摘要：自2010年4月中國(guó)金融期貨交易所推出滬深300股指期貨以來(lái)，套期保值者無(wú)疑為期指市場(chǎng)上重要參與者，文章在對(duì)普通最小二乘法、誤差修正法、BGARCH法等進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹的基礎(chǔ)上，試圖探尋實(shí)證中之最優(yōu)套期保值比率；在2014年券商創(chuàng)新大會(huì)上，以中信證券等為首的個(gè)股期權(quán)業(yè)務(wù)已提上日程，文章試圖通過(guò)實(shí)例對(duì)二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)原理進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

關(guān)鍵詞：期貨；最優(yōu)套期保值；二叉樹(shù)；期權(quán)；定價(jià)

一、期貨最優(yōu)套期保值比率之估計(jì)

（一）幾個(gè)相關(guān)術(shù)語(yǔ)

1. 套期保值

期貨套期保值是指把期貨市場(chǎng)當(dāng)作轉(zhuǎn)移價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的場(chǎng)所，利用期貨合約作為將來(lái)在現(xiàn)貨市場(chǎng)上買(mǎi)賣(mài)商品的臨時(shí)替代物，對(duì)其現(xiàn)在買(mǎi)進(jìn)準(zhǔn)備以后售出商品或?qū)?lái)需要買(mǎi)進(jìn)商品的價(jià)格進(jìn)行保險(xiǎn)的交易活動(dòng)。期貨套期保值可以分為多頭套期保值和空頭套期保值。

2. 期貨最優(yōu)套期保值

期貨最優(yōu)套期保值：即在符合基本套期保值策略的前提下，盡可能使得套期保值組合之方差最小。試以h表示套期保值比率值，Nf為所賣(mài)空之期指合約之份數(shù)，NA為期末現(xiàn)貨資產(chǎn)之份數(shù)，從而有h=，此外，亦試以S1為起初現(xiàn)貨之價(jià)格，S2為期末現(xiàn)貨之價(jià)格；F1為期初期指之價(jià)格，F(xiàn)2為期末期指之價(jià)格，從而自然有期末現(xiàn)金流凈流入為Y=S2N2-（F2-F1）NF，該式亦可改寫(xiě)為Y=S1NA+（S2-S1）NA-（F2-F1）NF，聯(lián)立h之定義式并整理得有Y=S1NA+NA（ΔS-hΔF），顯然當(dāng)后半部分方差極小時(shí)，期末現(xiàn)金流方差亦達(dá)極小，后半部分方差可算得系ν=σ+h2σ-2hρσSσF，我們通過(guò)對(duì)該式求導(dǎo)從而得到最優(yōu)套期保值比率h*==ρ

3. 普通最小二乘法之估計(jì)

普通最小二乘法系線性回歸之基礎(chǔ)方法，試記ΔSt為現(xiàn)貨價(jià)格之變動(dòng)額，ΔF記為期指價(jià)格之變動(dòng)額，從而關(guān)于兩者之變動(dòng)額可構(gòu)建包含h之普通最小二乘之回歸模型，亦即ΔSt=c+h*ΔFt+εt

4. 誤差修正法之估計(jì)

考慮到經(jīng)典的普通最小二乘法系建立在原始數(shù)據(jù)相對(duì)平穩(wěn)之基礎(chǔ)上的，然而實(shí)證數(shù)據(jù)往往難以嚴(yán)格遵守平穩(wěn)之假設(shè)，從而可能存在所得解次優(yōu)化之現(xiàn)象，從而我們應(yīng)當(dāng)對(duì)普通最小二乘法進(jìn)行相應(yīng)優(yōu)化，以撫平數(shù)據(jù)非平穩(wěn)對(duì)結(jié)果之影響，具體系通過(guò)兩步法予以解決的，即先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行協(xié)整回歸St=α+bFt+εt，然后通過(guò)誤差修正法進(jìn)行估計(jì)，即ΔSt=αt-1+βΔFt+δiΔFt-i+θjΔSt-j+et

5. BGARCH法之估計(jì)

BGARCH之均值方程為ΔSt

ΔFt=Cs

Cf+δSZt-1

δfZt-1+εs，t-1

εf，t-1，方差方程為νec（Ht）=C+A·νec（εt-1εt-1'）+B·Ht，其中C為3×1的參數(shù)向量；A和B均為3×3的系數(shù)矩陣，νec（Ht）=νec（C'C）+νec（Aεt-1εt-1'A）+νec（B'Ht-1B）（Ht=hss，t hsf，t

hsf，t hff，tC=C11 C12

0 C22、A=α11 0

0 α22、B=β11 0

0 β22）

6. 期貨套期保值比率之評(píng)價(jià)

根據(jù)定義，我們可用=Var（ΔS）+（h*）2Var（ΔF）-2h*Coν（ΔS，ΔF）對(duì)所求h值進(jìn)行評(píng)價(jià)。

（二）實(shí)證檢驗(yàn)

