于海云

摘 要：從初中與高中對(duì)二次函數(shù)研究的重點(diǎn)、層次及要求不同，分析二次函數(shù)在初高中教學(xué)時(shí)應(yīng)注意的知識(shí)講解的漸進(jìn)性。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；知識(shí)點(diǎn)；中考要求

形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫二次函數(shù)。二次函數(shù)在整個(gè)中學(xué)階段都是比較重要的函數(shù)之一。初中階段是所學(xué)三種重要函數(shù)之一。高中階段二次函數(shù)多與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合進(jìn)行研究。例如，其與一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系，體現(xiàn)著函數(shù)、方程、不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系。初高中所有與二次函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題都可以結(jié)合圖象來(lái)研究，學(xué)生需要掌握“數(shù)形結(jié)合”等重要數(shù)學(xué)思想方法。而且初高中都有新知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)中如何把握不同知識(shí)點(diǎn)的漸進(jìn)性，何時(shí)講解到何種程度才更為合適呢？這是個(gè)值得研究的課題。

一、初中二次函數(shù)主要知識(shí)點(diǎn)及中考要求

1.初中二次函數(shù)的主要知識(shí)點(diǎn)包括解析式與圖象，知識(shí)點(diǎn)單一且很少與其他知識(shí)點(diǎn)交叉。

（1）三種解析式：一般式、頂點(diǎn)式、兩根式，由一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)a≠0）配方后可化為y=a（x+■）2-■，記h=-■，k=■則得到頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k拋物線的頂點(diǎn)為（h，k）即（-■，■）.對(duì)于和x軸有交點(diǎn)的二次函數(shù)，還有兩根式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）即對(duì)ax2+bx+c進(jìn)行因式分解，其中x1，x2=■（求根公式），x1、x2為對(duì)應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根。現(xiàn)在人教版初中數(shù)學(xué)已經(jīng)刪去了十字相乘法，西藏的初中有的班級(jí)教了十字相乘法，有的沒(méi)教。如果講了十字相乘法，也可以用十字相乘法來(lái)分解因式得到兩根式。十字相乘法雖然有應(yīng)用的局限性，但是只要可以用十字相乘法分解因式的題目，相比用求根公式計(jì)算簡(jiǎn)單。（2）與二次函數(shù)的圖象相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)稱軸、開(kāi)口方向、頂點(diǎn)與x軸、y軸交點(diǎn)，與x軸交點(diǎn)又涉及對(duì)應(yīng)一元二次方程根的幾何解釋。

2.中考要求主要有：（1）理解二次函數(shù)概念、性質(zhì)，會(huì)畫(huà)二次函數(shù)的圖象。（2）能確定拋物線的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸方程，以及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。（3）會(huì)根據(jù)不同條件確定二次函數(shù)的解析式。（4）靈活運(yùn)用函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題。

初中相對(duì)高中來(lái)說(shuō)，都是二次函數(shù)一些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，知識(shí)的靈活運(yùn)用要求不高，對(duì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系研究很少。

二、高中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及高考要求

二次函數(shù)在高考中始終是重點(diǎn)之一，近年來(lái)隨著初中對(duì)二次函數(shù)要求的降低，高中對(duì)二次函數(shù)需要研究的內(nèi)容就更多了，綜合性也更強(qiáng)，而且相應(yīng)內(nèi)容并不是集中在一起出現(xiàn)，很多都是用到二次函數(shù)相關(guān)的知識(shí)時(shí)再介紹，比較零碎。

1.高考要求中直接提到二次函數(shù)的主要有：（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)。（2）通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系?？此坪苌?，但是實(shí)際上二次函數(shù)基本上在每一模塊都有涉及，而且圖象也不再局限于初中內(nèi)容。

2.主要知識(shí)點(diǎn)在加深對(duì)已有知識(shí)點(diǎn)的的剖析及應(yīng)用的基礎(chǔ)上，引入新知識(shí)。圖象、性質(zhì)、定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等等，一道題目不會(huì)只用單一知識(shí)點(diǎn)解決。

Ⅰ.二次函數(shù)的圖象和解析式：仍然和初中基本一樣，不需要進(jìn)行補(bǔ)充，主要是加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)圖象研究性質(zhì)。

Ⅱ.二次函數(shù)的性質(zhì)：

（1）定義域及值域：對(duì)于一般二次函數(shù)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋ā觯?∞）（a>0）或者（-∞，■]（a<0）有特定條件的題目，還要根據(jù)題目條件來(lái)定，靈活多樣。值域由定義域決定，又和最值問(wèn)題息息相關(guān)，“必修一函數(shù)的基本性質(zhì)”中也會(huì)講到二次函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?，值域也有多種情況。

