張小芝，朱傳喜，朱 麗

（南昌大學(xué)理學(xué)院管理科學(xué)與工程系，江西南昌330031）

按照“厚今薄古”的思想，我們要在事先給定的時(shí)間度的情況下，盡可能地尋找一組時(shí)間權(quán)重系數(shù)使其貼近度最大，即轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化模型：

時(shí)序多屬性決策的廣義等級(jí)偏好優(yōu)序法

張小芝，朱傳喜，朱 麗

（南昌大學(xué)理學(xué)院管理科學(xué)與工程系，江西南昌330031）

實(shí)際中很多復(fù)雜的多屬性決策問題往往需要考慮多個(gè)時(shí)間序列的決策信息，針對(duì)這類時(shí)序多屬性決策問題，本文在優(yōu)序法的基礎(chǔ)上，定義了廣義優(yōu)序數(shù)的概念。同時(shí)提出基于理想時(shí)間權(quán)向量的方法來解決時(shí)序多屬性決策中時(shí)間權(quán)重的確定問題，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上提出時(shí)序多屬性決策的廣義等級(jí)偏好優(yōu)序法。最后，利用文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)，用本文的方法對(duì)某集團(tuán)的四個(gè)銅礦企業(yè)的綜合效益進(jìn)行了評(píng)價(jià)，其結(jié)果表明了本文方法的可行性和有效性。本文為解決時(shí)序多屬性決策問題提供了一種新的方法和思路。

時(shí)序多屬性決策；廣義等級(jí)偏好優(yōu)序法；廣義優(yōu)序數(shù)；理想時(shí)間權(quán)重

1 引言

多屬性決策是對(duì)可行性方案集綜合考察方案的各屬性，并對(duì)方案做出綜合排序的一類問題，近年來成為決策分析研究的熱點(diǎn)問題，其研究已滲透到經(jīng)濟(jì)、軍事、管理等各領(lǐng)域。其研究方法主要表現(xiàn)為基于OWA決策算子的方法［1-4］、TOPSIS方法［5-6］、基于理想點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)度方法［7-8］、基于支持向量機(jī)的方法［9-10］，優(yōu)序法［11-13］等等以及各種決策方法的綜合應(yīng)用［14］。

另一方面，傳統(tǒng)的多屬性決策問題往往只關(guān)注于單個(gè)時(shí)期的決策信息，并對(duì)其進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。事實(shí)上，隨著社會(huì)的進(jìn)步和科技的發(fā)展，諸如對(duì)企業(yè)效益的綜合評(píng)價(jià)、對(duì)高校教師的績(jī)效考核等很多復(fù)雜的決策問題需要同時(shí)考慮過去和現(xiàn)在幾個(gè)時(shí)期的決策信息，并用適當(dāng)?shù)臎Q策方法對(duì)其進(jìn)行排序和擇優(yōu)，使得到的評(píng)價(jià)結(jié)果更全面、更客觀、更科學(xué)。這類決策問題稱為時(shí)序多屬性決策問題，它的基本特征是在決策空間和目標(biāo)空間的基礎(chǔ)上增加了時(shí)間空間，需要考慮時(shí)間對(duì)決策結(jié)果的影響，是具有時(shí)間、屬性、方案的三維決策排序問題。時(shí)序多屬性決策較傳統(tǒng)的多屬性決策顯得更困難、更復(fù)雜，已成為現(xiàn)代決策領(lǐng)域中備受關(guān)注的課題之一［3-4，7-8，10，16-18］。

本文則在陳春芳等［13］的基礎(chǔ)上，將優(yōu)序法進(jìn)一步拓展至方案間的優(yōu)劣等級(jí)為分?jǐn)?shù)的情形，提出廣義優(yōu)序數(shù)的新概念，并將其應(yīng)用于時(shí)序多屬性決策中，提煉出時(shí)序多屬性決策的廣義優(yōu)序法。相對(duì)于整數(shù)型優(yōu)劣等級(jí)情形［13］，本文的適用范圍更廣，排序結(jié)果更客觀。同時(shí)，時(shí)間權(quán)重的選擇是解決時(shí)序多屬性決策問題的關(guān)鍵，本文提出了理想時(shí)間權(quán)向量的新概念，并在此基礎(chǔ)上建立優(yōu)化模型來確定時(shí)間權(quán)重，為時(shí)序多屬性決策問題提供了一種新的思路和方法。最后，用本文所提出的方法對(duì)幾個(gè)企業(yè)的效益進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，充分說明了本文方法的有效性和簡(jiǎn)潔性。

