牛印寶，汪永超，王宇，王杰

(四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都610065)

0 前言

切削速度的選擇是機(jī)械加工過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是切削用量三大要素之一，切削速度直接影響著加工時(shí)間、生產(chǎn)成本、刀具耐用度、能源消耗和加工質(zhì)量［1］。在過(guò)去的加工過(guò)程中人們往往根據(jù)切削用量手冊(cè)或者根據(jù)人工經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行切削速度的選擇，但是這種方法不能夠進(jìn)行切削速度優(yōu)劣的定量計(jì)算和判斷從而說(shuō)服力不足，并且這種方法也很容易造成資源的浪費(fèi)和生產(chǎn)效率的低下，這是不符合綠色制造的準(zhǔn)則的。

面向綠色制造的切削速度的優(yōu)化選擇是一個(gè)十分復(fù)雜的過(guò)程，一般來(lái)說(shuō)能夠滿足工業(yè)要求的切削速度有很多種，但是哪一種速度相對(duì)來(lái)說(shuō)能夠使加工時(shí)間最短、加工成本最低、能源消耗最少、環(huán)境污染程度最輕、刀具耐用度最長(zhǎng)以及加工質(zhì)量最好這是很難抉擇的，要想解決這一問(wèn)題就必須建立一個(gè)和切削速度有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化以達(dá)到目的。文中在建立的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上采用層次分析法和灰度關(guān)聯(lián)法對(duì)模型進(jìn)行分析和求解，這兩方法相結(jié)合能夠很好地對(duì)切削速度進(jìn)行優(yōu)化選擇。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 指標(biāo)函數(shù)的確定

通常，在對(duì)任何一個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化選擇時(shí)都要有其一定的指標(biāo)，否則優(yōu)化就無(wú)從談起。不僅如此，在文中使用到的層次分析法中必須要有指標(biāo)作為其決策層，而且指標(biāo)也必須要和待優(yōu)化的變量有一定的關(guān)系。文中使用加工時(shí)間(Tv)、生產(chǎn)成本(Cv)、能源消耗(Rv)和刀具耐用度(T)作為數(shù)學(xué)模型的指標(biāo)函數(shù)。在實(shí)際生產(chǎn)中加工的質(zhì)量只要符合要求就行，不必要求質(zhì)量越高越好，否則反而會(huì)增加不必要的成本，因此加工質(zhì)量作為指標(biāo)的作用不大，但是可以作為約束條件使用。在生產(chǎn)設(shè)備和生產(chǎn)方式確定的情況下制造業(yè)對(duì)資源的消耗主要是能源的消耗，并且能源的消耗和環(huán)境污染也是同向的，能源消耗的越少對(duì)環(huán)境的污染就越少。綜上，只選擇Tv、Cv、Rv、T4 項(xiàng)作為模型的指標(biāo)函數(shù)。

1.1.1 加工時(shí)間

加工時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式:

式中:tm為工序的切削時(shí)間;tl為工序過(guò)程中輔助時(shí)間;tc為一次換刀時(shí)間;T為刀具耐用度;L為切削長(zhǎng)度;d為切削工件的直徑;z為單面加工余量;Cr為刀具的耐用度系數(shù);Kr為修正系數(shù);m，xv，yv為對(duì)刀具耐用度的影響系數(shù);f為進(jìn)給量;ap為背吃刀量。

1.1.2 生產(chǎn)成本

生產(chǎn)成本指標(biāo)函數(shù)可以表示為:

式中:M為單位時(shí)間內(nèi)工廠的開(kāi)支，主要包括的有勞動(dòng)生產(chǎn)費(fèi)和機(jī)床管理費(fèi);C為包括刀具的磨刀費(fèi)、折舊費(fèi)和更換費(fèi)等相關(guān)的費(fèi)用。

1.1.3 能源消耗

對(duì)于能源消耗它主要是以功率的形式體現(xiàn)出來(lái)的，故在此只需得到加工過(guò)程中功率消耗的表達(dá)式就可。在制造企業(yè)加工過(guò)程中消耗功率的方面有很多，主要的包括電機(jī)空轉(zhuǎn)功率和切削加工的切削功率。具體的函數(shù)表達(dá)式如下:

