的非參數(shù)績效評價方法，是評價具有多輸入和多輸出特征的決策單元（Decision Making Unit，簡稱DMU）間相對有效性的有效工具，并被應(yīng)用于許多領(lǐng)域的效率評價問題中［6-8］。與主觀確定權(quán)重方法相比，DEA方法可以避免受人的主觀偏好、知識結(jié)構(gòu)等因素的影響。

然而，在實際應(yīng)用的過程中，利用各種DEA模型所得到效率排序結(jié)果很可能會存在不同。由于每種結(jié)果都包含著從各種視角出發(fā)的有價值的信息，只依賴于某個特定的DEA模型進行績效評價存在風險［9］。因此，理智的做法是將不同DEA模型的績效評價結(jié)果融合起來，按照一定的科學(xué)規(guī)則得出一組唯一的績效評價結(jié)果，這對于DEA方法的有效應(yīng)用至關(guān)重要。為了解決這一問題，Soleimanidamaneh等［10］從信息論的角度出發(fā)，利用熵理論并結(jié)合AHP的方法，融合各種不同的DEA模型的結(jié)果，試圖給出一個完全的績效排序。但是該方法可能會出現(xiàn)賦予各DEA模型結(jié)果的權(quán)重差距過大等問題，因而相對較“激進”。此外，該方法賦予各模型的權(quán)重僅僅依賴于特定的數(shù)據(jù)集，對其他影響績效的因素，如歷史原因、突發(fā)事件等因素沒有被考慮進去，因此，沒有給予績效評價主體根據(jù)具體情況對權(quán)重進行合理的調(diào)整空間，造成結(jié)果可能與實際情況有偏差。

本文從數(shù)據(jù)挖掘的角度出發(fā)，基于分類回歸決策樹［11］理論中的Gini準則對不同DEA模型的績效評價結(jié)果進行融合，并將本文提出的方法應(yīng)用于高?？冃гu價問題中。通常地，若基于某DEA模型所得到的效率值越集中（即差距越?。瑒t該DEA模型給出績效評價的不確定性（模糊性）越大。在融合各種DEA模型的績效評價結(jié)果時，為了降低最終結(jié)果的不確定性，應(yīng)當賦予該DEA模型所得到的結(jié)果以較低的權(quán)重。相反地，對于確定性較大的DEA模型所得到的結(jié)果，則賦予其相對較高的權(quán)重。Gini準則是對信息雜度的度量，并利用Gini系數(shù)值刻畫信息雜度值。一般地，Gini系數(shù)越大，信息雜度越大，即不確定性就越大；反之，不確定性越小。因此，本文基于Gini準則衡量各DEA模型結(jié)果的確定性大小，并據(jù)其賦予各結(jié)果權(quán)重，最終通過加權(quán)得出一組唯一的綜合效率（Comprehensive Efficiency，簡稱CE）進行排序。此外，本文對數(shù)據(jù)集中沒有反映出的信息，還提出根據(jù)具體情況通過用戶交互的方式，將相關(guān)信息的影響反映到最終的CE中，以保證績效評價結(jié)果的科學(xué)性和有效性。

高校的運營績效評價是DEA方法的一個重要的應(yīng)用方面，目前已有很多國外［11-15］和國內(nèi)學(xué)者［16-19］基于DEA方法從各種不同的角度展開了研究。然而，所有的這些研究都只是基于某一種視角的DEA模型評估高校的運營績效。一般地，從不同角度的出發(fā)所得到的高校的運營績效評價結(jié)果比單一角度得到的結(jié)果客觀。但是當各種視角的DEA模型得到的績效評價結(jié)果不完全相同甚至發(fā)生沖突時，決策者很難給出統(tǒng)一的高校運營績效排名。因此，本文的方法可以被應(yīng)用到這一研究領(lǐng)域，通過融合各種模型結(jié)果，給出一組科學(xué)統(tǒng)一的高校運營績效排名。