2 決策問題的數(shù)學(xué)描述及時(shí)間權(quán)重的確定

設(shè)A=｛A1，A2，…，As｝是多屬性決策問題中由s個(gè)方案組成的方案集，G=｛g1，g2，…，gm｝是由m個(gè)屬性組成的屬性集。T=｛t1，t2，…，tp｝是對(duì)可行方案所考察的p個(gè)時(shí)間段。記S=｛1，2，…，s｝，M=｛1，2，…，m｝，P=｛1，2，…，p｝。gl（Ai）（tk）表示第k個(gè)時(shí)間段中第i個(gè)方案在第l個(gè)屬性下的屬性值，若完全無法得到信息，則記gl（Ai）（tk）=？，若只能獲取對(duì)方案間優(yōu)劣的序關(guān)系，則以偏序偏好結(jié)構(gòu)［15］的形式給出，即gl（Ai）（tk）Rgl（Aj）（tk）；R∈｛?，?，≈，？｝，i，l∈S，k∈P。

在時(shí)序多屬性決策問題中，時(shí)間權(quán)向量V=｛v1，v2，…，vp｝的確定是一個(gè)至關(guān)重要的環(huán)節(jié)［4，16-17］。郭亞軍等［4］引入時(shí)間度的概念，以時(shí)間權(quán)向量的信息熵為優(yōu)化目標(biāo)來確定時(shí)間權(quán)向量，本文提出一種截然不同的方法—基于理想時(shí)間權(quán)向量的新方法。

定義1［1］記，則稱λ為V=｛v1，v2，…，vp｝的時(shí)間度。

特別地，當(dāng)V=｛0，0，…，1｝時(shí)λ=0，表明決策者只重視當(dāng)前時(shí)刻的信息，此時(shí)記V+=｛0，0，…，1｝為正理想時(shí)間權(quán)向量；當(dāng)V=｛1，0，…，0｝時(shí)λ=1，表明決策者只重視最陳舊的信息，此時(shí)記V-=｛1，0，…，0｝為負(fù)理想時(shí)間權(quán)向量。當(dāng)V=時(shí)λ=0.5，表明決策者對(duì)所有時(shí)間段的信息同等重視。

記兩個(gè)時(shí)間權(quán)向量V1=｛v1，v2，…，vp｝；V′=｛v′1，v′2，…，v′p｝之間的距離為：

則任一時(shí)間權(quán)向量V=｛v1，v2，…，vp｝與正、負(fù)理想時(shí)間權(quán)向量的距離分別為：

將時(shí)間權(quán)向量對(duì)理想時(shí)間權(quán)向量的貼近度表示為：

按照“厚今薄古”的思想，我們要在事先給定的時(shí)間度的情況下，盡可能地尋找一組時(shí)間權(quán)重系數(shù)使其貼近度最大，即轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化模型：

求解此模型即可得到時(shí)序多屬性決策問題的時(shí)

間權(quán)向量V1=｛v1，v2，…，vp｝。

3 廣義等級(jí)偏好優(yōu)序法

假設(shè)決策者根據(jù)需要將屬性值劃分為n個(gè)等級(jí)，在tk時(shí)間段屬性gl下所劃分等級(jí)的步長(zhǎng)為：

我們按如下方式來比較在在tk時(shí)間段屬屬性gl下方案Ai優(yōu)于方案Aj的等級(jí)數(shù)：

其中，G1，G2分別表示效益型屬性和成本型屬性，對(duì)于固定型、區(qū)間型等其它形式的屬性，均可轉(zhuǎn)化為效益型或成本型屬性。因此不妨假設(shè)G=G1∪G2。若屬性值不能用實(shí)數(shù)來表示，只能獲取方案間的偏序偏好關(guān)系而無法比較優(yōu)劣程度，不妨假定其優(yōu)劣等級(jí)數(shù)為最大。

其中，當(dāng)rijl（tk）＞0時(shí)理解為在tk時(shí)段屬性gl下方案Ai優(yōu)于方案Ajrijl（tk）個(gè)等級(jí)，記為Aj，當(dāng)rijl（tk）＜0時(shí)理解為在tk時(shí)段屬性gl下方案Ai劣于方案Aj|rijl（tk）|個(gè)等級(jí)，記為當(dāng)rijl（tk）=0時(shí)稱在屬性gl下方案Ai與方案Aj同樣好，記為Ai≈Aj。并且，這里無需對(duì)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理。

