吳小潔　丁君華

大凡數(shù)學(xué)學(xué)得好的人都有這樣的經(jīng)驗(yàn)：面對一個復(fù)雜的問題，若能借助直觀圖形進(jìn)行分析思考的話，問題往往能輕松得到解決。畫圖在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性不言而喻，通過畫圖，能把抽象問題具體化、直觀化，從而幫助學(xué)生理清思路，找到解決途徑。斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖像，那么就整體地把握了問題?！币虼?，從學(xué)生第一學(xué)段的學(xué)習(xí)開始，我們就嘗試有意識地滲透畫圖策略的教學(xué)，幫助學(xué)生逐步積累畫圖經(jīng)驗(yàn)，希冀為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的持續(xù)發(fā)展夯實(shí)基礎(chǔ)。

一、“畫個圖就行了?！薄醪襟w驗(yàn)畫圖的優(yōu)越性

圖形，因其直觀、形象的特點(diǎn)頗受低年級孩子的青睞。當(dāng)遇到條件相對隱含、容易混淆的數(shù)學(xué)問題，但又需要學(xué)生抓住問題本質(zhì)時，不妨引導(dǎo)學(xué)生請出圖形來幫忙，進(jìn)一步理解題意，為分析解決問題作好準(zhǔn)備。如一年級上冊“小動物排隊(duì)”的問題：

學(xué)生直接讀題后，發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)說不清、道不明，這時一個孩子迸出了這樣的想法：“畫個圖就行了！可以用一個圈來表示一個小動物……”教師因勢而導(dǎo)：“真是個好辦法！畫一畫就行啦！根據(jù)‘從前往后數(shù)，第5只是小鹿這個信息，怎么來畫出小鹿的位置？再根據(jù)‘從后往前數(shù)，第8只是小鹿又該怎樣畫出小鹿后面的小動物呢？”學(xué)生進(jìn)一步思考，紛紛畫出了能夠較好解決問題的圖。有圖如下：

由于每個孩子在畫后面的小動物時，想法不同、畫法不同，所以他們的算法也是各不相同：有5+8-1=12（只），也有5+7=12（只），還有4+1+7=12（只）。但不管是哪種算法，他們通過畫圖，都清楚地明白了：在一條隊(duì)伍中，小鹿是從前往后數(shù)的第5個，又是從后往前數(shù)的第8個，小鹿被重復(fù)數(shù)了兩次，所以求“一共有多少只小動物”，要去掉多數(shù)的一次。

蘇教版數(shù)學(xué)教材在各個年級中也螺旋式編排了相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生體驗(yàn)畫圖的優(yōu)越性。

如二年級下冊《求比一個數(shù)多（少）幾的實(shí)際問題》中，通過將兩行花片一一對應(yīng)擺放來解決小華擺了多少個，到感受用方格一格一格擺出的32格太麻煩了，將每個格子合并起來變成直條，產(chǎn)生直條圖，再到借助直條圖來感受兩個量之間的關(guān)系，讓學(xué)生通過“畫圖”操作活動，完成由“形象”的物到“半抽象”的直條圖的過渡。

《倍的認(rèn)識》一課中，不僅有實(shí)物操作、直條圖的呈現(xiàn)，更是在“認(rèn)識倍”之后的練習(xí)，出現(xiàn)了線段圖的雛形：要求學(xué)生分別量出兩條線段的長度，并說說第一條線段是第二條線段的幾倍。從根據(jù)豐富的實(shí)物圖直觀感知、直條圖表征，到線段圖提煉概括，完成了由“半抽象”的直條圖到“抽象”的線段圖的過渡。

到三年級上冊《解決兩步計算的實(shí)際問題》教學(xué)時，第一次正式要求學(xué)生補(bǔ)充完成線段圖，讓他們初步學(xué)會畫線段圖的基本方法，會用直觀簡練的線段圖來描述數(shù)學(xué)問題，并能借助其來分析和解決實(shí)際問題。

二、“圖，可以這么畫?！薄m切指導(dǎo)，積累畫圖技巧

我們在實(shí)際教學(xué)中往往會發(fā)現(xiàn)：在解決容易的問題時，孩子們不愿意畫圖來分析，遇到困難時，常常想到畫圖來思考，但苦于平時沒有掌握基本的畫圖技巧，就沒法用起來。因此，教師要用心呵護(hù)學(xué)生畫圖意識的萌芽，并給予適切的畫圖指導(dǎo)。

