元福卿，穆停華，魏翠華

1.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東 青島 266580 2.中國石化勝利油田分公司地質(zhì)科學(xué)研究院，山東 東營 257015 3.中國石化勝利油田分公司海洋采油廠，山東 東營 257237

一種快速求解交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型的方法*

元福卿1，2，穆停華3，魏翠華2

1.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東 青島 266580 2.中國石化勝利油田分公司地質(zhì)科學(xué)研究院，山東 東營 257015 3.中國石化勝利油田分公司海洋采油廠，山東 東營 257237

針對油藏數(shù)學(xué)模型求解效率低下的問題，研究了快速求解交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型的方法。根據(jù)交聯(lián)聚合物驅(qū)的調(diào)驅(qū)機(jī)理，建立了三維兩相五組分（油、水、聚合物、交聯(lián)劑和交聯(lián)聚合物）的交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型，模型的求解采用隱式壓力、顯式飽和度和顯式濃度的求解方法。其中，壓力的求解提出了計算效率更高、更穩(wěn)定的Douglas差分格式，利用分步降維的思路求解。與商業(yè)化的油藏數(shù)值模擬軟件CMG相比，采用Douglas差分格式并結(jié)合追趕法求解交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型，可以大幅度提高模型的計算效率，為快速求解交聯(lián)聚合物驅(qū)油藏數(shù)學(xué)模型提供了一種有效方法。

交聯(lián)聚合物驅(qū)；數(shù)學(xué)模型；Douglas差分格式；油藏數(shù)值模擬

元福卿，穆停華，魏翠華．一種快速求解交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型的方法[J]．西南石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，36（6）：128–134．

YuanFuqing,MuTinghua,WeiCuihua．AFastSolutiontotheMathematicalModelofCross-linkedPolymerFlooding[J]．JournalofSouthwestPetroleum University：Science&Technology Edition，2014，36（6）：128–134．

交聯(lián)聚合物驅(qū)是在聚合物驅(qū)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項(xiàng)提高原油采收率新技術(shù)[1-9]。油藏數(shù)值模擬是交聯(lián)聚合物驅(qū)研究的一個重要手段[10-14]，模擬結(jié)果可為交聯(lián)聚合物驅(qū)的驅(qū)油機(jī)理分析、注采條件優(yōu)化、礦場實(shí)施效果預(yù)測和評價提供決策依據(jù)。在數(shù)值模擬過程中，超過80%的計算時間都用于求解滲流微分方程差分離散后得到的大型稀疏線性代數(shù)方程組，其性能好壞決定了油藏模擬的速度和質(zhì)量[15-16]。其中，滲流微分方程差分格式的選擇直接影響求解的穩(wěn)定性和計算效率。為此，本文提出交聯(lián)聚合物驅(qū)滲流微分方程采用Douglas差分格式，利用分步降維的思路并結(jié)合追趕法進(jìn)行求解，能夠大幅度提高模型的運(yùn)算速度，同時保證了運(yùn)算精度及穩(wěn)定性。

1 交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型

交聯(lián)聚合物驅(qū)是一個復(fù)雜的化學(xué)驅(qū)油過程，為了便于研究并盡可能多地考慮交聯(lián)聚合物驅(qū)油機(jī)理，作如下假設(shè)：（1）油藏中存在油、水兩相滲流，油相中僅包含油組分，其他組分在水相中；（2）流體滲流符合達(dá)西定律，且油、水相之間無質(zhì)量交換；（3）油藏巖石及流體微可壓縮；（4）考慮油、水相之間毛管壓力和重力的影響；（5）聚合物、交聯(lián)劑等物質(zhì)的加入不影響水相體積和密度的變化，不影響油相滲流和油相性質(zhì)的變化；（6）組分物質(zhì)的擴(kuò)散遵循Fick擴(kuò)散定律，吸附遵循Langmuir等溫吸附理論；（7）化學(xué)反應(yīng)只考慮聚合物和交聯(lián)劑之間的交聯(lián)反應(yīng)；（8）整個過程為等溫滲流，因化學(xué)反應(yīng)引起的溫度變化忽略不計。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得到交聯(lián)聚合物驅(qū)的數(shù)學(xué)模型。

