三角板是學生熟悉的學習用品，通過旋轉兩塊特殊的三角板，由淺入深、循序漸進地設計一些具有思考價值的數(shù)學問題，讓學生思考，巧妙考查三角形邊角關系、全等、相似、旋轉變換等知識，引導學生體驗旋轉三角板是實踐操作到數(shù)學思考活動經(jīng)驗的積累過程，幫助學生透過旋轉表象理解幾何圖形性質(zhì)，提煉解題規(guī)律，提升解題能力，提高數(shù)學思維水平.

本文以2013年山西中考試卷第25題為例，探討兩塊特殊三角板旋轉后求解重疊部分面積的問題，以期藉此感受數(shù)學的魅力.

1 提出問題——實驗到認證

由問題引發(fā)思考，旋轉兩塊全等的特殊三角板，在操作活動中發(fā)現(xiàn)幾何圖形特征，挖掘數(shù)學信息，抽取建構數(shù)學模型，探求隱含問題解決的方向和手段，尋找解決問題的突破口，鼓勵學生動手操作、積極思考、交流探討.

2 方法引領——拓展發(fā)散思維空間

低起點、多層次設計數(shù)學問題，把知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律與學生的認知結構有機地結合起來，讓各層次的學生主動參與思維訓練，在尋找、交流一題多解的過程中循序漸進，逐步演變、延伸、拓展，學生“跳一跳”就能夠得著“果子”不僅能激發(fā)學生學習的積極性，而且為學生順利理解知識、消除困惑、突破思維障礙，優(yōu)化思維品質(zhì)，奠定良好的基礎.

活動2 將DEFΔ繞點D旋轉，使DEAB⊥交AC于點H，DF交AC于點G，如圖2，求出重疊部分（）DGHΔ面積？

3 類比探究——提煉數(shù)學思想方法

在實驗操作探究中，通過旋轉變換條件的分類與有效組合，把三角形相似，直角三角形、面積分割、等積變換等相關知識點集中在問題的背景中，在學生思維的臨界處再追問，幫助學生建立知識點的聯(lián)系，促使學生主動思維，形成經(jīng)驗，達到 “轉軸拔弦三兩聲，未有曲調(diào)先有情”的境界.

活動3 如圖5，將ΔDEF繞點D旋轉，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN求重疊部分（ΔDMN）的面積.

活動6 如圖8，點C，E重合時，旋轉DEFΔ，連接AF，BD，類比上述五個實踐操作，你能提出一些新問題嗎？

旋轉變換要研究的核心問題就是全等變換和相似變換，在旋轉點的變化布局中探求方法，由面積求解到函數(shù)變化規(guī)律，活動五讓人耳目一新，審視一次次旋轉問題的“蛻變”，在問題有序的變化中發(fā)現(xiàn)問題的變化規(guī)律，充分挖掘了旋轉的內(nèi)在價值，著眼于學生的發(fā)散性數(shù)學思維的發(fā)展，把握了學生能力的提升，引導學生提出新問題，靜心于潛移默化中完成感性到理性認識的飛躍，開闊了視野.

5 反思與感悟

5.1 幾何旋轉——變換本質(zhì)

“對稱、平移、旋轉”是最基本的幾何變換，旋轉變換是指一個圖形繞某個點旋轉一個角度，保持形狀、大小不變的前提下，使其位置發(fā)生了變化.本題兩塊特殊三角板旋轉后組合成新的圖形，通過把復雜圖形的分割、借助添加輔助線轉化為幾何基本圖形，把面積求解問題轉化為等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形等基本的幾何圖形問題，彰顯出旋轉變換的本質(zhì)——轉化.

5.2 幾何旋轉——變換意識

本題變化條件，碰頭一旋轉，用動態(tài)的觀點看待幾何圖形的生成過程，嘗試用變與不變的邏輯關系分析已知與結論關系，雖千變?nèi)f化，但探究后發(fā)現(xiàn)柳暗花明又一村，思路豁然開朗.這就要求學生改變傳統(tǒng)的分析平面圖形的組成和幾何學習模式，用運動、變化的觀點看待幾何圖形，在動手實驗操作中感悟圖形的運動變化之妙，滲透幾何變換思想，感悟出題目中具備何種變換的基礎信息，力圖通過實驗活動讓學生自覺形成的幾何變換意識.

5.3 實踐創(chuàng)意——理性探索

學生動手親自體驗旋轉過程中圖形的位置變化，面對旋轉變化出新問題，引導學生能合理選擇有效的手段和策略，靈活應用所學的知識和方法進行探索研究，創(chuàng)新解法為學生今后的學習埋下了一個堅實的“固著點”和“生長點”，旋轉變換，解決問題視角不同，解法也多樣，在實踐操作中有意識地引導學生參與、嘗試、比較和體悟，分析“變”與“不變”的邏輯關系，在圖形變化中尋找基本圖形，培養(yǎng)學生的識圖能力、探究能力和發(fā)散思維能力.

5.4 體現(xiàn)——“最近發(fā)展區(qū)”理論

每種解法與思路的誕生不是憑空而得，回顧幾種解題思路，都是在前一種特殊的情形、方法中汲取營養(yǎng)，進一步拓展變化，繼承與發(fā)揚、溝通了學生的潛在發(fā)展水平與實際發(fā)展水平之間的聯(lián)系，增強了對幾何基本圖形的辨析和構造能力，尋找問題相似點，探求解法，通過旋轉變換去揭示構造的數(shù)學思維方式，并在操作中摸索幾何構造，提高了解題效益.

5.5 數(shù)學實驗問題——探究能力

本題要求學生通過觀察、實驗等活動過程自主地發(fā)現(xiàn)有關規(guī)律，推理證明猜想并加以尋找解釋計算，需要學生經(jīng)歷一定的實驗、操作等活動.旋轉變換的過程設計了有待于學生去探究挖掘所蘊涵數(shù)學本質(zhì)的問題，通過多角度、多層次研究，發(fā)現(xiàn)了知識內(nèi)在的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生數(shù)學實驗的“數(shù)學問題形成”的一般思路和探究能力.

通過旋轉三角板變換兩三角板重疊圖形，求解重疊部分幾何圖形的面積隨著旋轉角度的變化，處處滲透著轉化、建模等數(shù)學思想.旋轉三角板的過程是一個蘊涵了讓學生經(jīng)歷觀察、猜測、合情推理、有條理認證的數(shù)學活動過程，較好地鍛煉了學生通過歸納發(fā)現(xiàn)總結一般規(guī)律的能力.

實驗操作編排起點低、坡度緩，各操作活動問題間承接性明顯，每一步的數(shù)學操作活動都為下面的思維爬坡打下基礎，為學生順利解決問題隱含地提供了導向作用，凸現(xiàn)了數(shù)學思維的獨特品質(zhì)，較好地實現(xiàn)了對初中幾何基礎知識、技能和以數(shù)學思維為核心的能力考查，最終達到培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，提高學生的數(shù)學素養(yǎng).