式中:Pu為電機(jī)空載功率;Pc為切削功率;α 為功率平衡系數(shù)，其范圍1.15～1.25;Fc為主切削力;CFc為與加工材料和切削條件有關(guān)的參數(shù);為經(jīng)驗(yàn)系數(shù);為切削力修正系數(shù)。

1.1.4 刀具耐用度

刀具耐用度和生產(chǎn)效率以及生產(chǎn)成本有著密切的關(guān)系把它作為決策指標(biāo)還是很有必要的，其函數(shù)形式如下:

1.2 模型的約束條件

在實(shí)際的生產(chǎn)過(guò)程中切削速度的選擇還要受到很多條件限制，不能夠隨意選取。約束條件就像函數(shù)的定義域一樣，規(guī)定了在優(yōu)化選擇時(shí)應(yīng)該滿足的基本條件。本模型切削速度的約束條件有如下幾種:

(1)切削速度應(yīng)該滿足機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速的約束:

式中:nmin，nmax分別為機(jī)床主軸允許的最低轉(zhuǎn)速和最高轉(zhuǎn)速，d為切削工件的直徑。

(2)切削力應(yīng)小于機(jī)床主軸最大進(jìn)給力:

式中:Fmax為機(jī)床進(jìn)給機(jī)構(gòu)允許的最大抗力。

(3)切削功率要小于機(jī)床的有效功率:

式中:η 為機(jī)床的傳功功率，一般取η=0.75～0.85;Pmax為機(jī)床主電機(jī)傳動(dòng)功率。

(4)加工質(zhì)量約束

工件表面的加工質(zhì)量雖然和切削速度有關(guān)系，但是我們并沒(méi)有把它加入到指標(biāo)函數(shù)中而是把它作為約束條件，這樣更顯合理。

加工質(zhì)量約束:

式中:R為工件表面粗造度;Rmax為工件允許的最大表面粗造度。

以上的幾個(gè)約束條件是進(jìn)行速度優(yōu)化選擇時(shí)必須要遵守的。假設(shè)有n個(gè)可供選擇的切削速度方案，其中不滿足上面約束條件的有m個(gè)那么只需對(duì)剩余的n-m個(gè)切削速度方案進(jìn)行優(yōu)化選擇即可。

1.3 模型的描述

在以綠色制造為宗旨的加工生產(chǎn)中切削速度的選擇是一件很困難的事情，因?yàn)榍邢魉俣扔绊懼芏嘁蛩?，其主要包括加工時(shí)間、加工成本、能源消耗和刀具的耐用度等。切削速度加大雖然能夠使加工時(shí)間變短，但會(huì)增加能源的消耗以及刀具的磨損有可能還會(huì)加大成本;切削速度過(guò)小則會(huì)使加工時(shí)間增長(zhǎng)，導(dǎo)致生產(chǎn)效率低下，這些都不能夠滿足綠色制造的要求。因此在對(duì)不同切削速度進(jìn)行優(yōu)化選擇時(shí)一定要建立好數(shù)學(xué)模型［2］。假設(shè)有n中切削速度方案，那么切削速度的優(yōu)化決策方案(X)可以用一個(gè)n維的列向量來(lái)描述，如下:

對(duì)此優(yōu)化方案進(jìn)行求解過(guò)程其實(shí)就是在滿足式(5)、(6)、(7)、(8)的基礎(chǔ)上求X*，使得

式中:Optimum(Tv(v)，Cv(v)，Rv(v)，T(v))為最優(yōu)綠色性(加工時(shí)間最短、加工成本最少、能源消耗最少、刀具使用時(shí)間最長(zhǎng));v* 為最優(yōu)的切削速度方案。

