趙昱

摘 要：由于解決實(shí)際問題的需要，人們引進(jìn)了微分學(xué)的概念，并對它進(jìn)行研究發(fā)展，使之成為一門系統(tǒng)化、全面化的理論。而微分學(xué)中的一個重要定理即微分中值定理是微分應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，是微分學(xué)的核心理論。微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。而且微分中值定理不是一下子全部被人類認(rèn)知，它的完整出現(xiàn)經(jīng)歷了一個過程，是眾多數(shù)學(xué)家共同研究的成果。

關(guān)鍵詞：微分；中值定理；研究探討

一、微分中值定理的歷史演變

微分中值定理是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的總稱。而且微分中值定理不是一下子全部被人類認(rèn)知，它的完整出現(xiàn)經(jīng)歷了一個過程，是眾多數(shù)學(xué)家共同研究的成果。從費(fèi)馬定理到柯西中值定理，是一個逐步完善、不斷向前發(fā)展的過程，而且隨著相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識的不斷完善，微分中值定理也隨之得以完整起來，證明方法也出現(xiàn)了多樣化。

微分中值定理，是微分學(xué)的核心定理，是研究函數(shù)的重要工具，是溝通函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁，歷來受到人們的重視。微分中值定理有著明顯的幾何意義，以拉格朗日定理為例，它表明“一個可微函數(shù)的曲線段，必有一點(diǎn)的切線平行于曲線端點(diǎn)的弦。”從這個意義上來說，人們對微分中值定理的認(rèn)識可以上溯導(dǎo)公元前古希臘時代，古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中，得到如下結(jié)論：“過拋物線弓形的頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線弓形的底”。希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物線弓形的面積。意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學(xué)》中給出處理平面和立體圖形切線的引理，其中引理基于幾何的觀點(diǎn)也敘述了同樣一個事實(shí)：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。

人們對微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開始了，按歷史順序：1637年，著名法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《求最大值和最小值的方法》中給出了費(fèi)馬定理，在教科書中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理。1691年，法國數(shù)學(xué)家羅爾在《方程的解法》一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理。1797年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究是法國數(shù)學(xué)家柯西，他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運(yùn)動的推動者，他的三部巨著《分析教程》、《無窮小計(jì)算教程概論》、《微分計(jì)算教程》，以嚴(yán)格化為其主要目標(biāo)，對微積分理論進(jìn)行了重構(gòu)。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學(xué)的核心定理。在《無窮小計(jì)算教程概論》中，柯西首先嚴(yán)格的證明了拉格朗日定理，又在《微分計(jì)算教程》中將其推廣為廣義中值定理即柯西定理，從而發(fā)現(xiàn)了最后一個微分中值定理。

二、微分中值定理的內(nèi)容

1、費(fèi)馬定理

三、結(jié)語

微分中值定理都是一元微分學(xué)和平面領(lǐng)域上的微分定理，而在實(shí)際應(yīng)用上，很多情況下都要突破這些局限，并不都是一元和平面領(lǐng)域的。為了充分利用微分中值定理這個重要工具，這就需要我們把它進(jìn)行推廣，使之也能夠在n元微分學(xué)和n維空間下得以使用，把微分中值定理推廣到n元函數(shù)和n維歐氏空間，使微分中值定理能夠更廣泛的應(yīng)用在更多的領(lǐng)域，發(fā)揮其更大的作用。

參考文獻(xiàn)：

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