本文架構(gòu)如下：第2部分介紹多DEA模型-Gini準則方法，它包括標準和交互式多DEA模型-Gini準則兩種方法；第3部分通過2011年國內(nèi)25所理工類高校的績效評價驗證本文方法的合理性；最后一部分給出相關(guān)結(jié)論和研究展望。

2 多DEA模型-Gini準則方法

2.1 標準多DEA模型-Gini準則方法

設(shè)有n個DMUj（j=1，2，...，n），消耗m種投入xij（i=1，2，...，m）生產(chǎn)出s種產(chǎn)出yrj（r= 1，2，...，s），那么待評價決策單元DMUk（k∈｛1，2，...，n｝）的投入導(dǎo)向型CCR效率值EI-CCRk為：

與之相應(yīng)的是產(chǎn)出導(dǎo)向型DEA模型，它研究在投入不變的情況下，各DMU的產(chǎn)出多少情況。DMUk的產(chǎn)出導(dǎo)向型CCR模型為：

當φ*＞1時，DMUk是無效的；當φ*=1時，DMUk是（弱）有效的。在模型（2）的約束條件基礎(chǔ)上增加約束條件即可得到DMUk的產(chǎn)出導(dǎo)向型BCC模型，φ值的倒數(shù)即為DMUk的效率值EO-BCCk。在CCR模型下，DMUk的投入導(dǎo)向型和產(chǎn)出導(dǎo)向型的效率值是相同的；在BCC模型下，投入導(dǎo)向型和產(chǎn)出導(dǎo)向型的效率值一般不完全相同。當被評價的決策單元DMUk從參考單元集中剔除時，即可得到對應(yīng)的超效率DEA模型［4］。它可以對有效決策單元進行進一步的績效排序，且能夠保證無效決策單元的DEA超效率值與傳統(tǒng)的DEA模型效率值保持一致?；贑CR和BCC這兩個基本的DEA模型，根據(jù)各種具體問題，拓展出許多DEA模型［］。

設(shè)有K個DEA模型，Ml（l=1，2，...，K）是第l個DEA模型的績效評價結(jié)果，記所有DEA模型的結(jié)果集為Ω=｛M1，M2，...，MK｝。DMUj在Ml下的效率值記為Ejl，則基于DEA模型可以得到如下的效率矩陣［Ejl］n×K：

效率矩陣（3）中的每一列表示各DMUj（j= 1，2，...，n）在DEA模型l下所得到的效率，每一行表示DMUk在各DEA模型下的效率。

為科學(xué)地得到一組最終的融合各DEA模型結(jié)果的CE值，需要根據(jù)各模型所得結(jié)果的確定性高低給各模型賦予相應(yīng)的權(quán)重。

表示某DEA模型（即節(jié)點）中DMUj（即類別）所占的比例。

本文定義的信息純度與信息雜度是對應(yīng)的，兩者之和為1。根據(jù)Gini準則理論，Gini系數(shù)的定義為。根據(jù)pj的定義可知0≤pj≤1，因此0≤G≤1。因此，信息純度d=1-G=。顯然的，信息純度值越大，對應(yīng)模型結(jié)果發(fā)生的確定性越大。

性質(zhì)1 DMU效率值波動較大對應(yīng)的DEA模型確定性較大，信息純度較大；反之，則對應(yīng)的DEA模型確定性較小，信息純度較小。當某DEA模型下所有DMU的效率值都相同時，確定性最小，信息純度最小。

可通過數(shù)學(xué)方法證實。設(shè)對所有類別DMUj（j =1，2，...，n），當所有類別它們的效率值都相同時，根據(jù)，可得p1j=，即此時所有類別的概率值都相同，則Gini系數(shù)在這種情況下為。

