馬麗娜，張森，李榮華，閻維賢?

（1.山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006；2.山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

在緊束縛近似中［1］，能夠得到石墨烯中的電子在K、K′點(diǎn)的行為類似于具有手征Dirac電子，但是運(yùn)動(dòng)速度卻是光速的1／300［2－3］。這種特殊的性質(zhì)使電子在石墨烯中具有量子電動(dòng)力學(xué)中的相對(duì)論粒子的性質(zhì)：例如Klein隧穿就是個(gè)例子，垂直入射的Dirac電子能夠完全穿過任意高勢(shì)壘。除此之外，Dirac電子也有著異常的物理性質(zhì)，例如由于電子和空穴波函數(shù)的干涉引起的震顫，強(qiáng)磁場(chǎng)中的反常量子霍爾效應(yīng)［4］，以及發(fā)生在單層石墨烯和超導(dǎo)材料薄膜的反常的Andreev反射［5］。正是由于單層石墨烯的電子具有Klein隧穿這樣特殊的性質(zhì)，使得把石墨烯中的電子控制在勢(shì)壘中變得幾乎不可能。但是近來的研究表明利用磁場(chǎng)反而可以有效地把Dirac電子控制在有效的范圍內(nèi)，從而為石墨烯電子學(xué)的應(yīng)用提供了一個(gè)可能的選擇［6］。一般情形下，大部分研究是集中在單層石墨烯中的電子或光學(xué)性質(zhì)，但實(shí)際在應(yīng)用上，石墨烯通常是生長(zhǎng)在某種物理介質(zhì)上，例如二氧化硅（SiO2）等絕緣基板上，由于晶格匹配的問題，往往產(chǎn)生應(yīng)力，這些應(yīng)力實(shí)際上會(huì)影響石墨烯中的最近鄰的A，B子格子的隧穿，這種對(duì)最近鄰隧穿的影響就表現(xiàn)在對(duì)理想單層石墨烯中的電子的哈密頓要進(jìn)行必要的修正［7］。本文正是基于這種實(shí)際情形下的考量，對(duì)理想的單層石墨烯中的電子哈密頓做了各向異性的修正，研究石墨烯表面在磁場(chǎng)和應(yīng)力共同作用下的電子的隧穿性質(zhì)。我們利用轉(zhuǎn)移矩陣的方法研究了電子在應(yīng)力作用下矢勢(shì)驅(qū)動(dòng)的單層石墨烯單個(gè)勢(shì)壘的透射性質(zhì)，從而得到了透射率與入射粒子費(fèi)米能以及勢(shì)壘寬度的變化關(guān)系，并且討論其與無應(yīng)力情形下隧穿性質(zhì)的比較，這些結(jié)果有利于深入揭示應(yīng)力對(duì)石墨烯電子隧穿特性的影響。

1 應(yīng)力下石墨烯模型

如果將上述修正的系統(tǒng)放在垂直于石墨烯表面（x，y）方向磁場(chǎng)下：即B＝B ez，在忽略電子自旋自由度的情形下，根據(jù)最小耦合原理，我們得到下列有效哈密頓量：

單層石墨烯實(shí)際上是由A，B兩套子格子構(gòu)成的一種二維六角形晶體，在緊束縛近似下：它的哈密頓量可以寫成如下形式［2－3］：

其中電子動(dòng)量為k＝－i（?x，?y）T，Pauli矩陣σ＝（σx，σy）作用在A，B 子晶格構(gòu)成的贗自旋空間。石墨烯表面存在應(yīng)力時(shí)，顯示出各向異性，不失一般性，我們假定：有vx＝αvy，vy＝vF，α為應(yīng)力相關(guān)因子，費(fèi)米速度vF＝1.0×106m／s.

Fig.1 Schematic plot of the Dirac electrons in strained graphene driven by vector potential A（x）圖1 Dirac電子在矢量勢(shì)驅(qū)動(dòng)的應(yīng)變石墨烯的示意圖

如果我們選擇下列磁矢勢(shì)A（x，y）＝A（x）ey（如圖（1）所示），

也就是說：圖（1）中三個(gè)區(qū)域內(nèi)，在｜x｜≤d處，B＝B ez，｜x｜＞d處，B＝0。

2 計(jì)算結(jié)果及討論

圖2描述應(yīng)力和磁場(chǎng)共同作用下的石墨烯中Dirac電子在不同磁勢(shì)壘寬度和以不同能量入射時(shí)，透射率隨入射角度變化的規(guī)律。當(dāng)B0＝4T時(shí)，lB＝13 nm，同時(shí)當(dāng)εlB＝1時(shí)所對(duì)應(yīng)的E＝44 me V。圖2（a）與（b）描述了石墨烯在表面應(yīng)力相關(guān)因子α＝0.75情形下，分別給出了（a）εlB＝5和（b）d／lB＝1.5，透射率隨入射角φ變化的規(guī)律曲線。我們知道：如果系統(tǒng)所加的是電勢(shì)，那么不論電勢(shì)的勢(shì)壘有多高，在電子垂直入射的情形下，電子的透射率都等于1，電子會(huì)完全穿過勢(shì)壘，這也就是所謂的Klein隧穿［3］。但是，如果引入磁場(chǎng)，則會(huì)徹底改變這種狀況，所以，磁場(chǎng)可作為約束Dirac電子處于某一范圍內(nèi)的有效手段。這種約束可以很清楚地在圖2（a）和（b）看出來：圖2（a）中d／lB＝3，4.5，4.97時(shí)，在垂直入射下透射率均為零。圖2（b）εlB＝1.6時(shí)，透射率為零；εlB＝3.2時(shí)，盡管不為零，但明顯小于1。

