裴 娟，秦羽豐，孫振翠，賈景立

(1.山東交通學(xué)院理學(xué)院，山東濟南 250023;2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與工程學(xué)院，山東 泰安 271018)

固體材料因溫度變化，在一維方向上引起的長度變化稱為線膨脹.表征線膨脹的物理參數(shù)是線膨脹系數(shù)，它是材料的基本物理參數(shù)之一.在橋梁、道路等工程設(shè)計中都要充分考慮材料的熱膨脹特性.目前，實驗室中測量金屬線膨脹系數(shù)的最常見方法是光杠桿放大法［1］.雖然該方法簡單易行，但是測量過程中需要直接測量的物理量較多，如光杠桿的臂長，光杠桿鏡面到望遠(yuǎn)鏡鏡尺組的距離，以及因溫度升高引起的標(biāo)尺讀數(shù)的增量等［2］，測量程序繁瑣，降低了測量精度.為了減少物理量的測量個數(shù)、提高測量精度，我們基于霍爾元件測量微小位移的原理［3-5］，自主搭建了一套測量固體線膨脹系數(shù)的實驗裝置.利用該裝置快速、準(zhǔn)確地測出了空心銅管在一定溫度范圍內(nèi)(20.6℃ -70.6℃)的線膨脹系數(shù).

1 實驗原理

1.1 固體的線膨脹系數(shù)［6］

設(shè)溫度為t1時，物體的長度為L1;溫度為t2時，該物體的長度為L2，當(dāng)溫度變化范圍不大時，固體的伸長變化量ΔL與溫度的變化量Δt及原長度L1成正比，即

其中，比例系數(shù)α稱為線膨脹系數(shù).所以

1.2 霍爾元件傳感器原理

如圖1所示，霍爾元件垂直置于磁感強度為B的磁場中(Z軸方向)，在其一組對邊通以電流I(X軸方向)，則在與這二者垂直的方向上(Y軸方向)，即另外的一組對邊之間將產(chǎn)生霍爾電勢差UH，稱為霍爾電壓.

上式中KH為霍爾元件的靈敏度.

圖1 霍爾效應(yīng)原理圖

將通有電流I的霍爾元件置于均勻梯度磁場中，當(dāng)霍爾元件沿磁場方向(Z軸)發(fā)生位移的變化時，霍爾電壓將發(fā)生變化，變化量為:

其中ΔZ為位移量

磁場沿Z軸方向的變化率.保持霍爾元件中的電流I不變，當(dāng)霍爾元件在均勻梯度磁場(即為常數(shù))中沿Z軸移動時，當(dāng)位移量較小，即ΔZ〈2 mm時，霍爾電壓的變化量ΔUH與位移量ΔZ之間存在良好的線性關(guān)系［5］

利用公式(4)，可以把長度量ΔZ的測量轉(zhuǎn)化為電學(xué)量ΔUH的測量.這樣只要確定公式(4)中的系數(shù)K0，就可以利用霍爾元件、電壓表等直接測出公式(1)中的線膨脹系數(shù)α.

2 結(jié)果與討論

2.1 測量系數(shù)K0

(1)我們利用毫伏電流表、毫伏電壓表、直流穩(wěn)壓電源、讀數(shù)顯微鏡、霍爾元件和自組裝的均勻梯度磁場等搭建了一套確定系數(shù)K0的實驗裝置.如圖2所示，將霍爾元件及其固定桿呈水平狀態(tài)固定在讀數(shù)顯微鏡的鏡筒上，通過轉(zhuǎn)動讀數(shù)顯微鏡的微調(diào)手輪，使霍爾元件在均勻梯度磁場中沿Z軸方向上下移動.

其中，均勻梯度磁場是由兩個完全相同的釹鐵硼強磁鐵(中心場強為0.15T，尺寸為60.0mm×40.0mm×5.0mm)同極(S極)相對放置組成，兩磁鐵之間的間距為12mm.磁鐵正對面積(60mm×40mm)是霍爾元件面積(2.0mm×2.0mm)的600倍，并且霍爾元件垂直磁場放在該間隙的中心，所以在測量中可以忽略邊緣效應(yīng)帶來的影響.由公式(4)可見，通過改變霍爾元件在磁場中的位置，測出相應(yīng)ΔUH與位移量ΔZ，就可以確定系數(shù)K0.