當類別DMUj（j=1，2，...，n）中部分效率值不相等時，記概率值為p2j=+εj，其中εj反映了DMU效率的波動幅度，則此時Gini系數(shù)為：

所以：

此外：

因而，將（5）和（6）帶入到（4）中得：

因此，當某節(jié)點下的類別DMUj（j=1，2，...，n）的效率值波動較大時（即εj的絕對值較大），則由（7）不等號左式可知，Gini系數(shù)G2的值較小，即信息雜度較小，對應(yīng)的是信息純度較大，該節(jié)點確定性較大。反之，則信息純度較小，該節(jié)點確定性較小。當節(jié)點下所有類別DMUj（j=1，2，...，n）的效率值都相同時（即εj=0，j=1，2，...，n），由（7）不等號右式可知，G1達到其最大值，即此時確定性最小，信息純度最小。

從實踐的角度來看，當某DEA模型的績效評價結(jié)果使得相對較多的DMU呈有效狀態(tài)，由于有效DMU的DEA效率值都為1，不能對有效DMU進行進一步的排序，因此造成此模型績效評價結(jié)果的確定性較低，信息純度較小。當某DEA模型的績效評價結(jié)果使得DMU的排序能夠被明顯分開，則顯然此模型績效評價結(jié)果的確定性較高，信息純度較大。與性質(zhì)1的結(jié)論相符。

性質(zhì)2 當節(jié)點（即DEA模型）中只有一個DMU（即只有一個類別）時，事件發(fā)生的確定性最大，其信息純度最大，d=1。

從DEA理論來看，當參考集中只有一個DMU時，其效率值必然為1（有效的DMU）。從決策樹理論來看，當節(jié)點中只有一個類別時，其發(fā)生的確定性最大。這符合DEA理論和決策樹理論的相關(guān)結(jié)論。

通過性質(zhì)1和性質(zhì)2可知，基于信息純度可以很好的刻畫各DEA模型下績效評價結(jié)果的確定性程度。在前面相關(guān)結(jié)論的基礎(chǔ)上，下面通過算法1提出本文的標準多DEA模型-Gini準則方法，得出一組客觀且唯一的CE。

算法1：標準多DEA模型-Gini準則方法

步驟1：計算效率矩陣。利用各DEA模型計算效率矩陣［Ejl］n×K（l=1，2，...，K）；

步驟2：效率矩陣歸一化。利用pjl=，對效率矩陣［Ejl］n×K進行歸一化；

步驟3：計算DEA模型Ml（l=1，2，...，K）的權(quán)重。根據(jù)，l=1，2，...，K得到Ml的信息純度dl后，通過歸一化dl得到第l個DEA模型Ml的權(quán)重，其中；

性質(zhì)3 如果某DMU的效率值在所有的DEA模型下都相等，那么經(jīng)過算法1（標準多DEA模型-Gini準則方法）計算后其效率值保持不變。

設(shè)DMUj在所有的DEA模型下都有相等的效率值c（0≤c≤1），那么根據(jù)算法1可知，其CE值θj，又，因此θj=c，即經(jīng)過算法1計算后其效率值不變，因此性質(zhì)3成立。

2.2 交互式多DEA模型-Gini準則方法

在實際應(yīng)用中，績效評價主體可能會根據(jù)具體的情況和問題評價的側(cè)重角度不同，對DEA模型具有一定的偏好。對于這種情況，本文提出交互式多DEA模型-Gini準則方法。當相對的比較傾向于使用某種DEA模型進行績效評價時，則可以賦予該DEA模型相對較大的權(quán)重；反之，則可以賦予對應(yīng)的DEA模型非常小甚至為0的權(quán)重。這部分由績效評價主體設(shè)定的權(quán)重記為Up≥0，p∈N1，其中N1為這部分DEA模型的標記。其余的沒有被用戶賦權(quán)重的DEA模型集合記為N2，則N1+N2=｛1，2，...，K｝。