令：

其中，i，j∈S，i≠j，l∈M，k∈P。規(guī)定i=j時(shí)aijl（tk）=0。則稱aijl（tk）為在tk時(shí)間段屬性l下方案Ai相對(duì)于方案Aj的廣義優(yōu)序數(shù)。

定義2 令aij（tk）=，則稱aij（tk）為tk時(shí)間段方案Ai相對(duì)于方案Aj的廣義優(yōu)序數(shù)，Ki（tk）為方案Ai在tk時(shí)間段的廣義優(yōu)序數(shù)。

由（3）-（5）式可以看出，這里的廣義等級(jí)數(shù)是分?jǐn)?shù)情形，與整數(shù)型等級(jí)數(shù)［13］相比而言，廣義優(yōu)序數(shù)的計(jì)算結(jié)果實(shí)際上與最初設(shè)定的等級(jí)數(shù)n無關(guān)，這就有效地避免了因不同決策者制定不同的等級(jí)數(shù)而導(dǎo)致決策結(jié)果的非一致性，使得決策結(jié)果更具有客觀性和科學(xué)性。

為了充分說明基于廣義優(yōu)序數(shù)的等級(jí)偏好優(yōu)序法在理論上是可行的，下面對(duì)時(shí)序多屬性決策問題在tk（k=1，2，…，p）時(shí)間段的情形予以證明。

證明 用反證法。設(shè)存在At∈X，使得g（At），且至少有一個(gè)l∈M，使得gl（At）

不妨設(shè)A中有a個(gè)元素，B中有b個(gè)元素，a≥1，b≥0，a+b=m。此時(shí)：。記：

所以：

對(duì)于任意的Aj，j∈S.｛e，t｝，記：

顯然M=C∪D∪E∪F。記C，D，E，F(xiàn)中分別有元素c，d，e，f個(gè)，c≥0，d≥0，e≥0，f≥0，c+d+e +f=m。下面分四種情況來討論：

（1）當(dāng)l∈C時(shí)：

因此，我們得到：

l∈D1時(shí)，由假設(shè)知，從而，且故atjl（tk）≥0.5。于是有：

（3）當(dāng)l∈E時(shí)，記：

顯然有：

不妨設(shè)E1，E2，E3中分別有元素mE1，mE2，mE3個(gè)，mE1+mE2+mE3=e，則：

（4）當(dāng)l∈F時(shí)：而aee（tk）=att（tk）=0，結(jié)合（6）～（10）式知：

即Kt（tk）＞Ke（tk），這與矛盾。因此，不存在At∈X，滿足（Ae）（tk）且至少有一個(gè)l∈M，使得（Ae）（tk），r＞0，因而Ae為多屬性決策問題在tk時(shí)間段的非劣解。

類似于陳春芳等［13］文中定理4的證明思路，易得

定理2 設(shè)Ae為對(duì)應(yīng)于的解。Ae′為對(duì)應(yīng)于的解.若 Ae′不是原問題的非劣解，則它必是（A）（tk）的非劣解。

由定理1和定理2可知，對(duì)X中的所有方案Ai可按廣義優(yōu)序數(shù)Ki由大到小進(jìn)行排序，依次選出較優(yōu)解的做法是可行的。當(dāng)然，在實(shí)際的時(shí)序多屬性決策問題中，我們還應(yīng)當(dāng)考慮各屬性的權(quán)重w1，w2，…，wm及時(shí)間權(quán)重v1，v2，…，vp，利用加權(quán)廣義優(yōu)序數(shù)進(jìn)行排序。下面給出具體的決策步驟：

步驟1 解（2）式中的優(yōu)化模型得到時(shí)間權(quán)向量V=（v1，v2，…，vp）；

步驟2 根據(jù)已知信息和決策者的偏好選擇劃分各屬性下屬性值的等級(jí)數(shù)n；

步驟3 根據(jù)（4）式得到同一屬性下各方案在各時(shí)間段tk兩兩相互比較所得等級(jí)數(shù)rijl（tk）；

步驟4 由（5）式計(jì)算各屬性下各方案在各時(shí)間段tk兩兩相互比較所得廣義優(yōu)序數(shù)aijl（tk），進(jìn)而得到各方案在各時(shí)間段tk的廣義優(yōu)序數(shù)Ki（tk）=，最后將各時(shí)間段的優(yōu)序數(shù)進(jìn)行加權(quán)得各方案總的廣義優(yōu)序數(shù)Ki=