(2)給霍爾元件一組對邊輸入工作電流10.00mA，轉(zhuǎn)動讀數(shù)顯微鏡的微調(diào)手輪，找到霍爾元件在均勻梯度磁場中的“零”位置，即數(shù)字電壓表顯示0.0 mV.記錄此時讀數(shù)顯微鏡的位置讀數(shù)Z1和電壓表的示數(shù)U1，沿著該方向繼續(xù)轉(zhuǎn)動讀數(shù)顯微鏡的微調(diào)手輪，使霍爾元件在均勻梯度磁場中沿Z軸方向移動，每移動0.200 mm記錄下相應(yīng)的電壓表示數(shù)U，共測量7個點.為了減小測量誤差，我們又將霍爾元件沿相反方向移動，每移動0.200 mm，記錄下相應(yīng)的電壓表示數(shù)U'，依次測量7個點.測量數(shù)據(jù)見表1.

圖2 實驗裝置圖

表1 室溫20.6℃時讀數(shù)顯微鏡位置Z和霍爾電壓U

我們利用Origin數(shù)據(jù)處理軟件對所測數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性擬合，如圖3所示.作圖時以電壓U為縱坐標(biāo)，讀數(shù)顯微鏡的讀數(shù)Z為橫坐標(biāo).由圖3可見，霍爾電壓U與霍爾元件位移量Z之間存在良好的線性對應(yīng)關(guān)系.通過線性擬合得到公式(4)中的系數(shù)K0:

圖3 U-Z線性關(guān)系圖

2.2 測量空心銅管線膨脹系數(shù)α

用固體加熱儀替換圖2中的讀數(shù)顯微鏡，將空心銅管放入固體加熱儀中，空心銅管內(nèi)插有記錄溫度變化的溫度計，霍爾元件固定桿固定在銅管上.實驗裝置如圖4所示.

圖4 實驗裝置圖

將固體加熱儀接通電源，內(nèi)置銅管受熱膨脹向上升起，帶動霍爾元件及其固定桿在梯度磁場中發(fā)生位置的變化，即霍爾電壓的變化.將室溫20.6℃作為初始溫度，記錄此時電壓值，然后溫度每升高10℃，記錄一次霍爾電壓值U，直到升溫至70℃，一共記錄6個點.為了減小測量誤差，我們也測量了降溫過程中對應(yīng)的電壓值，具體測量數(shù)據(jù)見表2.

表2 不同溫度下的霍爾電壓U

我們用毫米尺測量了室溫20.6℃下銅管的原長度L=502.0 mm.

為了豐富計算方法，此處，我們采用逐差法處理數(shù)據(jù).首先將表2中電壓值變化量的六個數(shù)據(jù)按順序分成兩組，第一組數(shù)據(jù)為U1、U2、U3、，第二組數(shù)據(jù)為U4、U5、U6、;然后采取對應(yīng)項相減的辦法，計算了溫度在20.6℃ -70.6℃范圍內(nèi)，溫度差為10℃的電壓值ΔUH，即

銅管在一定溫度范圍內(nèi)(20.6℃ -70.6℃)的線膨脹系數(shù)的理論值為1.67×10-5/℃.將我們的實驗值與理論值作比較，得出相對誤差

由此可見，實驗值與理論值吻合的較好.

3 結(jié)論

基于霍爾元件測量微小位移的原理，我們成功地設(shè)計了一套測量金屬線膨脹系數(shù)的實驗裝置.與光杠桿放大法測量相比，利用該裝置進(jìn)行實驗，不僅減少了物理量的測量個數(shù)，而且提高了測量精度.表明該測量裝置和測量方法具有重要的理論與實踐價值.

［1］胡君輝，李丹，唐玉梅，等.光杠桿法測定金屬線膨脹系數(shù)實驗分析［J］.大學(xué)物理實驗，2010，23(1):30-32.

［2］吳鋒，張昱.大學(xué)物理實驗教程(第1版)［M］.北京:科學(xué)出版社，2008.

［3］趙國明，李大磊.霍爾傳感器在楊氏模量測量中的應(yīng)用［J］.吉林化工學(xué)院學(xué)報，2010，27(2):74-76.

［4］張勇，徐杰，郭霞，等.利用霍爾位置傳感器測楊氏模量［J］.大學(xué)物理實驗，2010，23(3):39-41.

［5］金正宇，張迪兒，陸申龍.一個經(jīng)典力學(xué)實驗方法的改進(jìn)——霍爾傳感器測楊氏模量［J］.實驗室研究與探索，2000(2):36-38.

［6］原所佳.物理實驗教程(第3版)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2010.