油組分的基本滲流微分方程

水組分的基本滲流微分方程

聚合物、交聯(lián)聚合物和交聯(lián)劑的基本滲流微分方程

毛管壓力方程

飽和度歸一化方程

2 物化機(jī)理表征

為了簡單、準(zhǔn)確地表征交聯(lián)聚合物驅(qū)過程中的各種物理化學(xué)現(xiàn)象，對以下主要物化參數(shù)進(jìn)行描述。

2.1 交聯(lián)聚合物溶液黏度

計算交聯(lián)聚合物溶液黏度隨濃度變化的方法較多，大多是一些經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式?？紤]到一種交聯(lián)聚合物體系對應(yīng)一組特定的黏濃關(guān)系曲線。本文采用液相黏度的非線性混合函數(shù)插值關(guān)系式來確定水相黏度。

2.2 吸附滯留

利用Langmuir吸附等溫式計算組分l的吸附濃度大小Clad

2.3 滲透率降低系數(shù)

由于聚合物、交聯(lián)聚合物組分的吸附滯留，使得巖石孔隙介質(zhì)的局部滲透率降低，定義水相滲透率降低系數(shù)來描述這一物理化學(xué)現(xiàn)象，計算關(guān)系式為

2.4 可及孔隙體積

聚合物和交聯(lián)聚合物組分是高分子化合物，流經(jīng)巖石多孔介質(zhì)時不能遍及全部孔隙體積，將組分物質(zhì)能到達(dá)的孔隙體積定義為可及孔隙體積。假定組分物質(zhì)可及孔隙體積大小不變，巖石孔隙度為?，聚合物和交聯(lián)聚合物組分能夠到達(dá)部分的孔隙度分別為?P和?G，則可及孔隙體積倍數(shù)El可定義為

2.5 擴(kuò)散系數(shù)

聚合物、交聯(lián)聚合物或交聯(lián)劑組分的擴(kuò)散是通過定義該組分在水相中的擴(kuò)散系數(shù)來體現(xiàn)的，其擴(kuò)散通量與擴(kuò)散系數(shù)間的關(guān)系可通過Fick擴(kuò)散定律進(jìn)行描述

2.6 交聯(lián)反應(yīng)動力學(xué)

目前，聚合物交聯(lián)反應(yīng)體系主要包括過渡金屬交聯(lián)體系、醛類交聯(lián)體系和復(fù)合交聯(lián)體系3大類[17]。其中，過渡金屬交聯(lián)體系中的聚合物/氯化鉻模型最常見，該模型的反應(yīng)方程式簡記為

交聯(lián)反應(yīng)動力學(xué)模型為

3 模型求解

模型求解采用隱式求解壓力、顯式求解飽和度與組分濃度的方法。對于二維或三維滲流問題的壓力方程，通過常規(guī)的差分格式（如Crank–Nicolson差分格式）離散后得到的是一個五對角或七對角的線性方程組，隨著網(wǎng)格數(shù)增加，運(yùn)算量將呈級數(shù)倍增長，即使選用各種迭代算法，也很難降低計算量。為提高運(yùn)算效率和計算精度，提出采用計算量較小而又無條件穩(wěn)定的Douglas差分格式對交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

1955年，Peaceman D W和Rachford H H提出了計算量小、具有二階誤差精度且絕對穩(wěn)定的P–R差分格式[18]，取得了較好的計算效果并受到人們的普遍關(guān)注，但它的缺點(diǎn)是不能推廣到三維情形（直接推廣到三維是絕對不穩(wěn)定的）。1962年，Douglas J提出的Douglas差分格式[19]克服了P–R格式的缺點(diǎn)，與P–R差分格式一樣，每一時間步的計算可分解成若干個一維隱格式，只要求解具有三對角系數(shù)矩陣的方程組，從而可用追趕法求解。

假設(shè)三維拋物型方程形式如下

對應(yīng)于式（15）的Douglas差分格式為

為了求解壓力分布，將油水相基本滲流微分方程（1）和（2）相加并寫為三維的形式，推導(dǎo)得到只含有一個未知量po的壓力方程

流動系數(shù)的定義如下

對壓力方程（17），按照 Douglas差分格式式（16）展開即可得到相應(yīng)的壓力線性方程組。

首先定義如下變量

對應(yīng)于Douglas差分格式第一步的三對角形式的壓力線性方程組為

對應(yīng)于Douglas差分格式第二步的三對角形式的壓力線性方程組為

求解方程組式（18）～式（20）即可得到油相壓力分布。在此基礎(chǔ)上，將po代入毛管壓力方程得到水相壓力pw。對于油、水相飽和度及各組分濃度，可通過油水相及各組分基本微分方程的差分展開式，顯式求解得到。

