摘 要：利用軸對稱變換求幾何最值的問題歷來是中考的重點和難點，按照情景導(dǎo)入，引出主題；及時練習(xí)，鞏固新知；知識遷移，拓展新知；結(jié)合生活，應(yīng)用新知；小結(jié)升華，形成結(jié)論五個階段設(shè)計，使學(xué)生切實掌握利用軸對稱變換解決幾何最值問題，同時能培養(yǎng)學(xué)生動手實踐、自主探索、合作交流的能力。

關(guān)鍵詞：軸對稱變換；幾何最值；教學(xué)設(shè)計

軸對稱變換是幾何中一種基本變換，如何利用軸對稱變換解決實際問題中的路徑最短問題、軸對稱變換的作圖和性質(zhì)以及“兩點之間線段最短”是本節(jié)課應(yīng)用的基礎(chǔ)，本節(jié)課內(nèi)容為進一步學(xué)習(xí)幾何變換在實際問題中的應(yīng)用提供了方法和經(jīng)驗?！皠邮謱嵺`、自主探索與合作交流”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》所提倡的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，畫圖找點解決實際問題中最短路徑問題的探究過程是體現(xiàn)這一理念很好的素材，它對培養(yǎng)學(xué)生的探究精神以及動手實踐能力，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識等有重要的作用。

教學(xué)片斷一：情境導(dǎo)入，巧妙轉(zhuǎn)化

例題（中考原題）已知正方形ABCD，P是AC上任一動點，E是AB上一點，要使BP+EP之和最小，請確定點P的位置。

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【課堂場景】

師：同學(xué)們，請看一道中考原題，你會做嗎？你認為它難嗎？

（學(xué)生乍看到這個問題時，絕大多數(shù)一時束手無策，找不到本題的切入口，極少數(shù)學(xué)生會想到利用軸對稱變換的性質(zhì)找到點B關(guān)于AC的對稱點就是點D，連接ED與AC交于點P，點P為所求。）

師：若去掉圖1中的正方形ABCD，E，B是直線AC同側(cè)的兩點，其他條件不變，請確定點P位置。（這時幾乎全班學(xué)生都恍然大悟，氣氛一下活躍了很多，打破了一開始的寂靜，大家都記得這是課本上的一道作圖題。）

師：同學(xué)們，中考題就是課本上的基礎(chǔ)題綜合了其他知識點改編而來的，圖2是課本上一道原題，請同學(xué)們回憶這類問題的規(guī)律與做法。

師：此類問題的規(guī)律是什么？

生：同側(cè)變異側(cè)，兩點之間線段最短，折線段變直線段。

師：所用到的知識點？

生：點關(guān)于直線作軸對稱變換。

師：所用的數(shù)學(xué)思想？

生：轉(zhuǎn)化思想。

師：本節(jié)課的主題：軸對稱變換在幾何最值中應(yīng)用。

【教學(xué)反思】

在導(dǎo)課的設(shè)計中講究的是“第一錘就敲在學(xué)生的心上”，像磁石把學(xué)生吸引住。因為本節(jié)課是一節(jié)復(fù)習(xí)課，學(xué)生已有一定的基礎(chǔ)知識，所以直接用一道中考原題導(dǎo)入，使學(xué)生都躍躍欲試，產(chǎn)生求知的欲望，從而引起學(xué)習(xí)的興趣。

在日常的聽課和觀摩課中，我們發(fā)現(xiàn)許多教師精心設(shè)計了教案，但講解時卻將課本棄之一邊，不善于將教材中知識延伸、拓寬的內(nèi)容和方法及時回歸課本，巧妙使用課本。結(jié)果是許多學(xué)生對課本的使用價值認識不足，認為課本沒有什么看頭，對課本中的概念、方法掌握得模棱兩可，一聽就懂，一看就會，一做就不對，教材的作用退化成做課后作業(yè)的習(xí)題集。當筆者將圖1去掉正方形后轉(zhuǎn)化為圖2時，學(xué)生忽然眼前一亮，原來這竟是課本上一道簡單的作圖題，讓學(xué)生意識到其實中考題也不難，是課本上一些基礎(chǔ)題目的拓寬，從而樹立扎實學(xué)好課本基礎(chǔ)知識的意識。

教學(xué)片段二：及時練習(xí)，鞏固新知

題1（中考原題）已知平行四邊形ABCD，E是AB上一點，P是AC上一動點，確定點P的位置，使得PE+PB之和最小。

題2（中考原題）已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，點N在BC上，CN=2，E是AB的中點，在AC上找一點M，使得EM+MN值最小，此時最小值= 。

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【課堂場景】

師：經(jīng)過剛才的熱身學(xué)習(xí)后，已經(jīng)歸納出本節(jié)課的中心內(nèi)容。這兩道題請同學(xué)們獨立完成。（學(xué)生認真解題，筆者觀察學(xué)生，進行個別輔導(dǎo)，及時給予評價與反饋，并根據(jù)學(xué)生作答情況適當調(diào)整教學(xué)進度與方向。等大部分學(xué)生做完后，筆者叫兩位學(xué)生分別講解解題步驟，然后對學(xué)生易錯的地方進行分析。）

