代軍

[摘 要] 小波理論近年來已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于金融時間序列分析，然而實踐證明想要掌握好該方法并不容易。本文以簡單的時間序列為樣本，詳細(xì)地描述了小波分解與重構(gòu)的全部過程，意在通過詳實的步驟，揭示出小波多分辨分析的本質(zhì)。最后，實際演示了如何運用Matlab小波工具箱對包含600個交易數(shù)據(jù)的金融時間序列進(jìn)行多分辨分析。

[關(guān)鍵詞] 小波；多分辨分析；描述性研究

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 02. 018

[中圖分類號] F830 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）02- 0025- 03

0 引 言

對于很多信號，由于它的低頻部分能夠較好地反映信息變化的一致性，因此通常會更受人們的關(guān)注。以人類的聲音為例，低頻信息蘊含了語義，高頻信息表達(dá)了語調(diào)。此時即使高頻信息被剔除，也不會影響人們正常的交流。同理，在金融時間序列分析當(dāng)中，一些重要的經(jīng)濟(jì)規(guī)律也被隱藏在月、季等長周期的數(shù)據(jù)變化當(dāng)中。

近20年來，小波分析作為一種具有時頻特性的序列分析方法，日益被廣泛地應(yīng)用于金融工程研究領(lǐng)域。該理論能夠很好地通過尺度、小波函數(shù)的伸縮與平移，對非平穩(wěn)的原始數(shù)據(jù)按不同的時間刻度進(jìn)行分解，并自適應(yīng)地調(diào)整時頻窗寬，分析數(shù)據(jù)在各時頻的局部細(xì)節(jié)特征。然而，目前小波分析操作主要通過Matlab的小波工具箱完成。對于很多不熟悉復(fù)變函數(shù)和小波理論的金融從業(yè)人員，拿著軟件直接生成的結(jié)果，往往不知所措。針對上述問題，為了更好地揭示金融時間序列的多分辨分析過程，本文旨在通過詳實的例子，對整個小波分解與重構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的描述性研究，來幫助讀者透析其中的原理。

1 離散小波變換的基本原理

離散小波變換是一個對金融時間序列進(jìn)行不同周期的分解與重構(gòu)的過程。其中第一步是小波分解，也就是將原始信號乘以特定的低通或高通濾波器，以此實現(xiàn)對原始信號的分解，其中經(jīng)過低通（尺度）濾波器處理后的信號稱為“尺度系數(shù)”，它能反映數(shù)據(jù)變換的長期趨勢；經(jīng)過高通（小波）濾波器處理后的信號稱為“小波系數(shù)”，它蘊含了信號對長期趨勢的偏離。本文利用余弦波和高頻噪聲構(gòu)造出一個數(shù)量為1 000的原始信號X。該信號通過低通與高通濾波，可以得到數(shù)量各為500的小波系數(shù)s1與尺度系數(shù)d1。具體過程如圖1所示。

觀察圖1可以看到：由于尺度系數(shù)s1為原信號在尺度2上的非重疊平均，因此它保留了與原信號相似的形狀；小波系數(shù)d1則反映了實際信號對每一均值的偏離。人們形象的將這一過程稱之為“下抽樣”。選取不同的尺度和小波類型可以構(gòu)造出形式各異的小波分解。例如，圖1中的第一層小波分解選取的就是尺度為2的Harr小波。目前常見的小波還有Mexican Hat、Guass等在內(nèi)的15種。此外，圖1中的小波分解還可以繼續(xù)下去，例如對尺度系數(shù)s1的再分解能夠得到尺度為22的小波系數(shù)d2和尺度系數(shù)s2，兩者能夠在更長周期上反映信號的均值變化和偏離程度。

第二步就是在小波系數(shù)與尺度系數(shù)的基礎(chǔ)上對原始信號進(jìn)行重構(gòu)，即將原始信號表示成一個常數(shù)向量SJ和J個常數(shù)向量 Dj（j=1，…，J）的和：

X=■Dj+SJ （1）

其中，X為原始信號，SJ為第J層光滑，Dj代表第j層小波粗糙。上述過程定義了序列的一個多分辨分析。

2 離散小波變換的數(shù)學(xué)描述

為了解釋小波變換的基本原理，本文采用一個簡單的金融資產(chǎn)價格序列f（t）=（2，6，5，11，8，5，2，4）對整個離散小波變換過程進(jìn)行詳細(xì)的描述性研究。出于簡化的目的，這里采用的是形式最為簡單的Harr小波。該小波在（-1，0]和（0，1]的區(qū)間上分別取值■和■，在其余區(qū)間取值為0。

