摘 要：所謂數(shù)學(xué)思想，就是數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)和基本處理方法，它建立在一般具體的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，是數(shù)學(xué)的抽象概括的產(chǎn)物。在小學(xué)里，學(xué)生接觸的數(shù)學(xué)對(duì)象僅僅是一些具體的數(shù)，到了中學(xué)，無(wú)論是學(xué)習(xí)內(nèi)容還是學(xué)習(xí)方法都有了質(zhì)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；方法；數(shù)型

初一學(xué)生已具備掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法的知識(shí)基礎(chǔ)和能力，我們只要引導(dǎo)得法，安排適當(dāng)，逐步實(shí)施，及時(shí)指明，學(xué)生完全可以接受基本的數(shù)學(xué)思想方法。依據(jù)教材的特點(diǎn)和學(xué)生的年齡特征，我認(rèn)為初一數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)要滲透如下幾種數(shù)學(xué)思想方法：

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)，即將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維與形象思維相結(jié)合。所以我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要善于由形思數(shù)，由數(shù)思形，通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化把一個(gè)數(shù)的問(wèn)題用圖形直觀地表達(dá)出來(lái)，從而找到解題思路。

利用數(shù)形結(jié)合，可以使所要研究的問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法，在每年的中考試卷中均有一定數(shù)量的試題可采用此方法解。因此，有意識(shí)地、靈活地培養(yǎng)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。不僅能提高學(xué)生的審美能力，更能培養(yǎng)學(xué)生形象思維能力、創(chuàng)新能力。

例如，小明在拼圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)8個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形如圖7.3.1那樣，恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。小紅看見(jiàn)了，說(shuō)：“我來(lái)試一試?！苯Y(jié)果小紅七拼八湊，拼成如圖7.3.2那樣的正方形?？?，怎么中間還留下一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為2 mm的小正方形！你能求出這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬嗎？

分析：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為x mm與y mm。圖7.3.1給我們提供了一個(gè)信息：3x=5y圖形7.3.2給我們提供了一個(gè)信息2y=x+2將兩個(gè)方程組成一個(gè)二元一次方程組便可求解。

本題的特點(diǎn)在于拼得的兩種不同的圖形中，兩種圖形之間的邊長(zhǎng)存在著一個(gè)相等的數(shù)量關(guān)系，由圖形很容易找出來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。

又如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的加法法則時(shí)利用數(shù)軸，在理解絕對(duì)值的幾何意義時(shí)利用數(shù)軸，學(xué)習(xí)不等式和不等式組的解集概念時(shí)利用數(shù)軸，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想意識(shí)。舉一個(gè)例子：不等式x+2>5的解集，可以表示成x>3，也可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，如圖所示：（略）。用數(shù)軸來(lái)表示不等式的解集，不僅形象，而且簡(jiǎn)單，直觀，明了，而且能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造性.

二、分類討論的思想

分類討論的思想滲透對(duì)于整個(gè)中學(xué)階段的解題教學(xué)將起到十分重要的作用。分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，把數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究對(duì)象區(qū)分為不同各類的一種數(shù)學(xué)思想方法。分類思想在初一數(shù)學(xué)（下）應(yīng)用很廣，如三角形按角分類可分為：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形；按邊分類可分為等邊三角形和等腰三角形；正多邊形按邊分類可分為正三角形，正四邊形，正五邊形等等。教學(xué)時(shí)，要加強(qiáng)滲透分類討論的思想方法，大膽鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展討論、交流、合作的學(xué)習(xí)方法，可以提高學(xué)生的解題技巧，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、主動(dòng)學(xué)習(xí)的精神和辯證的觀點(diǎn)。應(yīng)用時(shí)必須注意以下兩點(diǎn)：

1.每次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，分類常用的依據(jù)有概念、法則、圖形的性質(zhì)、形狀等。

2.不重復(fù)，不遺漏。

例如：解下列方程：x-3=2

解：（1）當(dāng)x-3>0時(shí)，原方程可化為：x-3=2 解得x=5

（2）當(dāng)x-3<0時(shí)，原方程可化為：x-3=-2 解得x=1

所以，原方程的解為x=5或x=1

解絕對(duì)值方程關(guān)鍵是按絕對(duì)值意義進(jìn)行分類討論，并注意對(duì)所有的分類情況進(jìn)行總結(jié)。

又如，等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其中一條邊的長(zhǎng)是6，求另兩邊的長(zhǎng)。

解：（1）當(dāng)6為等腰三角形的一條腰時(shí)，另一條腰也為6，底邊=16-6×6=4，此時(shí)等腰三角形三邊為：6，6，4，能組成等腰三角形。

