陳希明，張振鵬，李樹晨

(重慶郵電大學數(shù)理學院，重慶 南岸 400065)

近年來，Ia型超新星的光度紅移觀測［1-2］和其他獨立輔助觀測，例如Wilkinson微波背景各向異性探測衛(wèi)星(WMAP-)，以及Sloan數(shù)字巡天望遠鏡(SDSS)等天文數(shù)據(jù)都證實宇宙已經(jīng)進入一個加速膨脹的階段.通常引入一種具有負壓強且其能量大約為宇宙總能量3/4能驅動宇宙作加速膨脹的物質，把這種物質稱為暗能量，目前探索暗能量的性質成為當前宇宙學和理論物理領域中最為熱點的問題之一.暗能量最簡單的候選者是愛因斯坦宇宙學常量Λ，其狀態(tài)參數(shù)為-1，雖然與目前所有的觀測都符合得很好，但卻會遇到“精細調節(jié)”和“巧合性”問題［3-8］.暗能量另外的候選者是動力學標量場.標量場暗能量的例子之一，如Quintessence標量場［9-12］，場隨它的勢緩慢下降，由于場演化足夠緩慢，其動能密度遠小于勢能密度，導致的負壓強是宇宙加速膨脹的原因.除Quintessence外，還有許多標量場暗能量模型，如 Phantom，K-essence，Tachyon，Quintom等.在上面提到的各種標量場模型中，重要的是可以選擇不同的動能項和不同的勢能項，這些不同標量場模型將給出宇宙不同的演化.標量場模型的優(yōu)點之一就是在確定的冪指數(shù)倒數(shù)勢能和指數(shù)勢能下能夠導致追蹤解，在某種意義上追蹤解是吸引子解，其在非常寬泛的初始條件下φ和˙φ迅速收斂到共同演化的軌跡，以致宇宙的演化獨立于初始條件.引入追蹤解概念的重要意義在于能夠克服宇宙的巧合問題和避免微調問題［12-13］.與變化宇宙學常量相關的宇宙追蹤解的研究已有較長的時間，目前已經(jīng)由最初的Quintessence標量場模型［13］拓展到其他標量場模型［14-16］，要想獲得追蹤解需要選擇恰當?shù)暮侠淼膭菽芎瘮?shù)［14，17］.

本文中假設平坦空間的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中僅包含具有指數(shù)勢能的Quintessence標量場與暗物質兩種流體物質.引入無量綱的變量，得到宇宙演化的自治系統(tǒng)，然后以可觀測量Ωφ和γ為變量將自治系統(tǒng)改寫為追蹤場的方程.首先，將歸納出Quintessence標量場中w'與w更為緊密約束限制關系;其次較為詳細地數(shù)值研究在宇宙的追蹤演化過程中，各個宇宙學參量隨標度因子變化的規(guī)律，得到的結果不僅與目前觀測結果相一致，而且還有助于理解在追蹤下各個宇宙學參量的演化行為.

1 Quintessence標量場的追蹤解

下面將考慮平坦空間的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中包含壓強為 pγB=(γB-1)ργB的理想流體和具有指數(shù)勢能 V(φ)=V0exp(-κλφ)的 Quintessence標量場.其中pγB和ργB分別是理想流體的壓強和能量密度，V(φ)和φ為標量場的勢能密度和標量場，V0、κ、λ和γB=1+wB為常量，而wB為理想流體的態(tài)密度參數(shù)．眾所周知，γB=1對應于無壓的物質;γB=4/3對應于輻射場．一般地，0＜γB＜2．

平坦空間的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中的演化方程為

這里H=˙a/a是哈勃參量，a為標度因子，κ2=8πG，G是牛頓引力常量.H、ργB、φ和a上的“.”代表對時間的一階導數(shù)，“..”表示對φ的二階導數(shù).在平坦空間中的Friedmann方程為