步驟5 按Ki的值由大到小對(duì)所有方案進(jìn)行排序，得到各方案間的優(yōu)劣關(guān)系及優(yōu)劣程度。

將各方案總的廣義優(yōu)序數(shù)作為評(píng)價(jià)值來進(jìn)行優(yōu)劣排序，其總的評(píng)價(jià)值可能為正、負(fù)或零。若評(píng)價(jià)值為正，則說明該方案的優(yōu)勢(shì)總體上強(qiáng)于劣勢(shì)；若評(píng)價(jià)值為負(fù)，則說明該方案劣勢(shì)總體上多于優(yōu)勢(shì)；若評(píng)價(jià)值為零，則說明該方案處于中立地位。相對(duì)于加權(quán)平均、TOPSIS等其他決策方法而言，本文方法不僅可以得出排序關(guān)系，而且能對(duì)每個(gè)方案在總體中的地位進(jìn)行深入分析，為決策提供更多支持。因此，本文提出以廣義優(yōu)序數(shù)作為評(píng)價(jià)值是具有重要意義的。

4 應(yīng)用案例

用王香柯等［10］的數(shù)據(jù)綜合評(píng)價(jià)某集團(tuán)四個(gè)銅礦企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，以便全面掌握它們的實(shí)際運(yùn)作情況，為今后有關(guān)決策提供支持.設(shè)A1，A2，A3，A4分別記四個(gè)銅礦企業(yè)，7個(gè)經(jīng)濟(jì)效益綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)為P1：總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率，P2：資本保值增值率，P3：資產(chǎn)負(fù)債率；P4：流動(dòng)資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率，P5：成本費(fèi)用利潤(rùn)率，P6：全員勞動(dòng)生產(chǎn)率，P7：產(chǎn)品銷售率.根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局、國(guó)家計(jì)劃委員會(huì)、國(guó)家經(jīng)貿(mào)委公布的工業(yè)經(jīng)濟(jì)效益評(píng)價(jià)考核指標(biāo)體系，各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重向量為w=（0：2，0：1，0：1，0：2，0：15，0：1，0：15）。選取時(shí)間樣本點(diǎn)分別記為T1，T2，T3，T4。各時(shí)間樣本點(diǎn)下的決策矩陣分別為：

T1P1P2P3P4P5P6P 7 A1-3.01 92.59 65.10 1.42 -11.00 10119 99.64 A24.63 109.41 66.54 1.84 0.02 16252 103.80 A33.40 118.68 47.74 1.25 0.08 33921 96.67 A4-4.30 79.75 74.85 1.54 -14.27 10207 99.03 T2P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.39 82.72 73.58 1.12 -15.11 8790 99.03 A21.49 101.89 73.95 1.58 -3.68 14971 103.82 A32.18 99.18 48.90 1.11 -3.82 32308 91.01 A4-2.38 84.32 77.05 0.79 -14.47 11571 93.85 T3P1P2P3P4P5P6P 7 A1-10.63 40.83 88.89 0.82 -31.66 6361 100.77 A2-2.81 84.37 79.12 1.52 -21.08 12233 104.38 A3-5.14 83.23 62.59 1.10 -16.93 11234 99.5 A4-5.15 71.77 82.17 0.69 -22.6 8399 99.76 T4P1P2P3P4P5P6P 7 A1-5.75 56.82 94.25 1.19 -20.78 14272 101.93 A21.97 54.60 88.78 1.64 -27.85 11271 98.83 A3-1.19 183.6 50.62 0.97 -11.25 19186 100.5 A40.26 61.86 90.48 0.70 -19.34 4693 100.12

將各屬性下的屬性值劃分為10個(gè)等級(jí)，將根據(jù)（3）-（5）式，計(jì)算每個(gè)時(shí)間段下各方案在不同屬性下的廣義優(yōu)序數(shù)如下：