2.1 離線小波變換的分解

根據(jù)f（t）的序列長度和Harr小波濾波器的特點，可以很容易地構(gòu)造出如下第一層小波分解的尺度濾波器scale1和小波濾波器wave1：

scale1=Φ1，1Φ1，2Φ1，3Φ1，4=■，■，0，0，0，0，0，00，0，■，■，0，0，0，00，0，0，0，■，■，0，00，0，0，0，0，0，■，■

wave1=ψ1，1ψ1，2ψ1，3ψ1，4=■，■，0，0，0，0，0，00，0，■，■，0，0，0，00，0，0，0，■，■，0，00，0，0，0，0，0，■，■

然后將序列f（t）乘以尺度濾波器的轉(zhuǎn)置scale1T可得：

s1=f（t）·scale1T

=（f（t）Φ■■，f（t）Φ■■，f（t）Φ■■，f（t）Φ■■）

=（4■，8■，13■/2，3■）（3）

其中，s1為該序列的第一層小波分解尺度系數(shù)。觀察s1不難發(fā)現(xiàn)，它是由原序列f（t）的4組非重疊樣本平均值再乘以■得到。序列f（t）的第一層小波分解尺度系數(shù)d1則是由f（t）乘以小波濾波器的轉(zhuǎn)至wave1T得到：

d1=f（t）·wave1T

=（f（t）ψ■■，f（t）ψ■■，f（t）ψ■■，f（t）ψ■■）

=（-2■，-3■，3■/2，-■）（4）

其中，小波系數(shù)d1中的每個元素都等于原序列f（t）中非重疊相鄰兩項前后差值的平均值再乘以■。觀察公式（3）和（4）不難發(fā)現(xiàn)，尺度系數(shù)與小波系數(shù)的長度均只有原序列的一半。另外，在求解小波和尺度系數(shù)的過程中之所以要乘以■主要是為了讓尺度濾波器和小波濾波器滿足規(guī)范正交性，即矩陣的轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣。

一層小波分解完成后，還可以對第一層尺度系數(shù)s1進(jìn)行二次分解，得到二層小波系數(shù)d2和尺度系數(shù)s2，其具體計算過程如下：

s2=f（t）*scale1T*scale2T=（12，9.5）

d2=f（t）*scale1T*wave2T=（-4，3.5）

其中，scale2=■，■，0，00，0，■，■，

wave2=■，-■，0，00，0，■，-■。

同理還可以對該序列進(jìn)行第三層的小波分解，得到三層小波系數(shù)d3和尺度系數(shù)s3：

s3=f（t）*scale1T*scale2T*scale3T=■■

d3=f（t）*scale1T*scale2T*scale3T=■■

其中，scale3=■，■，scale3=■，-■。至此，針對金融價格序列f（t）的三層小波分解過程全部完成。

2.2 離散小波變換的重構(gòu)

小波分解只是完成了整個離散小波變換的一半，剩下的一半則是在保留原始信號f（t）全部信息的基礎(chǔ)上實現(xiàn)從小波分解到原始信號的重構(gòu)。該過程在小波變換中又被稱之為離散小波變換的逆變換（IDWT）。

根據(jù)前面小波分解過程可知，尺度濾波器和小波濾波器均滿足規(guī)范正交性，即矩陣的轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣。因此可以通過第一層小波系數(shù)d1乘以第一層小波濾波器wave1和第一層尺度系數(shù)s1乘以第一層尺度濾波器scale1，重構(gòu)原始序列：

f（t）=s1*scale1+d1*wave1=A1+D1（7）

其中，A1=s1*scale1是對原始信號的第一層近似，又被稱之為第一層光滑；D1=d1*wave1則蘊含了原始信號在第一層次變換上的細(xì)節(jié)，因此又被稱之為第一層粗糙。同理我們可以用二層小波系數(shù)d2和尺度系數(shù)s2來重構(gòu)第一層小波系數(shù)s1，再通過公示（7）求出第一層光滑A1：

A1=（s1*scale2+d2*wave2）*scale1=A2+D2（8）

其中，A2=s2（scale2*scale1，D2=d2*wave2*scale1。此時，原始信號f（t）實現(xiàn)了二層的多分辨分析過程。

f（t）=A1+D1=A2+D2+D1（9）

由于f（t）具有三層小波分解，所以A2還可以由第三層小波系數(shù)d3和尺度系數(shù)s3按如下形式進(jìn)行構(gòu)造：

A2=（s3*scale3+d3wave3）*scale2*scale1

=A3+D3（10）

其中，s3*scale3+d3wave3=s2。至此，原始信號f（t）的三層多分辨分析過程全部完成。

f（t）=A3+D3+D2+D1（11）

其中，式（11）中各細(xì)節(jié)Dj，j=1，2，3以及第三層光滑A3的具體數(shù)值均由表1所示。