本例中我們選取上海商品交易所之軋板主力，使任一觀測(cè)均包含作為現(xiàn)貨價(jià)格之變動(dòng)額的ΔSt，以及作為期指價(jià)格之變動(dòng)額ΔF，分別用F表示期貨數(shù)據(jù)集，用S表示現(xiàn)貨數(shù)據(jù)集。

1. 普通最小二乘法之估計(jì)

根據(jù)ΔSt=c+h*ΔFt+εt，以現(xiàn)貨價(jià)格之變動(dòng)額ΔSt作為被解釋變量，以期指價(jià)格變動(dòng)額ΔF作為解釋變量，構(gòu)建回歸方程。

整理上式可得普通最小二乘估計(jì)方程為 ΔSt=-4.213742+0.265160ΔFt+εt，常數(shù)項(xiàng)C未通過(guò)顯著性檢驗(yàn)；而解釋變量通過(guò)T檢驗(yàn)，即解釋變量存在一定程度上解釋力，此外方程總體線性顯著性尚可，但方程擬合效果相對(duì)較低。根據(jù)ΔSt=c+h*ΔFt+εt定義，本實(shí)驗(yàn)得到的套期保值比率h為0.265160。

2. 誤差修正之估計(jì)

若樣本觀測(cè)值未能符合數(shù)據(jù)平穩(wěn)性之假設(shè)，則實(shí)證結(jié)果可能出現(xiàn)次優(yōu)化之現(xiàn)象，因此我們首先對(duì)樣本分別進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。從autocorrelation值未能顯著收斂于零軸之結(jié)果而言，可以初步認(rèn)為原數(shù)據(jù)集不符合平穩(wěn)性假定。下面我們進(jìn)行augmented Dickey-Fuller Unit Root Test，從結(jié)果不難看出，期貨價(jià)格F系屬一階單整數(shù)據(jù)集。同理我們亦發(fā)現(xiàn)對(duì)于現(xiàn)貨價(jià)格S而言，其亦屬一階單整數(shù)據(jù)集。

在明確現(xiàn)貨與期貨價(jià)格均系一階單整前提下，我們先對(duì)St=a+bFt+εt進(jìn)行協(xié)整回歸，得到如下式之回歸方程：St=48.62354+0.946532Ft+εt，解釋變量符合顯著性檢驗(yàn)，常數(shù)項(xiàng)相對(duì)不顯著，但方程總體線性檢驗(yàn)亦十分顯著。此時(shí)我們通過(guò)對(duì)殘差e進(jìn)行augmented Dickey-Fuller Unit Root Test，結(jié)果顯示殘差項(xiàng)不含單位根，因此我們可用殘差項(xiàng)對(duì)原數(shù)據(jù)集進(jìn)行修正，以試圖消除樣本觀測(cè)非平穩(wěn)造成之負(fù)面影響。

下面我們根據(jù)ΔSt=αt-1+βΔFt+δiΔFt-i+θjΔSt-j+et對(duì)原方程進(jìn)行線性回歸。所得結(jié)果為ΔSt=-4.765132+0.767814ΔFt-0.432567ECMt-1+εt，其中除常數(shù)項(xiàng)仍然不顯著外，解釋變量ΔFt與殘差項(xiàng)ECMt-1均通過(guò)了變量顯著性檢驗(yàn)，且該式亦通過(guò)了方程總體線性檢驗(yàn)，此外相較于普通最小二乘法而言，ECM估計(jì)之回歸方程擬合優(yōu)度較OLS估計(jì)有相當(dāng)程度上之提升。根據(jù)定義，根據(jù)誤差修正法所得之套期保值比率為0.767814。

3. BGARCH之估計(jì)

根據(jù)方法論，在進(jìn)行BGARCH估計(jì)之前我們應(yīng)當(dāng)先對(duì)誤差修正模型所產(chǎn)生殘差進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

爾后根據(jù)常數(shù)相關(guān)系數(shù)二元GARCH模型（CCC-BARCH）對(duì)ΔS以及ΔF分別進(jìn)行估計(jì)，并對(duì)兩者所對(duì)應(yīng)的殘差序列予以保存，后求出兩變量殘者之相關(guān)系數(shù)，后可算得套期保值比率為0.797851，即對(duì)應(yīng)于1單位現(xiàn)貨資產(chǎn)，可用0.797851單位期貨資產(chǎn)予以套保。

4. 套期保值比率之評(píng)價(jià)

根據(jù)上文，我們已分別得到根據(jù)普通最小二乘法所得估計(jì)系0.265160，通過(guò)誤差修正法所得估計(jì)為0.767814，以及通過(guò)BGARCH法所得估計(jì)為0.797851，我們可以通過(guò)比較不同套保組合收益率方差對(duì)套期保值比率進(jìn)行評(píng)價(jià)，具體為普通最小二乘法收益率方差為Var

，誤差修正法收益率方差為Var

，BGARCH法收益率方差為Var

，以及未使用上述方法所構(gòu)組合收益率方差為Var

即Var

。

從上表不難看出，未經(jīng)過(guò)套保之套保組合所對(duì)應(yīng)的組合收益率波動(dòng)性最大，其次分別是普通最小二乘法之套保組合，誤差修正法之套保組合，以及BGARCH套保組合，因此可以認(rèn)為，通過(guò)BGARCH方法所確定的套期保值比率0.797851，即每一單位現(xiàn)貨資產(chǎn)對(duì)應(yīng)于0.797851份期貨資產(chǎn)，可達(dá)到相對(duì)最優(yōu)之套保組合。

