楊祖華　張建葵

向量作為一種重要的解題工具，一直是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容，教材中對(duì)于平面向量給出了幾何表示和代數(shù)表示兩種形式，在解決平面向量問題中，學(xué)生能綜合運(yùn)用向量的幾何形式和代數(shù)形式思考問題，不僅能增強(qiáng)分析問題、解決問題的能力，而且對(duì)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)有重要作用.

相比較而言，學(xué)生對(duì)于向量的坐標(biāo)表示更容易接受和理解，但對(duì)向量的幾何表示包括幾何運(yùn)算往往感到比較困難，然而從平面向量的幾何意義來看，其中又有很多獨(dú)特之處，如能合理地運(yùn)用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則以及向量平行與垂直的充要條件，結(jié)合平面向量的基本定理等這些幾何意義，那么在解決平面向量計(jì)算問題時(shí)往往能收到事半功倍的效果.現(xiàn)舉幾例，予以說明.

例1（2013年山東高考理科15）已知向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，則實(shí)數(shù)λ的值為.

思路1利用向量的“幾何形式”，將向量幾何轉(zhuǎn)化.利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算.

解法1向量AB與AC的夾角為120°，且|AB|=3，|AC|=2，

所以AB·AC=AB·ACcos120°=-12×3×2=-3.

由AP⊥BC，得AP·BC=0，

即AP·BC=（λAB+AC）·（AC-AB）=0，

所以AC2-λAB2+（λ-1）AB·AC=0，

即4-9λ-3（λ-1）=0，解得λ=712.

思路2利用向量的“代數(shù)形式”，將向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.建立平面直角坐標(biāo)系，確定各關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積AP·BC，進(jìn)而解出λ.

解法2以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（3，0），C（-1，3）.又設(shè) P （x，y），所以AB=（3，0），AC=（-1，3），BC=（-4，3）.

因?yàn)锳P=λAB+AC，所以AP=λ（3，0）+（-1，3）=（-1+3λ，3）

由AP⊥BC，得AP·BC=0，即AP·BC=（-1+3λ，3）·（-4，3）=-4（-1+3λ）+3=0，解得λ=712.

例2（2013年天津高考理科12）在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn).若AC·BE=1，則AB的長為.

思路1利用向量的“幾何形式”，將向量幾何轉(zhuǎn)化.根據(jù)向量的加法及平面向量的基本定理由AD，AB表示AC，BE，再由AC·BE=1求AB的長.

解法1因?yàn)锳C=AB+AD，BE=BA+AD+DE=-AB+AD+12AB=AD-12AB，

所以AC·BE=（AB+AD）·（AD-12AB）=AD2+12AD·AB-12AB2

=1+12×1×ABcos60°-12AB2=1.

所以14AB-12AB2=0，解得AB=12.

思路2利用向量的“代數(shù)形式”，將向量坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.建立平面直角坐標(biāo)系，確定各關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，將向量AC，BE用坐標(biāo)表示，并利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積AC·BE，進(jìn)而解出x，最后求AB的長.

解法2以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），D12，32.又設(shè) B（x，0），則Cx，32，E12+x2，32，所以AC=12+x，32，BE=12-x2，32.

由AC·BE=1，得12+x，3212-x2，32=1，所以x=12或x=0（舍），即AB=12.

在這里我們不去探究幾何形式和代數(shù)形式在解題中哪個(gè)更簡單，因?yàn)楹唵问窍鄬?duì)的，它依賴于我們所擁有的知識(shí)背景和問題的情況.平面向量中與數(shù)值有關(guān)的計(jì)算問題，往往是通過向量與向量之間的特殊的位置關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化、結(jié)合平面向量的概念及其線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算而形成求解思路，若能充分利用向量雙重身份作為聯(lián)系幾何和代數(shù)的紐帶，數(shù)與形結(jié)合，就能從容解決與平面向量有關(guān)的問題.

【參考文獻(xiàn)】

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