張桂祥

近些年來(lái)，有關(guān)三角函數(shù)的最值問(wèn)題逐漸成為各等級(jí)高中數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)。通過(guò)對(duì)三角函數(shù)最值一類問(wèn)題的教學(xué)，可以幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想之間的聯(lián)系，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。下面，我們來(lái)探討幾種常見(jiàn)的三角函數(shù)最值問(wèn)題。

一、 三角函數(shù)最值常見(jiàn)類型

（1）一次型三角函數(shù)。一次型三角函數(shù)是指那些三角函數(shù)的冪次數(shù)等于一的函數(shù)類型，例如：y=asin（bx）、y=asinbx+c cosdx、y=asinx cosx等。對(duì)此，此類函數(shù)的求法較為多樣，也較為簡(jiǎn)單，可以總結(jié)為“遇不同，化相同”。

（2）二次型三角函數(shù)。二次型三角函數(shù)即是三角函數(shù)的冪指數(shù)出現(xiàn)大于一的情形，如：y=asin2x+bcos2x+csinxcosx、y=asin2x+bcosx等。此類三角函數(shù)最值的求解，常常利用三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解。

（3）分?jǐn)?shù)型三角函數(shù)。分?jǐn)?shù)型三角函數(shù)問(wèn)題常常會(huì)給學(xué)生們的函數(shù)最值帶來(lái)困難，尤其是對(duì)分母的存在性定義是很多學(xué)生容易遺忘的地方。例如y=■、y=■等。對(duì)于分式型三角函數(shù)，我們常常是將分?jǐn)?shù)型轉(zhuǎn)換成一次性，或是采用換元等方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)型的轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)。

二、 三角函數(shù)最值問(wèn)題求解策略

（1）三角函數(shù)有界性求解。三角函數(shù)的最值問(wèn)題歸根到底都是函數(shù)的有界性問(wèn)題，在定義域不做限制的情況下，利用三角函數(shù)自身的有界性是解決基礎(chǔ)性函數(shù)最值問(wèn)題的有效手段。

【例題】（2009年福建高考）已知函數(shù)f（x）=sin（？棕x+？漬），其中？棕>0，|？漬|≤■。①若cos■cos？漬-sin■sin？漬=0，求？漬的值。②在①的條件下，若函數(shù)f（x）的圖像的兩相鄰的對(duì)稱軸之間的距離等于■，求函數(shù)的解析式。

【分析】對(duì)于本題的第一問(wèn)，我們可以利用三角函數(shù)的有界性直接快速得到答案。由sin■=sin■，可得到cos■cos？漬-sin■sin？漬=0，即cos（■+？漬）=0。此時(shí)，結(jié)合本題的限制條件|？漬|≤■，于是可以得到？漬值為■。對(duì)于本題第二問(wèn)，我們只要將？漬值帶入后，利用三角函數(shù)的周期性，結(jié)合函數(shù)圖像性質(zhì)，我們即可求得具體的函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于三角函數(shù)最基礎(chǔ)的有界性、單調(diào)性、周期性等原則的掌握，是學(xué)生們解決函數(shù)最值問(wèn)題的核心，只有學(xué)生們的函數(shù)基礎(chǔ)扎實(shí)了，函數(shù)最值與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合問(wèn)題學(xué)生們才能求解的得心應(yīng)手。

（2）參數(shù)替換法求解。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生們常常會(huì)產(chǎn)生畏懼情緒，面對(duì)一長(zhǎng)串的三角函數(shù)表達(dá)式，他們常常會(huì)不知所措。對(duì)此，教師可以采用參數(shù)替換的方法，將原本的表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化和合并，從而更加容易的發(fā)現(xiàn)其中的最值求解之道。提到參數(shù)替換（換元）的方法，我們不得不再次提醒關(guān)于參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，只有定義域判斷正確，才能求出正確的值域和最值。

【例題】求解函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。

【分析】對(duì)于本題，學(xué)生們最先想到的肯定是利用和差化積公式來(lái)求解。最終可以得到y(tǒng)=[sin（x+■）+■]2-1，當(dāng)sin（x+■）=1時(shí)原三角函數(shù)可以取得最大值。但是，我們不妨嘗試令t=sinx+cosx，于是原函數(shù)可以等價(jià)成y=t+■（t∈[-■，■]），于是，只要利用二次函數(shù)的知識(shí)便可以快速得到該函數(shù)的值域。值得注意的就是函數(shù)變換中的中間量t，其范圍確定的正確性是影響本題解答的關(guān)鍵。

（3）三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合法。三角函數(shù)起源于三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系中，對(duì)于正弦、余弦等三角函數(shù)最值問(wèn)題的求解，采用單位圓的數(shù)形結(jié)合求法也是值得考慮的。在求解一些分?jǐn)?shù)型的三角函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，利用函數(shù)圖像以及函數(shù)性質(zhì)來(lái)求解往往才是出題者想要考察的重點(diǎn)。

【例題】求y=■（0

【分析】首先，我們不妨將三角函數(shù)的形式改寫成y=■。于是，該函數(shù)可以看成是兩點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)（cosx，sinx）的直線的斜率。結(jié)合定義域可知，該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍是圓曲線的上半軸，所以，欲求該函數(shù)的最小值，即是求該曲線在圓周上半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)的直線斜率的最小值。此后的工作就是利用直線與圓周相切的關(guān)系，求出該切線的斜率即是原函數(shù)的最小值。從本題的求解中，我們不難看出三角函數(shù)最值問(wèn)題與幾何圖形之間的聯(lián)系，也必須堅(jiān)持三角函數(shù)多樣化解題的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的系統(tǒng)性。

總之，作為高中數(shù)學(xué)教師，我們必須注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)的系統(tǒng)系和綜合性，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)必然會(huì)更加得心應(yīng)手。

（江蘇省射陽(yáng)縣高級(jí)中學(xué)）