4 實(shí)例計算分析

為了驗(yàn)證本文提出的采用Douglas格式差分滲流方程進(jìn)行模型求解的優(yōu)越性，選取一個五點(diǎn)法井網(wǎng)的非均質(zhì)模型進(jìn)行對比模擬研究，模型大小為385 m×385 m×20 m，劃分為11×11×5的均勻網(wǎng)格系統(tǒng)，模型第5層滲透率場分布如圖1所示。模擬時長7 000 d，其中，在2 160～2 700 d注入2 000 mg/L的聚合物和2 000 mg/L的交聯(lián)劑，注入段塞大小0.15 PV，并保持注采平衡。

圖1 模型第5層滲透率場分布Fig.1 Permeability distribution of the 5thlayer

本文基于隱式求解壓力、顯式求解飽和度與組分濃度的方法，采用Douglas差分格式離散化滲流數(shù)學(xué)模型，通過追趕法求解代數(shù)方程組，模擬時間為172 s。同時，在相同生產(chǎn)控制條件下，利用商業(yè)化的油藏數(shù)值模擬軟件CMG對上述模型進(jìn)行數(shù)值模擬運(yùn)算，CMG軟件中，采用自適應(yīng)隱式方法，代數(shù)方程組采用迭代的不完全LU分解法求解，該算例模擬時間為529 s。

圖2給出了利用本文方法和CMG軟件計算得到的交聯(lián)聚合物驅(qū)生產(chǎn)動態(tài)，可以看出，兩者基本吻合。計算實(shí)例表明，對于相同的油藏數(shù)值模擬問題，不同求解方法的計算效率差別很大。采用Douglas差分格式并結(jié)合追趕法能夠大幅度提高模型的求解效率。

圖2 采出程度和含水率隨開發(fā)時間變化曲線Fig.2 Variation of recovery degree and water cut with the development of the reservoir

5 結(jié) 論

（1）充分考慮交聯(lián)聚合物驅(qū)油機(jī)理，建立了考慮因素較為完整的交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型。

（2）基于隱式求解壓力、顯式求解飽和度與組分濃度的方法，在常規(guī)中心差分格式的基礎(chǔ)上提出了求解滲流微分方程的Douglas差分格式，利用分步降維的思路求解交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型。

（3）計算實(shí)例表明，相比于商業(yè)化的油藏數(shù)值模擬軟件CMG，本文采用Douglas差分格式并結(jié)合追趕法求解交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型，能夠大幅度提高模型的求解效率。

符號說明

FDc—達(dá)西單位換算系數(shù)，F(xiàn)Dc=0.0864；

Ko，Kw—油、水相滲透率，mD；

μo，μw—油、水相黏度，mPa·s；

t—時間步長，s；

po，pw—油、水相壓力，MPa；

Fg—重力項(xiàng)單位換算系數(shù)，F(xiàn)g=1.0×10?6；

ρo，ρw—油、水相密度，kg/m3；

g—重力加速度，g=9.8 m/s2；

D—標(biāo)高，m，由某一基準(zhǔn)面算起的垂直方向深度，與重力加速度方向相同；

qov，qwv—單位體積巖石在單位時間內(nèi)注入（或采出）油、水相的地面體積量，1/d；

?—地層巖石孔隙度，無因次；

So，Sw—油藏含油、含水飽和度，無因次；

Bo，Bw—油、水相體積系數(shù)，無因次；

RKw—水相滲透率降低系數(shù)，無因次；

Clw—水相中l(wèi)組分的濃度，g/m3；

l—l=P，G，Cr，聚合物、交聯(lián)聚合物或交聯(lián)劑組分；

βl—組分l的擴(kuò)散系數(shù)，m2/d；

Clad—組分l的吸附濃度，g/m3；

Rl—單位時間、單位孔隙介質(zhì)體積中l(wèi)組分的反應(yīng)消耗或生成的質(zhì)量，g/（m3·d）；

El—l組分的可及孔隙體積倍數(shù)，無因次；

pcow—油水兩相之間的毛管壓力，MPa；

pc—毛管壓力，是含水飽和度和相間界面張力的函數(shù)，MPa；

σwo—油水兩相之間的界面張力，N/m；

xw，xP，xG—水相中水、聚合物和交聯(lián)聚合物組分的摩爾分?jǐn)?shù)，無因次；

f(xP)，f(xG)—黏度非線性混合函數(shù)中聚合物、交聯(lián)聚合組分對應(yīng)于摩爾分?jǐn)?shù)xP，xG的非線性系數(shù)，無因次；