用pφ和ρφ分別代表均勻各項同性宇宙中暗能量和暗物質的壓強與能量密度，其表達形式為

宇宙中暗能量的態(tài)參數(shù)方程w為

觀測建議在當前時代附近宇宙中的態(tài)密度參數(shù)w的值接近 -1.采用與文獻［18-19］相同的方法，定義無量綱變量x，y和λ:

利用變量x、y和λ，演化方程(1)、(2)和(3)可重寫為如下的自治系統(tǒng)形式:

方程(8)、(9)和(10)中的 x'、y'和 λ'分別代表x、y、λ 對 lna的導數(shù)，Γ =V?φφV(?φV)2為追蹤參量［12］.從方程(4)中得到的限制方程為

方程(11)中

上式中，對于非負的流體能量密度ργB≥0，因為0≤Ωφ≤1，所以x與y應允許的范圍為

依據(jù)新的變量，標量場有效的態(tài)參數(shù)方程γ為可重寫為

由方程(12)和(13)給出的可觀測量 Ωφ、γ，根據(jù)文獻［20-21］可將由(8)、(9)和(10)構成的自治系統(tǒng)改寫為

方程(8)和(9)與方程(14)、(15)及(16)的最大不同在于，通常用自治系統(tǒng)方程(8)和(9)考慮動力學吸引子解和標度解時把λ和w作為一常量來處理，而用方程(14)、(15)及(16)考慮標量場的追蹤解時將λ和w認為是隨時間或者標度因子而變化的物理量.

對Quintessence標量場來說，其態(tài)密度參數(shù)滿足0＞w＞-1，若Quintessence標量場中的勢能密度單調下降，有方程(14)式中第二項為正，有γ'＞-3γ(2-γ)．因此，可以得到w'和w之間的約束關系為w'＞-3(1+w)(1-w).對于Quintessence Thawing模型［22］，在1+w ?1 ，且 w ≤-0．8 時，給出的限制為

同時，對于 Quintessence Freezing 模型［22］，則有

若1+w?1及w≤-0．8不滿足時，則方程(17)可以寫成更廣泛的形式，即對于 Quintessence Thawing模型

聯(lián)合方程(14)、(15)和(16)，可以得到的追蹤方程為

方程(21)則是Quintessence標量場的動能密度對勢能密度的比率的自然對數(shù).根據(jù)方程(21)式，從而有

和

將方程(22)、(23)以及γB=1+wB和γ=1+w代入方程(20)，則追蹤方程(20)可化簡為

方程(24)與文獻［23］采用的方法導出的結果一樣.

從方程(24)可知，對任意的勢能密度，發(fā)生追蹤行為的條件是w＜wB和追蹤參量Γ=V?V(?V)2＞1，且在整個可能的初始標量φφφ場φ的范圍內 Γ幾乎可以近似為常量［13］和對方程(14)、(15)和(16)在冪指勢能V∝φ-α(α為常量且α＞0)下采用數(shù)值計算的方法，得到了一些非常有意義的重要結果，如圖1所示.

圖1 在相同勢能V∝φ-5下不同初始條件的追蹤行為(w與lna的函數(shù)關系).

圖1 給出了在相同的勢能密度V∝φ-5和不同初始條件下的追蹤行為，即w與lna的函數(shù)關系.從圖1中發(fā)現(xiàn)，在宇宙早期很寬泛的初始條件范圍內，在給定不同初始條件下，宇宙最終都將演化到趨于相近的共同的軌跡，其主要特征是w接近-1，此時標量場充當了宇宙學常量.表明宇宙演化到晚期是以Quintessence標量場為主且態(tài)密度參數(shù)w≈-1的加速膨脹著的宇宙.

圖2 在不同勢能V∝φ-3，φ-4，φ-5和φ-6及不同初始條件的追蹤行為(w與lna的函數(shù)關系).

圖2給出了在不同勢能V∝φ-3，φ-4，φ-5和φ-6及不同初始條件的追蹤行為.標量場的追蹤行為與吸引子行為最大的不同是宇宙學的各參量不需要固定.