（2）當(dāng)6為等腰三角形的底邊時(shí)，腰=（16-6）÷2=5，此時(shí)等腰三角形三邊為：5，5，6。能組成等腰三角形。

所以，等腰三角形的另兩條邊的長(zhǎng)分別為6和4或5和5。

本題解題時(shí)要注意根據(jù)等腰三角形的形狀分類，并注意檢驗(yàn)三角形的三邊能否組成三角形。

總之，分類討論的思想是處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的一般想法。我們?cè)跐B透中要注意以下兩點(diǎn)：首先要指出討論的必要性，培養(yǎng)討論的自覺(jué)性。要特別向?qū)W生指出，當(dāng)面臨的問(wèn)題不止一個(gè)方面時(shí)就需要分類討論。其次，分類要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏。

三、化歸思想

所謂“化歸”即“轉(zhuǎn)化”和“歸結(jié)”。也就是把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為另一個(gè)較容易的問(wèn)題或已解決的問(wèn)題，也就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題。它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法，也是初一教材中的“二元一次方程組和它的解”的基本思想。教學(xué)時(shí)，要注意把“新知識(shí)”通過(guò)觀察、分析、討論、總結(jié)遷移到“舊知識(shí)”。通過(guò)知識(shí)的遷移應(yīng)用，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。這種作用對(duì)于初一學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得尤為珍貴。同時(shí)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言從形態(tài)上說(shuō)，主要有三種：普通語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言。由于三種形式的數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其特點(diǎn)，圖形語(yǔ)言形象直觀，符號(hào)語(yǔ)言簡(jiǎn)練準(zhǔn)確，普通語(yǔ)言通俗易懂。初中階段由于學(xué)生思維還處于形象思維向抽象思維的過(guò)渡階段，課本上以圖形語(yǔ)言和普通語(yǔ)言為主，但不少地方也出現(xiàn)了符號(hào)語(yǔ)言，所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)各種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，可以加深對(duì)數(shù)學(xué)概念和命題的理解與記憶，幫助學(xué)生審題和探求解題思路。例如有許多地方體現(xiàn)出這種思想。例如，在七年級(jí)上冊(cè)

《有理數(shù)的運(yùn)算》中，把減法轉(zhuǎn)化為加法，把除法轉(zhuǎn)化為乘法；又如，在七年級(jí)下冊(cè)《二元一次方程組》中把二元一次方程組的求解轉(zhuǎn)化為一元一次方程的求解。將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形問(wèn)題來(lái)解決，在求一個(gè)圖形中的多個(gè)角時(shí)，常把它們轉(zhuǎn)化為一個(gè)多邊形的內(nèi)角來(lái)處理，等等。既能從具體向抽象轉(zhuǎn)化（前進(jìn)），又能從抽象向具體轉(zhuǎn)化（后退）。

總之，通過(guò)這些方面的潛移默化，逐漸地把轉(zhuǎn)化思想滲透到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，使他們認(rèn)識(shí)到：在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，有意識(shí)地將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橐呀?jīng)解決或較易解決的問(wèn)題，這是我們常用的行之有效的手段之一。這方面的滲透要切實(shí)考慮到初一學(xué)生的接受水平，在方法上注意深入淺出，畫(huà)龍點(diǎn)睛，同時(shí)要注意日積月累，貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。

四、方程思想

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過(guò)設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問(wèn)題的思想稱為方程思想。在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要注意培養(yǎng)學(xué)生的方程思想的意識(shí)。有些幾何問(wèn)題表面上看起來(lái)與代數(shù)問(wèn)題無(wú)關(guān)，但是，利用代數(shù)方法——列方程來(lái)解決往往會(huì)更簡(jiǎn)潔。例如，在各個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形中，一個(gè)內(nèi)角等于一個(gè)外角的2倍，求這個(gè)多邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和它的邊數(shù)。要善于挖掘隱含等量關(guān)系“一個(gè)外角加上一個(gè)內(nèi)角等于180度”，從而設(shè)外角為x度，列出方程x+2x=180，然后再進(jìn)一步解決問(wèn)題。因此，在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法。

五、比較思想方法

所謂比較，就是指在思維中對(duì)兩種或兩種以上的同類研究對(duì)象的異同進(jìn)行辨別。比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生要掌握越來(lái)越多的知識(shí)，這就要求教師要善于引導(dǎo)學(xué)生比較知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系。如，在不等式的解法教學(xué)時(shí)，可以對(duì)比一元一次方程解法：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1這些步驟是一樣的。當(dāng)然，要特別比較化系數(shù)為1時(shí)兩者的不同之處。又如，比較一元一次方程、二元一次方程定義之間的區(qū)別與聯(lián)系，比較三角形角平分線、中線、高線之間的異同等。

總之，如果我們?cè)诔跻粩?shù)學(xué)教學(xué)中就注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，滲透所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生真正從思想方法的高度去理解自己所學(xué)的知識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)世界中遨游，這樣就會(huì)使教學(xué)收到事半功倍的良好效果，也能為廣大學(xué)生在整個(gè)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位 福建省晉江市南灣中學(xué)）

？誗編輯 薄躍華