2 模型求解

由以上的分析不難看出面向綠色制造的切削速度的選擇是一個(gè)典型的多屬性、多目標(biāo)的優(yōu)化問(wèn)題，里面的很多屬性都難以定量分析，只能將定性分析和定量計(jì)算以及邏輯判斷相結(jié)合的方式來(lái)解決這些問(wèn)題。文中采用層次分析法結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)分析法來(lái)求解該模型。

2.1 使用層次分析法確定指標(biāo)權(quán)重

層次分析法(AHP:Analytic Hierarchy Process)是由美國(guó)著名運(yùn)籌學(xué)家薩蒂(T L SAATY)教授提出來(lái)的一種系統(tǒng)分析方法。這種方法把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題按照屬性邏輯關(guān)系逐層分解，形成一個(gè)層次結(jié)構(gòu)來(lái)加以分析，以簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度，并在逐層分解的基礎(chǔ)上加以綜合，給出復(fù)雜問(wèn)題的求解結(jié)果［3］。

2.1.1 層次分析法的實(shí)施步驟

(1)建立層次結(jié)構(gòu)圖

首先要將評(píng)價(jià)的目標(biāo)分解為各種組成因素，將這些因素再按屬性關(guān)系分解為次級(jí)組成因素，如此層層分解形成一個(gè)有序的層次結(jié)構(gòu)，如目標(biāo)層O、指標(biāo)層U、方案層A等。所設(shè)計(jì)的層次結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 層次結(jié)構(gòu)圖

(2)構(gòu)造判斷矩陣

針對(duì)上層要素Oi，假設(shè)U1，U2，…，Un是n個(gè)與Oi有關(guān)聯(lián)的下層要素，要分析U層各要素針對(duì)Oi的相對(duì)重要程度，就可以構(gòu)造一個(gè)n×n階的判斷矩陣，如表1。

表1 判斷矩陣

在進(jìn)行標(biāo)度判斷時(shí)傳統(tǒng)的1—9 標(biāo)度一致性比較差，故文中采用en/5標(biāo)度來(lái)代替1—9 標(biāo)度，兩種標(biāo)度的關(guān)系如表2。

表2 標(biāo)度定義

(3)一致性檢驗(yàn)

一致性檢驗(yàn)是指判斷矩陣中各個(gè)要素的重要性判斷是否一致，不能出現(xiàn)矛盾。一致性判斷的公式如下:

式中:C.Ⅰ.為一致性指標(biāo)，值越小表明判斷矩陣的一致性越好;λmax為矩陣的最大特征值;n為矩陣階數(shù);R.Ⅰ.為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，不同階數(shù)的值可查表得到;C.R.為一致性比值，當(dāng)C.R.＜0.1 時(shí)判斷矩陣具有滿意的一致性，若不滿足此要求則要重新確立判斷矩陣。

(4)確定指標(biāo)權(quán)重

根據(jù)層次分析法原理，指標(biāo)權(quán)重的確定就是求判斷矩陣的特征根和特征向量，特征向量就是各指標(biāo)的權(quán)重向量，特征值可以用來(lái)判斷特征矩陣是否滿足一致性，只有滿足一致性所求的權(quán)重向量才有效。在層次分析法中一般采用近似計(jì)算的方法，常用的方法有“方根法”和“求和法”［3］，這里不再詳細(xì)介紹具體公式。

有時(shí)，進(jìn)行層次分析時(shí)其結(jié)構(gòu)層次數(shù)不止一層，此時(shí)就要求出其最終權(quán)重集。假設(shè)上一層要素U1，U2，…，Um的權(quán)重已經(jīng)確定，其數(shù)值為w1，w2，…，wm;且本層各要素A1，A2，…，An對(duì)Ui的各層權(quán)重結(jié)果為w1i，w2i，…，wni，那么本層最終的權(quán)重集為:

其中i=1，2，3…，m;j=1，2，3，…，n。

2.2 使用灰度關(guān)聯(lián)法計(jì)算關(guān)聯(lián)矩陣

在使用灰度關(guān)聯(lián)法計(jì)算關(guān)聯(lián)矩陣時(shí)，需要確定原始矩陣和參考指標(biāo)體系、指標(biāo)值無(wú)量綱化以及計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)［5］。