師：老師剛才檢查大家做題時，發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)在做第1題時仿照例題連接DE，DE與AC的交點為所求點P，同學(xué)們仔細思考錯在什么地方呢？

生：點B關(guān)于AC的對稱點不是點D。

師：對，因為平行四邊形是中心對稱圖形，而不是軸對稱圖形，B的對稱點不是點D，通過仔細規(guī)范地作圖后，找到點B關(guān)于AC的對稱點F，連接FE，F(xiàn)E與AC的交點即為所求點P。

同樣，在做第2題時，部分學(xué)生也沒有找對點M關(guān)AC的對稱點F。由已知條件AD∥BC，得∠DAC=∠ACB，由AD=DC=4得到∠DCA=∠DAC，從而得到∠DCA=∠ACB，由軸對稱的性質(zhì)得點N關(guān)于AC的對稱點F恰好落在DC上，且F為DC的中點，連接EF與AC交于點M，再利用梯形的中位線的性質(zhì)就可以解決問題了。

【教學(xué)反思】

課內(nèi)確保有練習(xí)對所學(xué)知識進行鞏固。有些課堂教學(xué)，教師認為自己講解得很清楚，學(xué)生理應(yīng)掌握；有些內(nèi)容學(xué)生當堂課上好像掌握了，時間不久又會迅速遺忘，所授知識在課堂教學(xué)中沒有及時訓(xùn)練，是出現(xiàn)此類情況的關(guān)鍵原因。為確保每一個重要的知識點和方法能讓學(xué)生牢牢地正確掌握，課堂教學(xué)中必須及時訓(xùn)練、評估、反饋和鞏固，根據(jù)反饋情況，有時教師要調(diào)整自己的教學(xué)進度和安排，確保每一個知識點和方法的教學(xué)落到實處，不能指望在后面補習(xí)時再去炒冷飯。

本題組中的兩道考題除了要運用軸對稱變換外，第1題還涉及平行四邊形的性質(zhì)，第2題還涉及梯形的性質(zhì)，綜合性較強，考查的是學(xué)生的綜合運用能力。很多學(xué)生一直認為中考問題難度很大，綜合性很強，計算量也大，通過練習(xí)，使學(xué)生掌握中考題目中知識點的巧妙結(jié)合與特有的解題技巧，讓他們明白中考題的雛形都來源于數(shù)學(xué)課本，并且綜合了平時最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識，使學(xué)生不再害怕中考，敢于面對中考，為今后參加中考考試培養(yǎng)自信心。

教學(xué)片段三：知識遷移，拓展新知

題3（中考原題）已知平面直角坐標系內(nèi)點A（5，5），B（2，1），x軸上一動點P（x，0）到點A、B的距離分別為AP、BP，求AP+BP的最小值與點P的坐標。

題4（中考原題）已知平面直角坐標系A(chǔ)（-5，3）B（-3，5）及動點C（0，n），D（m，0）。求當■為何值時，四邊形ABCD的周長最小，并求最小值。

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【課堂場景】

師：同學(xué)們，請快速作答題3。（經(jīng)過前面的訓(xùn)練，學(xué)生很快做出。筆者讓一位學(xué)生講解求解過程）

生：過點A（或B）關(guān)于x軸作對稱點C（或D），連接BC（或AD）與x軸的交點為P。

師：同學(xué)們，第三小題是一個動點在直角坐標系中的應(yīng)用，那么兩個動點在直角坐標系中的問題你能解決嗎？請看第四小題。（學(xué)生看完題目后開始七嘴八舌地討論起來，然后在練習(xí)本上嘗試解答。）

師：同學(xué)們，一個動點的問題做一次軸對稱變換，類比想一想兩個動點的問題作幾次軸對稱變換呢？（經(jīng)過筆者的提示，大部分學(xué)生有了解題的思路。）

生：將A與B分別關(guān)于x軸與y軸作軸對稱，對稱點分別為點E，F(xiàn)，連接EF與坐標軸的交點就是所求點C與點D。

師：請同學(xué)們思考為什么這么做四邊形的周長最?。课覀円黄鹦〗Y(jié)作此類問題的方法。一個動點問題：同側(cè)變異側(cè)，兩點之間線段最短，折線段變?yōu)橹本€段；兩個動點問題：一點關(guān)于兩條直線做軸對稱變換，利用兩點之間線段最短，把折線段轉(zhuǎn)化為直線段。（大家贊不絕口，感受數(shù)學(xué)的巧妙與奇特。）