算法2：交互式多DEA模型-Gini準則方法

步驟1：計算效率矩陣。利用各DEA模型計算效率矩陣［Ejl］和［Ejp］，其中l(wèi)∈N2，p∈N1，j =1，2，...，n；

步驟2：效率矩陣歸一化。利用pjl=，對效率矩陣［Ejl］進行歸一化；

步驟3：計算DEA模型Ml的權(quán)重。根據(jù)dl=得到Ml的信息純度dl后，通過歸一化dl得到第l個DEA模型Ml的權(quán)重，其中

步驟4：用戶交互。步驟3得出的權(quán)重Wl是由客觀方法根據(jù)具體數(shù)據(jù)集確定的，它是部分DEA模型的權(quán)重?？冃гu價主體根據(jù)Wl的相對大小，融入客觀方法和數(shù)據(jù)集中無法反映的偏好信息或先驗知識，利用專家打分法等方法賦予剩下部分的DEA模型權(quán)重Up≥0，p∈N1；

由于這里的績效評價結(jié)果中既包含數(shù)據(jù)集中的客觀信息，也包括數(shù)據(jù)集中沒有的由績效評價主體根據(jù)具體情況給出的較為理性的信息，因此，得出的績效評價結(jié)果會比較的科學(xué)客觀和有說服力。

3 實證分析

高校的運營績效評價是DEA方法的一個重要的應(yīng)用。為了保證績效評價結(jié)果的全面性和客觀性，應(yīng)該從多種不同的角度出發(fā)衡量高校的運營績效評價。因此本文提出的方法可以應(yīng)用到這個問題中。

在進行高校的績效評價問題時，應(yīng)盡量選取具有相同特色類型的高校組成參考集，保證樣本具有同質(zhì)性，這是能夠使用DEA方法的前提條件之一。本文選擇對2011年國內(nèi)25個理工類大學(xué)的運營績效進行評價（最新可得到的數(shù)據(jù)）。在高校的運作過程中，相關(guān)的投入要素和產(chǎn)出要素很多。但是由于過多的績效指標會降低DEA方法的判別能力，因此需要選取其中最具有代表性的指標。一般而言，指標變量數(shù)量一般不超過樣本數(shù)量的三分之一［20］。

本文在綜合考慮高等教育的特征后確定投入指標為：專任教師總數(shù)（百人）、固定資產(chǎn)（萬元）、教育經(jīng)費支出（萬元）。產(chǎn)出指標為：在校生總數(shù)（百人）、論文總數(shù)（篇）、專著總數(shù)（部）和知識產(chǎn)權(quán)授權(quán)數(shù)（項）。其中考慮到國外論文的質(zhì)量、發(fā)表難度和審稿時間等因素后，本文國內(nèi)外論文按照1：1.5折算后，得出論文總數(shù)。相關(guān)數(shù)據(jù)來源于《教育部直屬高校2011年基本情況統(tǒng)計資料匯編》。

本文從以下幾種角度選取高校運營績效評價的DEA模型。首先，從規(guī)模收益不變和可變的角度來看，分別選取CCR模型和BCC模型。其次，在此基礎(chǔ)上考慮投入導(dǎo)向型和產(chǎn)出導(dǎo)向型時，可以得到投入導(dǎo)向型和產(chǎn)出導(dǎo)向型的CCR模型和BCC模型。由于CCR模型的投入導(dǎo)向型和產(chǎn)出導(dǎo)向型效率值是一樣的，因此任取其中一個導(dǎo)向型的CCR模型都可以。再次，由于前面考慮的都是徑向型DEA模型，當考慮非徑向型的DEA模型時，可以選擇加性DEA模型。最后，由于傳統(tǒng)DEA模型無法進一步對有效決策單元進行績效排序，考慮到超效率DEA模型的特點，因此在前面的基礎(chǔ)上選擇超效率DEA模型。最終選擇的高校運營績效評價DEA模型有：超效率CCR模型，投入導(dǎo)向型和產(chǎn)出導(dǎo)向型的超效率BCC模型及超效率加性DEA模型，所得結(jié)果分別記為ESCCRj，EI-SBCCj，EO-SBCCj和ESAddj（j= 1，2，...，n）。其中，考慮到超效率BCC模型可能會存在無可行解，因此本文采用Cook等［21］提出的改進的超效率BCC模型。由于Cook等［21］中效率值的定義使得無效決策單元的效率值必不小于1，為了便于與其它方法比較，本文將該方法得到的所有高校的效率值同時減少1個單位，這不影響該方法所得的高校運營績效評價排名，也不影響對本文方法的說明。

