【摘 要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，立體幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中非常重要的內(nèi)容，在其相關(guān)題目的求解過程中，尤其是立體幾何計算題對于學(xué)生各方面的邏輯思維能力及解題能力具有較高的要求，而空間向量是立體幾何計算過程中非常重要的工具，本文就結(jié)合立體幾何計算過程中的典型例題，對空間向量與例題幾何的計算進行簡單分析。

【關(guān)鍵詞】空間向量 立體幾何 計算

【中圖分類號】G632 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）14-0152-02

立體幾何對于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及解題能力具有較高的要求，在實際的計算應(yīng)用中，空間向量是一種非常有效的解題工具，對于立體幾何中垂直關(guān)系、角、點面距離等的求解具有非常好的作用，本文結(jié)合這幾方面的一些典型題目的計算進行簡單分析，以期對提升學(xué)生在空間向量與立體幾何題目中的求解計算能力具有幫助作用。

一 空間向量在立體幾何垂直問題中的應(yīng)用

立體幾何中的垂直問題大多是要應(yīng)用空間向量的有關(guān)知識進行證明，例舉一個簡單的實例來進行說明，在如圖1所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點，F(xiàn)是D1B1的中點，要求證明EF垂直于平面B1AC。

應(yīng)用向量法對以上的例題進行求解，首先要能夠確定出適當(dāng)?shù)幕?，對于題目中的已知條件及要求目標(biāo)中的向量應(yīng)用基底來進行表示，假設(shè)，并依據(jù)向量數(shù)量積的相關(guān)運算方法來對題目中的已知條件及要求目標(biāo)中的有關(guān)向量進行有效的運算與變形，具體的運算如下列所示：

所以得到EF與AB1垂直，同理可得EF與B1C垂直，又因為A1B1∩B1C=B1，所以能夠得到EF垂直于平面B1AC。

由以上例題的求解可知，將空間向量應(yīng)用于立體幾何題目的求解中，解題思路非常地清晰，并且計算起來非常的方便，空間向量法在此類問題的求解過程中具有非常好的求解效果。

圖1 圖2

二 空間向量在立體幾何角度計算中的應(yīng)用

角度的計算是立體幾何中非常常見的題目，而這類題目的求解，對于學(xué)生的邏輯思維及空間想象力具有較高的要求，尤其是在一些面面角、線面角、線線角的求解過程中，具有較大的難度，而應(yīng)用向量法進行求解，能夠有效地簡化計算步驟，減少計算量，對于立體幾何相關(guān)夾角的快速計算具有積極的作用，下面就例舉一個簡單的題目來進行分析。

例：正方體ABCD-A1B1C1D1如圖2所示，已知圖中的AB=AD=1，DD1=2，要求求解A1B與AD1的夾角的余弦值；AC1與平面ABCD之間的夾角的余弦值；以及平面A1BCD1與平面ABCD的夾角之間的余弦值。

在應(yīng)用向量法進行題目的求解的過程中，首先要以D作為原點，建立其有效的空間直角坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)系中的x、y、z軸分別是DA、DC與DD1，如圖3所示。

由題目中的已知條件，能夠得到各點的坐標(biāo)值，其中A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0，2）、B1（1，1，2）、C1（0，1，2）、D1（0，0，2）。由于，=（0，1，-2），=（-1，0，2），由此可見，AD1與A1B之間的夾角的余弦值是cos〈AD1，A1B〉，

帶入相關(guān)的計算公式，得到其值為。在進行AC1與平面

ABCD之間的夾角值的計算時，=（-1，1，2），得到平面ABCD的一個法向量為DD1，并且=（0，0，2），假設(shè)AC1與平面ABCD之間的夾角可以用θ表示，所以計算的過程中，sinθ=|cos〈AC1，DD1〉|，帶入相關(guān)的數(shù)值進行

計算，計算得到其值為，計算平面ABCD與平面A1B1C1D1

之間的夾角的余弦值時，假設(shè)平面A1BCD1的一個法向量可以表示為，并設(shè)=（x，y，z），所以能夠得到，因為=（1，0，0），=（0，-1，2）所以得到x=0，-y+2z=0，如果令z=1，則能夠得到=（0，2，1），由上文中的分析可知，是平面ABCD的法向量，并且=（0，0，2），所以能夠計算得到平

面ABCD與平面A1B1C1D1之間的夾角的余弦值為。

圖3 圖4

三 空間向量在立體幾何點線距離及點面距離計算中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的有關(guān)距離的求解中也具有非常重要的作用，下面舉一個簡單的例題來進行說明，四棱錐P-ABCD如圖4所示，其中該四棱錐的底面是一個邊長值是2的正方形，并且PD與底面ABCD是垂直的關(guān)系，已知PD的值為2，M是AB的中點，N是BC的中點，要求求解點D到PM直線的距離。

應(yīng)用向量法對該題目進行求解，首先要建立其相關(guān)的空間坐標(biāo)系，本次求解過程中，空間直角坐標(biāo)系的建立，將D作為原點，x軸、y軸、z軸分別是DA、DC以及DP，根據(jù)題目中的已知條件以及所建立的空間直角坐標(biāo)系，能夠得到各點的坐標(biāo)值分別為：N（1，2，0）、M（2，1，0）、P（0，0，2）、D（0，0，0），=（0，0，2），=（2，1，-2），

所以能夠得到，將這些數(shù)值代入，能夠得到

D點到直線PM之間的距離值為，由此可見，將向量法

應(yīng)用于立體幾何的點線距離的計算中，大大簡化了計算步驟，使計算過程非常簡潔，并且能夠保證計算的準(zhǔn)確率，在實際的應(yīng)用中，關(guān)于立體幾何中的點面距離的求解，應(yīng)用向量法也是非常有效的解題途徑。

四 結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，立體幾何是一個重點及難點部分，也是高考中的必考題目，應(yīng)用向量法求解有關(guān)的立體幾何計算問題，非常方便，但在實際的求解過程中，學(xué)生由于對相關(guān)的向量知識及立體幾何知識的掌握不到位，在計算過程中，還具有較多的問題。本文就舉了關(guān)于立體幾何中的垂直問題、角度計算問題、距離計算問題等幾個常見的計算題目，通過對相關(guān)的求解步驟的分析，對提升學(xué)生的解題思維及計算準(zhǔn)確度具有積極的作用。

參考文獻

[1]潘虹.淺談空間向量方法在立體幾何中的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學(xué)版），2013（2）

[2]禇艷春.如何在立體幾何中用好空間向量[J].學(xué)周刊，2011（31）

〔責(zé)任編輯：范可〕