T1P1P2P3P4P5P6P 7 A1-1.1148 -0.7910 0.4440 -0.7488 0.1112 -2.0749 1.1539 A22.4108 0.8779 -0.6236 2.4468 0.1335 0.3515 2.4573 A31.1219 2.3196 2.4295 -2.2471 2.3155 2.7914 0 A4-2.4179 -2.4064 -2.2499 0.5491 -2.5601 -1.0681 0.5992 T2P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.3694 -2.3979 0.1459 0.4298 -0.1682 -2.1071 1.3546 A21.1952 2.4610 -0.8750 2.4171 0.1167 0.3227 2.4335 A32.5386 1.1546 2.7911 -0.5879 2.4210 2.6861 0 A4-1.3644 -1.2176 -2.0620 -2.2590 -2.3695 -0.9018 0.5623 T3P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.5401 -2.7500 -2.1873 -0.9235 -2.5022 -2.4596 1.1325 A22.1755 2.0912 0.4157 2.5339 0.7254 2.2888 2.7429 A30.6832 1.0436 2.5256 0.5961 2.2012 0.9672 0 A4-0.3186 -0.3848 -0.7540 -2.2065 -0.4243 -0.7965 0.5137 T4P1P2P3P4P5P6P 7 A1-2.5282 -0.9887 -2.0560 0.5852 -1.6362 0.7025 2.3560 A22.1909 -2.0188 0.1548 2.4342 -0.1898 -0.5988 0 A3-0.4709 2.9298 2.8091 -0.7593 2.3624 2.2899 1.2170 A40.8082 0.0777 -0.9078 -2.2601 -0.5364 -2.3936 0.6314

另外，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)分析及有關(guān)專家的意見，認(rèn)為時(shí)間度取0.3比較合適，求解（2）中的優(yōu)化模型，確定時(shí)間權(quán)向量為V=（0.2282，0.1077，0，0.6641）。

將各時(shí)間段的不同屬性下的廣義優(yōu)序數(shù)進(jìn)行加權(quán)綜合，得到各方案的總優(yōu)序數(shù)：

K1=-0.5085，K2=0.8956，K3=1.0789，K4=-0.8328.

于是四個(gè)銅礦企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益綜合排序結(jié)果為：A3?A2?A1?A4。此結(jié)果與王香柯等［10］，周曉山等［18］中的結(jié)果完全一致。本文所給出的方法為決策者提供了一種新的決策思路。

5 結(jié)語

本文基于序方法的思想，將等級(jí)偏好優(yōu)序法進(jìn)行改進(jìn)與擴(kuò)展，提出廣義優(yōu)序數(shù)的新概念，并將其應(yīng)用于時(shí)序多屬性決策模型中。同時(shí)，提出了時(shí)序多屬性決策模型中理想時(shí)間權(quán)向量的新概念，并在此基礎(chǔ)上建立優(yōu)化模型來確定時(shí)間權(quán)重。最后提出時(shí)序多屬性決策的廣義等級(jí)偏好優(yōu)序法。該方法的適用條件比較寬松，只需知道方案間的序關(guān)系即可，既可以為具體實(shí)數(shù)，也可以為優(yōu)劣關(guān)系?、?或≈，用該方法就能夠有效地比較出各方案間的優(yōu)劣關(guān)系及優(yōu)劣程度，且易于計(jì)算機(jī)操作。同時(shí)，本文提出的方法廣泛適用于對(duì)各類企業(yè)的效益綜合評(píng)價(jià)，對(duì)不同股票的投資分析，對(duì)醫(yī)院治療方案的選擇，對(duì)高校教師的績(jī)效考核等眾多需要考慮多個(gè)決策時(shí)期的實(shí)際問題，為實(shí)際中各類經(jīng)濟(jì)與管理問題提供強(qiáng)有力的決策依據(jù)。

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Generalized Precedence Ordering Method with Ranking Preference for Time Series-based Multi-attribute Decision Making

ZHANG Xiao-zhi，ZHU Chuan-xi，ZHU Li
（Department of Management Science and Engineering，Shool of Science，Nanchang University，Nanchang 330031，China）

It is necessary to consider the decision information in more time series for many complex multiple attribute decision making problems in practice.According to this time series-based multi-attribute decision making problem，generalized precedence ordering number is defined on the basis of precedence ordering method.Meanwhile，a new method based on ideal time weight is given to determine the time weight in thetime series-based multi-attribute decision making.Then the generalized precedence ordering method with ranking preference of time series-based multi-attribute decision making is proposed.Finally，by using the data in the literature，an example is given to assess the comprehensive benefits of four copper company in one group，and the result shows the feasibility and effectiveness of the proposed method.This paper provides a new way to solve the time series-based multi-attribute decision making problem.

times eries-based multi-attribute decision making；generalized precedence ordering method with ranking preference；generalized precedence ordering number；ideal time weight

C934

：A

1003-207（2014）04-0105-07

2012-03-25；

2013-02-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11361042，11071108，71201050）；江西省自然科學(xué)基金（20132BAB201001，2010GZS0147，20114BAB201007）

張小芝（1981-），女（漢族），湖北潛江人，南昌大學(xué)理學(xué)院，講師，博士，研究方向：決策分析與管理科學(xué).