利用標準多DEA模型-Gini準則方法對數(shù)據(jù)進行處理，相關(guān)結(jié)果如表1所示。表1的第2列到第5列依次分別是利用超效率CCR模型，投入導(dǎo)向型超效率BCC模型，產(chǎn)出導(dǎo)向型的超效率BCC模型及超效率加性DEA模型所得到的計算結(jié)果。從橫向看，不同的模型得到的結(jié)果是不同的，如華中科技大學(xué)從規(guī)模收益不變的角度（超效率CCR模型）來看是無效決策單元，存在績效改進的空間，但在其它三種模型下其運營績效是有效的。此外，從縱向看，不同的模型得到的各高校運營績效排名是不同的，如清華大學(xué)在ESCCRj，EI-SBCCj，EO-SBCCj和ESAddj中的運營績效排名依次是第三、第四、第五和第八。

基于標準多DEA模型-Gini準則方法和多DEA模型-Shannon熵方法［10］得到的效率值分別記為CE 1和SE。利用這兩種方法所得到的各DEA模型權(quán)重和效率值分別如表1的最后兩行和倒數(shù)第二列和第三列所示。

通過對權(quán)重值的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)基于標準多DEA模型-Gini準則方法得到的權(quán)重波動比多DEA模型-Shannon熵方法小。前者的各模型權(quán)重區(qū)間為［0.2054，0.3025］，權(quán)重波動相對較“溫和”；后者區(qū)間為［0.0013，0.4966］，權(quán)重波動相對較“激進”。

表1 多DEA模型-Gini準則方法及相關(guān)結(jié)果

通過對效率值CE 1和SE的對比分析，可以發(fā)現(xiàn)基于標準多DEA模型-Gini準則方法得到的效率值波動比多DEA模型-Shannon熵方法得到的結(jié)果小。這是由于前者的模型權(quán)重波動比后者小的原因。因此，本文所提出的方法較為適合風險厭惡型決策者使用，而多DEA模型-Shannon熵方法則較為適合風險愛好型決策者使用。此外，兩種方法所得到績效排序也不完全一致，如北京交通大學(xué)和東北大學(xué)，基于本文所提出的方法，前者的績效排名小于后者，若基于多DEA模型-Shannon熵方法，則前者大于后者。類似的情況還有華南理工大學(xué)與重慶大學(xué)。最后，如果高校的效率值在所有的DEA模型下都一致，那么經(jīng)過標準多DEA模型-Gini準則方法計算后其效率值不變（性質(zhì)3）。如清華大學(xué)在所有的模型下都是有效的，如果這里用的是傳統(tǒng)的DEA模型，則其效率值都為1，因此其最終的CE 1值也是1（有效的）。

