張建葵　楊祖華

1.考題再現(xiàn)

（2013年高考文科數(shù)學(xué)安徽卷第18題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA=6.

（Ⅰ）證明：PC⊥BD；

（Ⅱ）若E為PA的中點(diǎn)，求三棱錐P-BCE的體積.

2.問題分析

本題第（Ⅱ）問是求三棱錐體積問題，求簡(jiǎn)單幾何體的體積問題關(guān)鍵是能夠?qū)㈩}設(shè)的特殊條件進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，求解出底面積和高，進(jìn)而得出幾何體的體積.高考考查的重點(diǎn)就在于找高，對(duì)文科生來講解決這一問的難點(diǎn)也在于找高，其關(guān)鍵是選擇易尋求高的底面，利用線面垂直的判定找高.而第（Ⅰ）問的證明為第（Ⅱ）問找高做了很好的鋪墊，教師在引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)此問化歸方向的同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽探尋此問轉(zhuǎn)化的角度，充分發(fā)揮化歸轉(zhuǎn)化思想解決立幾的作用，進(jìn)而得出此問的解決方法.

3.解法研究

思路一利用等積法轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)求體積，由第（Ⅰ）問知BD⊥面PAC，所以由點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B求體積.

解法一（等積轉(zhuǎn)化法）

由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，

所以BO是點(diǎn)B到面PEC的距離.

∵AB=AD=CB=CD=2，∠BAD=60°，

∴BD=2BO=2，AC=2AO=23.

又∵PB=PD=2，

∴PO=3，又PA=6，

∴PO2+AO2=PA2.即PO⊥AC.

∴S△PAC=12PO·AC=12×3×23=3.

∴S△PEC=12S△PAC=32.

∴VP-BCE=VB-PEC=13·S△PEC·BO=13×32×1=12.

思路二利用等高法轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)求體積，有條件知E為PA的中點(diǎn)，則點(diǎn)P，A到平面BCE的距離相等，從而由點(diǎn)P轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A求體積，再利用等積法轉(zhuǎn)化，由點(diǎn)A轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E求體積.

解法二（等高轉(zhuǎn)化法）

由條件得：

S△ABC=S△ABD

=12BD·AO=12×2×3=3，PO=3，

∴VP-BCE=VA-BCE

=VE-ABC=13·S△ABC·12PO=13×3×12×3=12.

思路三利用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化求體積，由第（Ⅰ）問知PO⊥面ABC，所以三棱錐P-BCE的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐P-ABC的體積減去三棱錐E-ABC的體積.

解法三（割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法）

由條件得：