戴小駒

【摘要】幾何應(yīng)用型問(wèn)題圖文并茂，貼近生活實(shí)際，頗引人注目，而幾何最優(yōu)化問(wèn)題又是其中的一朵奇葩.這類問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，需要學(xué)生具有扎實(shí)的幾何知識(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)要有較強(qiáng)的分析能力和一定的生活經(jīng)驗(yàn).學(xué)生解這類題，往往有一定的困難.本文通過(guò)剖析典型例題，介紹怎樣從實(shí)際問(wèn)題背景看問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，抓住圖形的幾何性質(zhì)，獲取最優(yōu)化解決問(wèn)題的信息，從而探求解決問(wèn)題的最優(yōu)化途徑和方法.

【關(guān)鍵詞】幾何；模型；數(shù)學(xué)

一、有關(guān)站址的選取問(wèn)題

例1如圖1，某汽車公司所營(yíng)運(yùn)的公路AB段有四個(gè)車站，依次為A，C，D，B，且AC=CD=DB.現(xiàn)想在AB段建一個(gè)加油站M，要求使A，B，C，D站的各一輛汽車到加油站M所花費(fèi)的總時(shí)間最少，試找出M的位置.

圖1

分析本題實(shí)際上是在線段AB間找一點(diǎn)M，使S=AM+CM+DM+BM最小.可就M在AC間、CD間（含C，D）、DB間三種情況分別求出S，再進(jìn)行比較，找出符合要求的M點(diǎn).

解若加油站選在AC間，設(shè)為M′，則S1=（AM′+BM′）+（CM′+DM′）=AB+CD+2CM′.

若加油站選在CD間（包括C，D），設(shè)為M″，則S2=（AM″+BM″）+（CM″+DM″）=AB+CD.

若加油站選在DB間，設(shè)為M，則S3=AB+CD+2DM，

可見(jiàn)S1，S2，S3中S2最小，并且S2是一個(gè)固定的值.所以加油站M選在CD段（包括C，D）任一點(diǎn)均可.

說(shuō)明此題通過(guò)分類討論并加以計(jì)算比較的代數(shù)方法解決了幾何的最優(yōu)選址問(wèn)題.

例2長(zhǎng)江的同側(cè)有A，B兩個(gè)工廠，它們有垂直于江邊的小路，長(zhǎng)度分別為m千米和n千米.設(shè)兩條小路相距l(xiāng)千米.現(xiàn)在要在江邊建一個(gè)抽水站，把水送到A，B兩廠去，欲使供水管線最短，抽水站應(yīng)建在哪里？