正余弦定理是高中階段數(shù)學(xué)比較重要的定理，這部分內(nèi)容在人教版的教材中安排于必修5，即學(xué)生完整學(xué)習(xí)完必修4中的三角函數(shù)之后，應(yīng)當(dāng)說教材安排非常科學(xué)。這兩大經(jīng)典定理是解三角形的主要依據(jù)，正是由于兩大定理本身巨大的功能，產(chǎn)生了非常重要的變式及相應(yīng)的解題方法，同時(shí)也使學(xué)生的學(xué)習(xí)出現(xiàn)一定的困難，尤其是多解的情況更是讓很多人摸不著頭腦。于是很多教輔資料對這兩大定理的應(yīng)用做了梳理，為學(xué)生較好地掌握這些定理起到了一定的幫助，但是有些結(jié)論存在瑕疵，誤導(dǎo)了學(xué)生和剛上講臺(tái)的青年教師。

大家來看下面的這段總結(jié)：

一般的，已知三角形的兩邊及一對角，求解三角形時(shí)可能出現(xiàn)零解、一解和兩解的情況，既可采用正弦定理也可采用余弦定理，建議應(yīng)用余弦定理，當(dāng)列一元二次方程時(shí)解出的邊長出現(xiàn)零個(gè)正數(shù)解、一個(gè)正數(shù)解、兩個(gè)正數(shù)解分別對應(yīng)滿足條件的三角形個(gè)數(shù)。

我們舉個(gè)例子來驗(yàn)證這段總結(jié)是否科學(xué)。

例：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=■，求AB的長。

解析一：

在△ABC中，S△ACD=■AC·ADsin∠1

∴sin∠1=■=■=■

sin∠2=■

在△ABC中，BC=■=5，cos∠2=■=■，

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠2

即25=AB2+49-11AB，

∴AB=8或AB=3

解析二：利用AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos60°

AB2-5AB-24=0

∴AB=8或AB=-3（舍）

綜上，AB=8。

上面兩種方法均采用余弦定理，而利用正弦定理同樣解出AB=8。為何解析一中的結(jié)果不同于其他的解法？對AB=3進(jìn)行檢驗(yàn)，可得cosB=-■，∠B=120°與已知矛盾，明顯是個(gè)增根。上述結(jié)論是有問題的，究其原因，解析一中利用余弦定理時(shí)并未利用∠B=60°，在兩邊及一對角的這一條件當(dāng)中出現(xiàn)兩解可以構(gòu)造∠B=120°的三角形，但是不符合題意，因此，余弦定理解題出現(xiàn)正數(shù)解也不能保證符合題意，務(wù)必對其進(jìn)行檢驗(yàn)。

例題利用余弦定理解題時(shí)出現(xiàn)正數(shù)解的增根，不易被發(fā)現(xiàn)，所以利用余弦定理解題時(shí)不能省掉檢驗(yàn)這一環(huán)節(jié)。

參考文獻(xiàn)

[1]劉紹學(xué).普通高中數(shù)學(xué)必修5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]嚴(yán)士健，張奠宙，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].南京：江蘇教育出版社，2004.

？誗編輯 魯翠紅