μP，μG—水相中聚合物、交聯(lián)聚合物組分對應(yīng)于摩爾分?jǐn)?shù)xP，xG時的黏度，mPa·s；

a，b—Langmuir吸附參數(shù)，與組分類型、地層水礦化度和地層巖石性質(zhì)等因素有關(guān)，大小可通過實(shí)驗(yàn)確定；

RlKw—l組分吸附產(chǎn)生的水相滲透率降低系數(shù)，無因次；

Flrr—l組分的殘余阻力系數(shù)，無因次；

Cladmax—l組分的最大吸附濃度，g/m3；

FlJ—l組分在J方向的擴(kuò)散通量，g/（m3·d）；

DlJ—l組分在J方向的擴(kuò)散系數(shù)，m/d；

polymer，clpolymer，Cr3+—聚合物、交聯(lián)聚合物和交聯(lián)劑；

n—Cr3+與聚合物反應(yīng)的化學(xué)當(dāng)量比，由實(shí)驗(yàn)確定；

α—反應(yīng)動力學(xué)系數(shù)，g?3·m9·d?1；

CP，CG，CCr—聚合物、交聯(lián)聚合物和交聯(lián)劑組分的吸附濃度，g/m3；

h—x，y，z方向的空間步長，m；

Kx，Ky，Kz—x，y，z方向的滲透率，mD；

λox，λoy，λoz—油相在x，y，z方向的流動系數(shù)；

λwx，λwy，λwz—水相在x，y，z方向的流動系數(shù)；

Vpr—網(wǎng)格塊的孔隙體積，m3；

Ctr—巖石綜合壓縮系數(shù)，MPa?1；

Qoi,j,k，Qwi,j,k—網(wǎng)格塊（i，j，k）在單位時間內(nèi)注入（或采出）油水相的地面體積量，m3/d。

[1]Sydansk R D.A newly developed chromium（III）gel technology[J].SPE Reservoir Engineering，1990，5（3）：346–352.

[2]周志齊，張毅.勝利油田交聯(lián)聚合物調(diào)驅(qū)技術(shù)研究及應(yīng)用[J].西安石油學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2000，15（5）：21–24. Zhou Zhiqi，Zhang Yi.Study on crosslinked polymer oil displacement and its application in Shengli Oil Field[J]. JournalofXi′anPetroleumInstiture：NaturalScienceEdition，2000，15（5）：21–24.

[3]Moradi-Araghi A.A review of thermally stable gels for fluid diversion in petroleum production[J].Journal of Petroleum Science and Engineering，2000，26（1–4）：1–10.

[4]AlqamMH，Nasr-El-DinHA，LynnJD.TreatmentofsuperK-zonesusinggellingpolymers[C].SPE64989，2001.

[5]Reddy B R，Eoff L，Dalrymple E D，et al.A Natural polymer-based cross-linker system for conformance gel systems[J].SPE Journal，2003，8（2）：99–106.

[6]孫志斌，鄭延欣，李明遠(yuǎn)，等.交聯(lián)聚合物溶液封堵多孔介質(zhì)機(jī)理研究[J].高分子材料科學(xué)與工程，2005，21（2）：225–228，232. Sun Zhibin，Zheng Yanxin，Li Mingyuan，et al.Study on mechanism of plugging porous media of linked polymer solution[J].Polymeric Materials Science and Engineering，2005，21（2）：225–228，232.

[7]馬艷，陳祖華，李超，等.交聯(lián)聚合物驅(qū)技術(shù)的礦場應(yīng)用效果及開采特征[J].西南石油學(xué)院學(xué)報，2006，28（6）：78–80. Ma Yan，Chen Zuhua，Li Chao，et al.Field application and production behavior of cross-linking polymer flooding technology[J].Journal of Southwest Petroleum Institute，2006，28（6）：78–80.

[8]王代流，肖建洪.交聯(lián)聚合物微球深部調(diào)驅(qū)技術(shù)及其應(yīng)用[J].油氣地質(zhì)與采收率，2008，15（2）：86–88. Wang Dailiu，Xiao Jianhong.Application of deep-profile control and displacement technology of crosslinked polymer micro-ball system[J].Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2008，15（2）：86–88.

[9]李科星，錢志鴻，杜金陽，等.交聯(lián)聚合物動態(tài)成膠及運(yùn)移的室內(nèi)模擬研究[J].西南石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，34（4）：115–121. LiKexing，QianZhihong，DuJinyang，etal.Laboratorystudy on dynamic gelation behavior and transfer process of corsslinked polymer[J].Journal of Southwest Petroleum University：Science&TechnologyEdition，2012，34（4）：115–121.

[10]Yuan Shiyi，Han Dong，Wang Qiang，et al.Numerical simulation study on weak gel injection[C].SPE 64291，2000.

[11]Yuan Shiyi，Han Dong，Wang Qiang，et al.Numerical simulator for the combination process of profile control and polymer flooding[C].SPE 64792，2000.

