摘 要：高等代數與空間解析幾何具有緊密的聯(lián)系。本文主要是討論高等代數中的行列式、向量及線性方程組這三個數學工具在空間解析幾何中的實際應用。

關鍵詞：行列式；向量；齊次線性方程組；空間解析幾何

空間解析幾何主要研究兩類問題，即用代數方法研究幾何圖形的幾何結構，及用圖形的方法給出方程的直觀幾何解釋。高等代數的知識是空間解析幾何的主要研究工具，同時空間解析幾何也可以使較抽象的高等代數有一個直觀的幾何應用。因此高等代數與空間解析幾何具有緊密的聯(lián)系，本文主要討論高等代數中的行列式、向量及齊次線性方程組這三個代數工具在空間解析幾何中的應用。

一、向量在空間解析幾何中的應用

向量是高等代數中的重要內容，空間解析幾何利用三維向量的相關代數知識把直觀的幾何圖形的幾何結構轉化為代數的定量計算。由下面的例子來說明此問題：

例1：設L，M，N分別為ΔABC三邊BC，CA，AB的中點，證明：三中線向量■，■，■可以構成一個三角形。

分析：這一題如果單以幾何角度來討論的話，需作出三條中線來直觀地觀察三條中線是否可以拼成一個三角形，這樣很難嚴謹地證明。但若以向量的思想來考慮的話，只需利用■，■，■可以構成一個三角形的充要條件是■，■，■=■這一性質即可。

證明：由中點公式知■=■（■+■），■=■（■+■），■=■（■+■），可得■+■+■=■，因此■，■，■可構成一個三角形。

二、行列式在空間解析幾何中的應用

行列式是高等代數中的一個重要工具，應用行列式可以使空間解析幾何的一些結論有結構化的表達，并使一些繁雜的計算變得簡潔。下面舉例說明行列式的應用。

1.結論的結構化

例如定理：在仿射坐標系{O；■，■，■}中，三個非零向量i■=（xi，yi，zi），（i=1，2，3）共面的充要條件是x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3=0.類似此類結論有很多。

2.計算的簡潔化

例2：已知兩直線l1：■=■=■，l2：■=■=■，試證明兩直線l1與l2為異面直線，并求l1與l2間的距離。

分析：該題如果利用幾何思想需建系畫出兩直線，并作出輔助圖形來求兩異面直線間的距離，但無論畫圖還是做輔助圖形都較為繁雜。若利用由行列式來表達的異面直線判定定理和距離公式計算就變簡潔了。

解：直線l1過點M1（3，8，3）方向向量為υ1=（3，-1，1），直線l2過點M2（-3，-7，6）方向向量為υ2=（-3，2，4），Δ=（■，υ1，υ2）=-6 -15 3 3 -1 1-3 2 4=270≠0，所以l1與l2為異面直線，則l1與l2間的距離為：

d=■=3■

三、齊次線性方程組在空間解析幾何中的應用

空間解析幾何中，由于向量、行列式等知識的引入自然地也就有需要應用線性方程組相關定理的地方。如：

性質：三個平面πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0（i=1，2，3）相交于一點？圳Δ=A1 B1 C1A2 B2 C2A3 B3 C3≠0

分析：此性質的證明應用了齊次線性方程組有唯一解的充要條件是其系數矩陣的行列式不為零這一定理。

證明：三平面交于一點？圳A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0有唯一解？圳Δ≠0.

高等代數較為抽象，而空間解析幾何則具有直觀性?？臻g解析幾何應用了向量、行列式和齊次線性方程組等這些抽象的代數工具，很大程度上簡化了解題步驟，避免了繁雜的計算與推導。可見高等代數為空間解析幾何賦予了量的含義，它們的這種數形結合的思想是空間解析幾何教學中的核心思想之一。

參考文獻：

[1]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]李養(yǎng)成.空間解析幾何（新版）[M].北京：科學出版社，2007.