二、二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)方法

（一）幾個(gè)相關(guān)術(shù)語(yǔ)

1. 單期二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)

假設(shè)：看漲期權(quán)的基礎(chǔ)資產(chǎn)的現(xiàn)在價(jià)格為S，期權(quán)的有效期為Dt，在期權(quán)到期日，基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格或者上漲至現(xiàn)在價(jià)格的u倍，或者下降至現(xiàn)行價(jià)格的d倍。這里u>1，d<1，設(shè)當(dāng)前的看漲期權(quán)價(jià)格為C，在基礎(chǔ)資產(chǎn)的上述兩種變化之下，期價(jià)值分別為Cu和Cd，看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K。

顯然Cu=max（uS-K，0），Cd=max（uS-K，0）。為了求解出期權(quán)的價(jià)值C，我們可以構(gòu)造投資組合：以價(jià)格C賣(mài)出一份看漲期權(quán)；買(mǎi)入h份基礎(chǔ)資產(chǎn)，其中h系一未知數(shù)，h的大小要保證該投資組合為一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，即無(wú)論市場(chǎng)如何變化，該投資組合在到期日之價(jià)值系確定。因此，在到期日，如果基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格上漲，投資組合的最終價(jià)值為huS-Cu；基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格下跌，投資組合最終價(jià)值為hdS-Cd，基礎(chǔ)資產(chǎn)與期權(quán)組合的價(jià)格走勢(shì)如表2所示。

此外，根據(jù)無(wú)套利思想，應(yīng)該有：huS-Cu=hdS-Cd ，則有h=考慮在期權(quán)有效期里的利率收入的話，假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r，那么以投資組合的當(dāng)前價(jià)值hS-C進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)該和該投資組合的最終價(jià)值相等，即有：erΔt（hS-C）=huS-Cu，聯(lián)立上式便有C=，其中，P=，P系風(fēng)險(xiǎn)中性概率。在市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)存在的情況下，可以證明有d

2. 多期二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)

C=

C=Pk（1-P）n-kmax（ukdn-kS-K，0），其中，k，n-k分別為n期中基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格上漲和下跌的次數(shù)。

（二）實(shí)證檢驗(yàn)

本例依據(jù)期權(quán)全真模擬交易數(shù)據(jù)《600104C1406M01200》合約2014年以來(lái)之期權(quán)數(shù)據(jù)，以周K線作為分析單位，可測(cè)得原生資產(chǎn)周收益率均值為0.3048%，標(biāo)準(zhǔn)差系0.034656，換算成年標(biāo)準(zhǔn)差系0.2499，并根據(jù)d=，u=e，以及P=算出相應(yīng)上漲倍數(shù)、下跌倍數(shù)以及風(fēng)險(xiǎn)中性概率。

爾后，我們便可利用二叉樹(shù)模型測(cè)得每個(gè)結(jié)點(diǎn)之股票價(jià)格，即先將目前股票價(jià)格輸入至單元格C39中，為了方便以后的運(yùn)算，

我們?cè)诿羁蜉斎搿?+B30\"。在單元格D38中，輸入公式“=+C39*$B$40\"，其含義為，股票的市場(chǎng)初始價(jià)格乘以u(píng)，生成股票價(jià)格上升后的價(jià)格。在下降的情況下，股票價(jià)格應(yīng)該為初始價(jià)格乘以 對(duì) d，相應(yīng)的公式為“=+C39*$B$41\"，把該公式輸入到單元格D40中，接下來(lái)，在單元格E37、E39和E41中，分別輸入“=+D38*$B$40\"、\"=+D38*$B$41\"及\"=+D40*$B$41\"，之后在后面各列中應(yīng)該輸入的公式以此類(lèi)推，直到填滿了10個(gè)時(shí)期的所有可能的股票價(jià)格。

在完成上述過(guò)程之后，選中單元格L31，這個(gè)單元格中，我們將用來(lái)顯示與單元格L30相對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，同樣的，對(duì)于每一個(gè)結(jié)點(diǎn)，我們都會(huì)將其對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格顯示在它下面的一個(gè)單元格中。在單元格L31中，我們輸入Excel公式“=+MAX（L30-$B$31，0）\"，在L列的其他單元格內(nèi)以此類(lèi)推，向下填充，直至把每一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格填滿。

爾后，向前遞推，如第九列的期權(quán)價(jià)格=[第十列期權(quán)價(jià)格*風(fēng)險(xiǎn)中性概率+第十列另一期權(quán)價(jià)格*（1-風(fēng)險(xiǎn)中性概率）]*EXP（無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率*到期日/250/期數(shù)），通過(guò)不斷向前遞推填充整個(gè)表格，得以確定所求期權(quán)在期初之理論價(jià)格。

（作者單位：許祐瑋，武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院；張心怡，上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)國(guó)際金融貿(mào)易學(xué)院）