[12]宋立新.交聯(lián)聚合物驅(qū)數(shù)學(xué)模型研究[J].特種油氣藏，2003，10（4）：38–40. Song Lixin.Mathematical model of cross-linked polymer drive[J].Special Oil and Gas Reservoirs，2003，10（4）：38–40.

[13]Xie C J，GUAN Z L，Blunt M，et al.Numerical simulation of oil recovery after cross-linked polymer flooding[J].Journal of Canadian Petroleum Technology，2009，48（4）：37–41.

[14]廉培慶，同登科，李琳琳.高溫高巖油藏交聯(lián)聚合物驅(qū)研究進(jìn)展[J].精細(xì)石油化工進(jìn)展，2010，11（7）：4–7. Lian Peiqing，Tong Dengke，Li Linlin.Development of crosslinked polymer flooding in high temperature and high salt reservoirs[J].Advances in Fine Petrochemicals，2010，11（7）：4–7.

[15]莫則堯，劉興平，彭力田，等.優(yōu)化和并行一個油藏數(shù)值模擬軟件中的解法器[J].石油學(xué)報，2000，21（2）：56–61. Mo Zeyao，Liu Xingping，Peng Litian，et al.Optimizing and paralleling a sparse liner equations solver package for reservoir simulating software[J].Acta Petrolei Sinica，2000，21（2）：56–61.

[16]李淑霞，谷建偉.油藏數(shù)值模擬基礎(chǔ)[M].東營：中國石油大學(xué)出版社，2008.

[17]蘇雪霞，王旭，周亞賢，等.國內(nèi)提高采收率用交聯(lián)聚合物驅(qū)油體系研究進(jìn)展[J].精細(xì)石油化工進(jìn)展，2007，8（4）：22–25. Su Xuexia，Wang Xu，Zhou Yaxian，et al.Research progress on improving oil recovery by using crosslinked polymer oil-displacing system in China[J].Advances in Fine Petrochemicals，2007，8（4）：22–25.

[18]Peaceman D W，Rachford H H.The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations[J].Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics，1955，3（1）：28–41.

[19]Douglas J，Rachford H H.On the numerical solution of heat condition problems in two and three space variables[J].Transactions of the American Mathematical Society，1956，82：421–439.

編輯：牛靜靜

編輯部網(wǎng)址：http：//zk.swpuxb.com

A Fast Solution to the Mathematical Model of Cross-linked Polymer Flooding

Yuan Fuqing1，2,Mu Tinghua3,Wei Cuihua2
1.College of Petroleum Engineering，China University of Petroleum，Qingdao，Shandong 266580，China 2.Geoscience Research Institute of Shengli Oilfield Branch Company，Dongying，Shandong 257015，China 3.Haiyang Oil Production Plant of Shengli Oilfield Branch Company，Dongying，Shandong 257237，China

To solve the problem of the poor computational efficiency in solving reservoir mathematical model，we studied a fastsolution.Athree-dimension，two-phase（oleic，aqueous）andfive-component（oil，water，polymer，cross-linkedpolymer，cross-linker）mathematical model was presented according to the profile control and flooding mechanism of cross-linked polymer flooding.Based on IMPES method，a more efficient and more stable Douglas difference scheme was proposed which uses the step-by-step reduced-order idea to solve a model.The simulation result shows that compared with commercial simulator CMG，the Douglas difference scheme in combination with chase method can greatly improve the solution efficiency，which provides an effective way to solve a reservoir mathematical model.

cross-linked polymer flooding；mathematical model；Douglas difference scheme；reservoir numerical simulation

http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.11885/j.issn.1674-5086.2012.08.30.12.html

元福卿，1971年生，男，漢族，江西崇仁人，高級工程師，博士研究生，主要從事三次采油技術(shù)攻關(guān)和技術(shù)推廣工作。E-mail：yuanfuqing.slyt@sinopec.com

穆停華，1983年生，男，漢族，山東東明人，助理工程師，碩士，主要從事油氣開采方面的工作。E-mail：mthupc@126.com

魏翠華，1975年生，女，漢族，山東淄博人，高級工程師，碩士，主要從事三次采油提高采收率研究。E-mail：weicuihua.slyt@sinopec.com

10.11885/j.issn.1674-5086.2012.08.30.12

1674-5086（2014）06-0128-07

TE319

A

2012–08–30 < class="emphasis_bold"> 網(wǎng)絡(luò)出版時間：

時間：2014–11–21

國家科技重大專項(xiàng)（2011ZX05011）。