在積分的計(jì)算中充分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性，往往能使計(jì)算簡(jiǎn)捷，達(dá)到事半功倍的效果。

Q1：對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在哪些方面？

對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用非常廣泛，不僅在定積分，二重積分，還在線、面積分上也有應(yīng)用。

Q2：什么樣的定積分，可以應(yīng)用對(duì)稱性求解？有些什么樣的結(jié)論？如何應(yīng)用？

定積分是積分學(xué)的基本內(nèi)容， 定積分的計(jì)算方法很重要且多種多樣， 有的方法不對(duì)，計(jì)算更繁瑣，若能恰當(dāng)應(yīng)用對(duì)稱性，即可簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算。

應(yīng)用對(duì)稱性，有下面的結(jié)論：

定理1 設(shè)f（x）在[-a，a]上連續(xù)，則

（1） 若f（x）為奇函數(shù)， 則 .

（2） 若f（x）為偶函數(shù)， 則 .

例1 求積分 .

解：雖然被積函數(shù)非奇非偶，但可以把它分成兩個(gè)部分和，前一部分是偶函數(shù)，后一部分是奇函數(shù)，因此，可用定理1的結(jié)論簡(jiǎn)化其計(jì)算。

這樣的例子很多，有的直接應(yīng)用定理1，有的通過(guò)定積分性質(zhì)拆項(xiàng)后再應(yīng)用定理1，達(dá)到簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。

Q3：對(duì)于無(wú)窮限的廣義積分，是否也有相應(yīng)的應(yīng)用對(duì)稱性求解的方法？有些什么樣的結(jié)論？如何應(yīng)用？

對(duì)于無(wú)窮限的廣義積分，根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性也有一些結(jié)論：

由定理1，很容易得到下面的結(jié)論：

推論1 設(shè)f（x）在（-∞，∞）上連續(xù)， F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，且無(wú)窮限非正常積分f（x）dx收斂，則有

（1）若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）dx=0.

（2）若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）dx=.

證明：因?yàn)閒（x）在（-∞，∞）上連續(xù)， f（x）在任何區(qū)間[a，A]（a

再由定積分的性質(zhì)得：

.

若f（x）為奇函數(shù)，則 F（x）是一個(gè)偶函數(shù)， 所以F（-A）=F（A）

若f（x）為偶函數(shù)，則一定有一個(gè)奇函數(shù)F（x），所以F（-A）=-F（A） .

Q4：如果積分區(qū)間不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是否也有相應(yīng)的應(yīng)用對(duì)稱性求解的方法？有些什么樣的結(jié)論？如何應(yīng)用？

我們知道，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)滿足f（-x）=f（x），那么f（x）的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x）， 那么 f（x）的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。一般地，可以得到關(guān)于對(duì)稱性的如下特征性質(zhì)。

性質(zhì)1 若f（x）函數(shù) 在其定義域內(nèi)滿足f（x）=f（a-x）那么f（x）的圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱。

性質(zhì)2 若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)滿足f（x）+f（a-x）=b，那么f（x）的圖形關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱。

定理2 設(shè)k>0，在[-k，+k]上可積，若f（a-x）=f（x），則有

證明：因?yàn)?（1）

在中取x=a-t得：

代入（1）式得：

同理可證：

Q5：在二重積分計(jì)算中對(duì)稱性的應(yīng)用又是怎么回事？有些什么樣的結(jié)論？如何應(yīng)用？

利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分，可以使計(jì)算簡(jiǎn)化。在一般情況下，不僅要求積分區(qū)域D具有對(duì)稱性，而且被積分函數(shù)對(duì)于區(qū)域D也要具有對(duì)稱性。但在特殊情況下，即使積分區(qū)域D不對(duì)稱，或者關(guān)于對(duì)稱區(qū)域D的被積函數(shù)不具備對(duì)稱性，也可以經(jīng)過(guò)一些技巧性的處理，使之化為能用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算的積分。

積分區(qū)域D關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

定理3 設(shè)二元函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于x軸對(duì)稱，則

1）當(dāng)f（x，-y）=-f（x，y）（即f（x，y）是關(guān)于y的奇函數(shù)）時(shí)，有

2）當(dāng)f（x，-y）=f（x，y）（即f（x，y）是關(guān)于y的偶函數(shù)）時(shí)，有

其中D1是由x軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域。

例5 計(jì)算，其中D為由y2=2x與x=2圍成的區(qū)域。

解：如圖所示，積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，且f（x，-y）=-（xy+y3）=-f（x，y）

即f（x，y）是關(guān)于y的奇函數(shù)，由定理1有

（作者單位：湖北襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）