2.2.1 原始矩陣和參考指標(biāo)體系的確定

假設(shè)在一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題中有n個(gè)備選方案，每個(gè)方案都有w個(gè)指標(biāo)，那么就可構(gòu)造出一個(gè)n×w的原始矩陣，如下:

參考指標(biāo)在確定時(shí)應(yīng)該遵循一個(gè)原則，即:它是從各個(gè)方案指標(biāo)值中選取的最優(yōu)值或者是常規(guī)下的理想值作為自己的指標(biāo)數(shù)值。如果選取a0=［a01，a02，…，a0w］作為參考指標(biāo)那么a01，a02，…，a0w都是參考指標(biāo)中的最優(yōu)值。

2.2.2 指標(biāo)值量綱一化

由于不同指標(biāo)的原始序列的量綱是不一致的，因此，需進(jìn)行量綱一化處理以統(tǒng)一量綱。量綱一化的常見(jiàn)的方法有初始值法、均值化法和區(qū)間值化法。文中使用區(qū)間值法對(duì)指標(biāo)進(jìn)行量綱一化的處理，具體公式如下:

指標(biāo)最優(yōu)值為最大值時(shí):

指標(biāo)最優(yōu)值為最小值時(shí):

經(jīng)過(guò)量綱一化處理后就可以得到如下的矩陣:

此時(shí)前面選取的參考指標(biāo)就變成了e0=［1，1，…，1］。

2.2.3 計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)

關(guān)聯(lián)系數(shù)的意義就是比較各方案指標(biāo)和理想指標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)程度，公式如下:

式中:ρ 為分辨率，ρ=0～1，一般取0.5 為宜［4］。

事實(shí)上經(jīng)過(guò)量綱一化之后，上述公式可以簡(jiǎn)化為:

關(guān)聯(lián)系數(shù)求出之后，就可得到關(guān)聯(lián)矩陣，如下:

2.3 計(jì)算關(guān)聯(lián)度

關(guān)聯(lián)度的計(jì)算是切削速度進(jìn)行優(yōu)化選擇時(shí)的關(guān)鍵步驟，只要計(jì)算出了各個(gè)方案相對(duì)于最優(yōu)方案的關(guān)聯(lián)度，就可直接定量的比較出那種方案是最符合綠色制造要求的，即綠色度最高的。

關(guān)聯(lián)度的計(jì)算就是將上面求到的最終權(quán)重集引入到關(guān)聯(lián)矩陣中，公式如下:

式中:Q為可比較的數(shù)據(jù)集;ε 為關(guān)聯(lián)矩陣;W 為指標(biāo)的權(quán)重向量。

從上述公式就可以得到一個(gè)與最優(yōu)方案有關(guān)的數(shù)據(jù)集，經(jīng)過(guò)比較它們值的大小就可確定哪種方案和最優(yōu)方案最接近，即為最優(yōu)切削速度方案［6］。

3 結(jié)束語(yǔ)

所研究的切削速速度的優(yōu)選方法在理論上有很強(qiáng)的可行性，對(duì)于某些評(píng)價(jià)方案來(lái)說(shuō)它們的指標(biāo)值都是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)判斷或模糊處理得到的，這有一定的誤差，而文中的指標(biāo)值都是由公式直接得到，不會(huì)有人為的誤差，而且文中采用的是改進(jìn)標(biāo)度的層次分析法能夠使計(jì)算出來(lái)的結(jié)果具有更高的準(zhǔn)確性。此外在進(jìn)行模型求解時(shí)，可以使用MATLAB 工具，在MATLAB 中建立實(shí)現(xiàn)此功能的M 文件，只需將要比較的切削速度輸入進(jìn)去就可判斷哪一個(gè)綠色度最高。此方法方便快捷可以很好地解決切削速度難選擇的問(wèn)題，與傳統(tǒng)的方法相比更高速、精密、清潔，完全符合綠色制造的要求。

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