Fig.2 Two polar plots of the transmission under the same strain factorα＝0.75，（a）the same incident energy E＝220 meV，but different magnetic barrier width：d／l B＝0.5，1.5，3，4.5，4.97；（b）the same magnetic barrier width d／l B＝1.5，but with different incident energies：εl B＝1.6，3.2，4，5，7圖2 透射率的極坐標(biāo)圖，應(yīng)力相關(guān)因子α＝0.75，（a）入射能量等于220 me V情形下，磁勢(shì)壘寬度2d不同時(shí)透射率的變化情況；（b）磁勢(shì)壘寬度2d＝39 nm情形下，入射能量不同時(shí)的透射率

為了定量評(píng)估應(yīng)力對(duì)于Dirac電子的輸運(yùn)性質(zhì)的影響，我們?cè)趫D3中給出了理想的單層石墨烯和應(yīng)力作用下單層石墨烯的透射率隨不同入射角度的變化情況。在圖3（a）中，固定入射粒子的入射能量E＝70.4 meV和磁勢(shì)壘寬度d＝19.5 nm。分別繪出了不同的應(yīng)力相關(guān)因子下透射率隨入射角的變化。在圖3（b）中，畫出了對(duì)應(yīng)不同應(yīng)力相關(guān)因子透射率的變化曲線，取較大的入射能量E＝220 me V，磁勢(shì)壘寬度與圖（a）相近：2d＝36.4 nm。因?yàn)閮蓚€(gè)子圖的磁勢(shì)壘寬度相近，入射電子能量有很大差距。圖中可以看出，當(dāng)入射能量較小時(shí)，粒子隧穿情況隨應(yīng)力的變化而有著明顯的變化。隨著能量變大，其變化越來越不明顯，當(dāng)能量較大如3（b）圖所示，應(yīng)力對(duì)透射率幾乎沒有影響。但是，對(duì)于入射能量較小的情形（如圖3（a）所示），應(yīng)力對(duì)透射率卻有很大的影響。圖3（a）中，實(shí)線給出了理想的單層石墨烯的透射率［6］，應(yīng)力越大（α越?。?，透射率變化越大，當(dāng)α＝0.7時(shí)，透射率可以達(dá)到1，在某個(gè)入射方向?qū)崿F(xiàn)完全透射。

Fig.3 Polar plots of the transmission of Dirac electron under the strain.（a）small incident energy：d／l B＝1.5，εl B＝1.6；（b）large incident energy d／l B＝1.4，εl B＝5.0圖3 石墨烯存在不同的應(yīng)力情況下透射率的極坐標(biāo)圖，（a）能量較小下的情形d／l B＝1.5，εl B＝1.6；（b）能量較大的情形：d／l B＝1.4，εl B＝5.0

3 結(jié)論

本文主要研究了應(yīng)變單層石墨烯穿過磁勢(shì)壘的隧穿性質(zhì)。通過引入應(yīng)力相關(guān)因子研究了狄拉克電子在不同磁勢(shì)壘寬度和以不同能量入射時(shí)，透射率隨入射角度變化的規(guī)律，除此之外，還研究狄拉克電子在應(yīng)力相關(guān)因子不同的情況下，磁勢(shì)壘寬度和入射電子能量相同時(shí)，透射率隨入射角度變化的規(guī)律。我們?cè)谡麄€(gè)空間區(qū)域構(gòu)造了轉(zhuǎn)移矩陣，通過連續(xù)性條件給出了穿過磁勢(shì)壘的透射率的表達(dá)式。通過數(shù)值計(jì)算表明：在小角度散射中，磁場(chǎng)和應(yīng)力對(duì)狄拉克粒子隧穿的影響與通常意義上的薛定諤粒子隧穿不同［9］，也與處于電勢(shì)壘中的能完全透射的克萊因隧穿不同［3］，磁場(chǎng)和應(yīng)力可以把狄拉克電子束縛在一個(gè)應(yīng)變的磁勢(shì)壘中。只要入射能量不是很大，應(yīng)變的增加可以顯著增加定向透射率，這種既能把狄拉克粒子約束在某個(gè)特定方向，而且又能通過應(yīng)變調(diào)節(jié)透射率的大小在實(shí)際技術(shù)應(yīng)用中很重要。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)在大的入射能量下，應(yīng)變引起的效應(yīng)會(huì)被消除，從而使得應(yīng)變的石墨烯和理想石墨烯幾乎具有相同的隧穿性質(zhì)。

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