圖3給出了在不同勢能密度下，λ與lna的函數(shù)關系.從圖3中得到:隨著宇宙從過去演化到將來，λ逐漸減小，到晚期時λ趨于零.這是追蹤行為與吸引子行為的最大區(qū)別.在吸引子解中，通常將λ取一個確定的常數(shù)，當λ處于不同的常數(shù)值時，其值將決定著宇宙的行為;在追蹤解中，λ隨著宇宙的演化而發(fā)生變化.

圖3 在不同勢能密度下λ與lna的函數(shù)關系.折線、點線、黑色曲線和點折曲線分別對應的勢能為φ-4，φ-5和φ-6

圖4 給出了在勢能密度為V∝φ-5下，宇宙早期的初始參數(shù)設置為w0=-0．02，λ0=1118，Ω0=0．000 1條件下標量場的密度參數(shù)與暗物質密度參數(shù)隨lna的演化關系.

圖4 在相同勢能V∝φ-5，不同密度參數(shù)Ωi在初始參數(shù) w0=-0．02，λ0=1118，Ω0=0．0001 條件下隨lna的演化關系.黑色曲線和點折曲線分別對應標量場能量密度參數(shù)和暗物質能量密度參數(shù)

圖4 表明，在當前時代，宇宙的標量場密度參數(shù)與暗物質密度接近相等，這一點與宇宙的觀測結果相符合;同時表明，在宇宙晚期，以標量場為主的宇宙是始終處于加速的狀態(tài).

此外，從方程(24)出發(fā)，可以給出w'更低的約束限制［23，24］，即追蹤約束限制為

聯(lián)合一般約束限制方程(18)和(19)與追蹤約束限制方程(25)一起表示.

圖5給出了Quintessence標量場在考慮追蹤限制后w'與w之間更為一般的關系.圖中陰影區(qū)域即為所限制的w'與w范圍.從圖中進一步發(fā)現(xiàn)，當w ＜-0．5時，w'與w的限制則在 -(1-w)(1+w)＜w'＜3(1+w)(2+w)較為恰當;當w ＞-0．5時，w'與w的限制則在3(1+w)＜w'＜3(1+w)(2+w)較為恰當.同時，對方程(14)、(15)及(16)在冪指勢 V∝ φ-α下，采用數(shù)值計算的方法清晰地表明這些約束限制是滿足的.

圖5 不同模型的w'界限.以不同勢能V∝φ-α通過數(shù)值計算(14)～(16)式畫出不同模型的軌跡線

2 總結

本文假設平坦空間的Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙中僅包含具有指數(shù)勢的標量場與暗物質兩種流體物質.引入無量綱的變量，得到宇宙演化的自治系統(tǒng)，然后以可觀測量Ωφ和γ為變量將方程(8)、(9)及(10)構成的自治系統(tǒng)改寫為追蹤場的方程(14)、(15)及(16).聯(lián)合這3個方程，得到了追蹤方程(24).通過對方程(14)、(15)及(16)及(24)的理論分析與數(shù)值計算，得到了一些非常有價值的結果，這些結果可以歸納為:首先在理論分析方面，歸納出Quintessence標量場中w'與w更為緊密的約束限制關系，如圖4所示;其次，在數(shù)值計算方面給出了w與lna的演化關系，表明宇宙演化到晚期是以Quintessence追蹤場為主且態(tài)密度參數(shù)w≈-1的加速膨脹著的宇宙;第三，給出了λ與lna的函數(shù)關系，從中得到隨著宇宙演化晚期時λ趨于零;第四，給出了密度參數(shù)Ωi隨lna演化關系，表明在當前時代附近，宇宙的標量場密度參數(shù)與暗物質密度接近相等，這與目前宇宙的觀測結果相符合;同時也表明，當宇宙演化到晚期時，宇宙中的物質則是以標量場為主且宇宙始終處于加速膨脹狀態(tài).此外，本文也簡約地比較了吸引子解與追蹤解的異同.

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