【教學(xué)反思】

課堂教學(xué)高潮如同“駝峰”，在教學(xué)中起著不可忽視的作用。如果缺少課堂教學(xué)高潮，教學(xué)的重點與難點將難以突破，課堂氣氛也將難以調(diào)動。課堂教學(xué)高潮是指給學(xué)生留下最深刻鮮明的印象并得到學(xué)生最富于感情反應(yīng)的時刻，這時師生雙方的積極性達到最佳配合狀態(tài)。教師在設(shè)計教學(xué)高潮時應(yīng)找準時機，或設(shè)在重點、難點處，或設(shè)在疑問叢生處。本例采用類比與對比過渡的形式，由一個動點的問題遷移到兩個動點的問題，自然地引向本節(jié)課的高潮。

教學(xué)片段四：結(jié)合生活，應(yīng)用新知

題5.兩條河交匯于點O，夾角45°，旅行家住在點P，離點O有200米，他希望到AO上一點C欣賞風(fēng)光，再折到河岸BO上任一點D處眺望景物，最后回到住地，則旅行家最少走多少米呢？

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【課堂場景】

師：同學(xué)們，兩個動點的問題已經(jīng)探究過了，大家能否用所學(xué)知識獨立解決一些生活中的問題呢？（大部分學(xué)生很感興趣，專心致志地動手做題了，筆者叫了兩個學(xué)生上臺板演。等兩個學(xué)生板演結(jié)束，筆者一邊分析問題，一邊糾正做題的規(guī)范性，并及時給予肯定。）

師：剛才兩位同學(xué)已基本掌握了本道題的解法，請大家一起總結(jié)下解這道題的關(guān)鍵是什么？

生：是點P通過兩次軸對稱變換后把原圖形轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用。

【教學(xué)反思】

本問題求解的過程中，教師幫助學(xué)生充分體會軸對稱變換在解決問題中的轉(zhuǎn)化作用，學(xué)習(xí)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法，發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，讓學(xué)生真正體驗探究的快樂，從而激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

教學(xué)片段五：小結(jié)升華，形成結(jié)論

【課堂場景】

師：同學(xué)們在本節(jié)課接近尾聲的時候請回顧本節(jié)內(nèi)容，今后你會解決哪些方面內(nèi)容？解決此類問題用哪些方法？哪些知識？（學(xué)生七嘴八舌，都能說到一部分內(nèi)容或方法，但都不夠完整。教師適時進行引導(dǎo)性的提問。）

師：所用到的知識點？

生：軸對稱變換。

師：所用到的方法？

生：折線段轉(zhuǎn)化為直線段——刻畫出數(shù)學(xué)中的基本圖形。

師：此類問題的規(guī)律？

生：同側(cè)變異側(cè)，兩點之間線段最短，折線段變直線段。

師：所用的數(shù)學(xué)思想？

生：轉(zhuǎn)化思想、類比思想。

師：會解決的問題？

生：一個動點、兩個動點所涉及的最值問題。（教師根據(jù)學(xué)生的回答進行板書總結(jié)。）

師：同學(xué)們總結(jié)得非常好，請同學(xué)們繼續(xù)思考下面的問題，課后作答。這是一道三個動點求最值的問題，有興趣的同學(xué)課后可以思考。

題6.已知銳角三角形ABC中，點D、E、F分別為BC、CA、AB上的動點，試確定三動點的位置，使得三角形DEF的周長最小。

【教學(xué)反思】

一堂好的課，課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計十分重要。學(xué)生的個體差異是一個客觀存在，為了讓每個學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上有所提高，體驗學(xué)習(xí)的快樂和進步的樂趣，達到全面提高學(xué)生素質(zhì)的目的，最好的方法就是題組式的例題與練習(xí)交替設(shè)置。不同的學(xué)生根據(jù)自己的認知特點，選擇相應(yīng)的層次接收，真正實現(xiàn)人人學(xué)必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。本節(jié)課通過題組的形式從一個動點到兩個動點再升華到三個動點，難度從低到高。一個動點最值問題要求所有學(xué)生都能靈活運用，兩個動點的最值問題要求多一半學(xué)生能理解與掌握，三個動點的最值問題讓極少數(shù)學(xué)生繼續(xù)自主探究，提高學(xué)習(xí)的興趣，讓數(shù)學(xué)課堂從課內(nèi)拓展到課外。

教師在傳授知識的同時，更為重要的是指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，授之以魚，不如授之以“漁”。因此，在教學(xué)過程中重視對學(xué)生進行學(xué)法指導(dǎo)，就等于抓住了教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過教師的學(xué)法指導(dǎo)，把知識轉(zhuǎn)化為技能，促使教學(xué)達到“教是為了不教”的境界，從而大大提高教學(xué)質(zhì)量。本節(jié)課在講一個動點的最值問題時，引導(dǎo)學(xué)生巧妙轉(zhuǎn)化，建立基本的數(shù)學(xué)模型，即授之以“漁”，讓學(xué)生繼續(xù)解決兩個動點和三個動點的最值問題。在整堂課結(jié)束之際，及時引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本堂課的知識點及所運用的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想。

參考文獻：

[1]張昕，任奕奕.新課程教學(xué)設(shè)計[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2004.

[2]關(guān)文信.新課程理念與初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實施[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2008.

（作者單位 杭州北苑實驗中學(xué)）

？誗編輯 郭曉云