在實際應(yīng)用中，可能會存在一些數(shù)據(jù)集中無法反映的情況或是績效評價決策者希望可以將自己的偏好反映到結(jié)果中，此時需要根據(jù)具體情況利用交互式多DEA模型-Gini準則方法對高校運營績效進行評價。如績效評價決策者對是否通過徑向型模型算得效率值不是很關(guān)注，因而為超效率加性DEA模型賦予一個較低的權(quán)重值。此時N1=｛超效率加性DEA模型｝，其余的三個DEA模型為集合N2，采用算法2（交互式多DEA模型-Gini準則方法）計算。經(jīng)過算法2前三個步驟的計算，得到集合N2中各DEA模型的權(quán)重Wl（如表2第二行所示）。在此基礎(chǔ)上，績效評價決策者利用專家打分法等方法，為N1中的超效率加性DEA模型賦予權(quán)重，假設(shè)為Up=0.15。再根據(jù)算法2的步驟5和步驟6，分別得出各模型的最終權(quán)重（如表2最后一行所示）和高校的績效評價結(jié)果CE 2（如表1最后一列所示）?？梢园l(fā)現(xiàn)，該結(jié)果體現(xiàn)了績效評價決策者的偏好。此外，對于各種DEA模型所得結(jié)果都為有效的高校來說，無論績效評價主體人為設(shè)定的權(quán)重為何值，它們經(jīng)過算法2的處理后，結(jié)果仍然是有效的，這個結(jié)果符合性質(zhì)3。

表2 交互式多DEA模型-Gini準則方法的權(quán)重

4 結(jié)語

本文提出標準多DEA模型-Gini準則方法和交互式多DEA模型-Gini準則方法，它們科學(xué)地將各種DEA模型在績效評價過程中產(chǎn)生的不同結(jié)果融合為一組客觀的CE。由于高校運營績效評價是DEA方法的一個重要的應(yīng)用領(lǐng)域，而目前相關(guān)的研究僅僅只是從某一種角度出發(fā)給出高校的運營績效評價。考慮到從多視角出發(fā)得出的高校運營績效評價結(jié)果會更加全面客觀，同時為了統(tǒng)一各種DEA模型的不同績效評價結(jié)果，可將本文

提出的方法應(yīng)用到這個研究領(lǐng)域。對2011年國內(nèi)25個理工類大學(xué)績效評價的實證分析結(jié)果證明了該方法是合理有效的。實際上，本文方法并不僅限于對多種DEA模型結(jié)果的融合，也可將其拓展到對多種其他方法得到的定量的績效評價結(jié)果的融合上，且分析的對象也可以從高校的績效評價排名拓展到其他應(yīng)用的領(lǐng)域中。但如何對一些定性的績效評價結(jié)果進行融合仍有待于進一步深入探討。

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An Approach on the Performance Evaluation Problems Based on Multiple DEA Models and Gini Criterion——Evaluating the Performance of Universities in China

XUE Hui1，ZHENG Zhong-hua2，XIE Qi-wei3
（1.Tianjin University School of Continuing Education，Tianjin 300072，China；2.School of Education，Renmin University of China，Beijing 100872，China；3.Institute of Automation，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

To deal with the problem that multiple DEA models might generate different performance evaluation results，an approach based on the Gini criterion is proposed by fusing the results together scientifically.Firstly，the purity of information based on the Gini criterion is defined to measure the certainty of the results，and then the weights are given to each DEA model.A unique set of comprehensive efficiencies can be obtained by weighting the results of each DEA model and the corresponding model weight.Moreover，considering the preference and priori information of estimators，interactive multiple DEA models and Gini criterion approach are further proposed.Measuring the performance of higher education colleges is one of important applications in DEA，and previous researches study the problem just choose the evaluation DEA model from a single point of view.It would be more comprehensive and objective if multiple DEA models that are from multiple points of view are used.Consequently，applying the proposed method to evaluate the performance of 25 science and engineering universities in 2011，and the empirical results show that the approach is reasonable and effective，which has practical significance in the research of measuring the performance of higher education colleges.

performance evaluation；data envelopment analysis；Gini criterion；comprehensive efficiency

C934

：A

1003-207（2014）04-0098-07

2012-06-27；

2012-12-19

國家自然科學(xué)基金資助項目（70773052）

薛暉（1968—），男（漢族），河南孟州人，天津大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院，助理研究員，研究方向：高等教育管理.