（2）單調(diào)性：二次函數(shù)的單調(diào)性以對(duì)稱軸作為區(qū)分，當(dāng)a>0時(shí)，（-∞，-■）或者（-∞，-■]是單調(diào)遞減區(qū)間，[-■，+∞）或者（-■，+∞）是單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a<0時(shí)，單調(diào)性相反。

（3）奇偶性：二次函數(shù)的奇偶性相比單調(diào)性來(lái)說(shuō)更簡(jiǎn)單，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)稱軸是y軸時(shí)，即-■=0時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，其余情況皆不具備奇偶性。

（4）最值：最值與函數(shù)的定義域有關(guān)，情況多變，對(duì)于區(qū)間上的最值問(wèn)題原則是區(qū)分對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置（以a<0為例）。第一，如果定義域是R，函數(shù)有最小值ymin=■沒(méi)有最大值。

第二，如果定義域是區(qū)間[m，n]（m、n是常數(shù)，且m

（5）二次函數(shù)區(qū)間根的分布情況：一般從判別式、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)、對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置三方面來(lái)考慮，可以用圖象求解，令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程有ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1、x2，且x1

①x1<0，x2<0，則？駐>0-■<0a·f（0）>0

②x1>0，x2>0？駐>0-■>0a·f（0）>0

③x1<0

其次，討論兩根與常數(shù)k的大小關(guān)系，與第一種情況類似，把0換成k即可。

然后討論根在區(qū)間上的分布：

①兩根都在（m，n）內(nèi)，則？駐>0f（m）·f（n）>0m<-■

②兩根僅有一根在（m，n）內(nèi)，可分：當(dāng)？駐>0時(shí)，若f（m）=0或f（n）=0可表示出另一根，再利用區(qū)間范圍求解；若另一根在[m，n]外時(shí)，則f（m）·f（n）<0時(shí)。當(dāng)？駐=0時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，利用？駐=0求解；

③一根在（m，n）內(nèi)，另一根在（s，t）內(nèi)，m

則f（m）·f（n）<0f（s）·f（t）<0

④兩根分別在（m，n）兩側(cè)，即x1n，則f（m）·f（n）>0。

（6）二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系（以a>0為例）：

①？駐<0？圳f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)？圳ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根？圳ax2+bx+c>0的解集為R，ax2+bx+c<0的解集為？準(zhǔn)；

② ？駐=0？圳f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸相切？圳ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2？圳fax2+bx+c>0的解集為■，ax2+bx+c<0的解集為？準(zhǔn)；

③？駐>0？圳f（x）=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？圳ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x10的解集為（-∞，x1）∪（x2，+∞），ax2+bx+c<0的解集為（x1，x2）。

有些知識(shí)點(diǎn)可以在相應(yīng)章節(jié)出現(xiàn)時(shí)，對(duì)相應(yīng)分類全面研究。也可以只介紹出現(xiàn)的某種情況，在高三復(fù)習(xí)時(shí)系統(tǒng)總結(jié)。具體處理方式還要根據(jù)班級(jí)學(xué)生基礎(chǔ)及接受力安排研究的時(shí)間及難度，總之，二次函數(shù)完全可以單列為一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)，就如北師大版高中數(shù)學(xué)教材。

雖然高中數(shù)學(xué)人教A版沒(méi)有對(duì)二次函數(shù)單列章節(jié)研究，但是相應(yīng)知識(shí)分散到各個(gè)與之相關(guān)的章節(jié)。例如，分段函數(shù)經(jīng)常會(huì)有二次函數(shù)形式，冪函數(shù)y=x2也是二次函數(shù)，等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+■d是關(guān)于n的二次函數(shù)，三角函數(shù)里面有很多公式是二次形式，很多問(wèn)題最終也會(huì)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)知識(shí)求解等。雖然這樣保持了二次函數(shù)在高中階段的貫穿性，但對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)際上造成了不方便，很多知識(shí)都是到用時(shí)才分析研究，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為二次函數(shù)的知識(shí)“東一榔頭，西一棒子”，不成系統(tǒng)，整理起來(lái)也有難度。

所以，對(duì)二次函數(shù)的教學(xué)，教師必須做到心中有數(shù)，層層遞進(jìn)，如，抽絲剝繭，把對(duì)二次函數(shù)的研究一步步深入下去，不能急躁，要有抖包袱的勁頭，才能更好地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行深入研究。

（作者單位 西藏拉薩中學(xué)數(shù)學(xué)組）

編輯 溫雪蓮