1.及時指導(dǎo)，適合即可

學(xué)生剛萌發(fā)畫圖的意識時，我們對于他們的畫圖要求不可過高，可以不要求他們所畫線段圖與教材中呈現(xiàn)的一模一樣，也可以暫時不追求圖的美觀與比例的準(zhǔn)確性，只要基本符合問題的數(shù)量關(guān)系即可。

在面對具體的數(shù)學(xué)問題時，由于每個孩子理解水平的不同，我們要因材施教，鼓勵孩子用便于自己理解、能夠表達(dá)的方式來畫圖表征題意。如三年級的一個問題：“一本《新華字典》9元6角，小華每天存3角，存多少天才能買一本《新華字典》？”孩子們畫出了三種圖，展示了他們個性化的思考與表達(dá)。在此過程中，重要的是讓學(xué)生充分感受到用畫圖的方法整理信息對于解決問題的價值，體會畫圖是解決問題的一種常用策略。

當(dāng)然，教師作為線段圖構(gòu)造的示范者和指導(dǎo)者，我們要幫助學(xué)生獲得畫線段圖的基本方法與技能，使他們學(xué)會用線段圖表示一些基本的數(shù)量關(guān)系。如學(xué)習(xí)“倍”的知識，學(xué)生第一次接觸線段圖，他們涌動著畫圖的熱情，教師就應(yīng)順勢啟發(fā)學(xué)生思考：如何恰當(dāng)?shù)卮_定“一個單位的長度”——畫得太長，接下來3個單位的量不夠畫；畫得太短，看不清楚。對于如何表示3個單位長度，盡管學(xué)生年齡小，剛開始也會畫得不太標(biāo)準(zhǔn)，但教師的示范一定要到位，關(guān)系一定要厘清：兩條（或三條）線段的左端要對齊，便于比較；倍比關(guān)系的實(shí)際問題中，通常先畫單位“1”的量；行程問題中要根據(jù)數(shù)量的大小，確定1格的長短等等。這些技巧在教學(xué)中逐步地相機(jī)滲透，這樣將更有利于提高學(xué)生畫圖表示題意的準(zhǔn)確性。

2.階段引導(dǎo)，適當(dāng)規(guī)范

當(dāng)學(xué)生在第一學(xué)段接觸用線段圖來表達(dá)題意時，肯定會遇到很多問題，特別是兩個量存在相差關(guān)系或倍數(shù)關(guān)系時，該先畫哪個量，再畫哪個？常常，學(xué)生會有一個慣性的認(rèn)識，哪個已知，就先畫。如相差關(guān)系的例子：

例（1）：①一件上衣45元，一條褲子比一件上衣貴12元，一條褲子多少錢？

②一件上衣45元，比一條褲子貴12元，一條褲子多少錢？

像例（1）這樣兩個量相差關(guān)系的實(shí)際問題，孩子們往往會受“貴”這個字的負(fù)面影響，兩題都列式為45+12=57（元）。于是試著讓他們畫圖思考，他們畫出的圖是這樣的（圖1）：

于是，有些教師就想到，引導(dǎo)孩子在第②小題畫圖之前，把“一件上衣比一條褲子貴12元”轉(zhuǎn)化成“一條褲子比一件上衣便宜12元”，再來畫圖。其實(shí)，會先轉(zhuǎn)化后畫圖的孩子，思維水平肯定是比較高的，對于另一部分學(xué)生，我們?nèi)绾巫屗麄冋业交镜漠媹D方法呢？不妨在適量的看圖、畫圖練習(xí)后，幫助他們進(jìn)行歸納：兩個量比多少的實(shí)際問題，總是以某個量為標(biāo)準(zhǔn)量，另外一個量去和這個標(biāo)準(zhǔn)比較。因此，我們通常可以先畫標(biāo)準(zhǔn)量，再與之比較，去畫另一個量（如圖2）。

又如倍數(shù)關(guān)系的例子：

例（2）：①白兔拔了21個蘿卜，灰兔拔的是白兔的3倍?；彝冒瘟硕嗌賯€？

②白兔拔了21個蘿卜，白兔拔的是灰兔的3倍。灰兔拔了多少個？

一般實(shí)際問題在畫圖時，可以先畫已知量，再畫未知量。但當(dāng)學(xué)生遇到如例（2）這類問題時，有的教師就引導(dǎo)他們先畫一份數(shù)，再畫幾份數(shù)。這種方法確實(shí)可行。

其實(shí)，如果我們可以把相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系兩者聯(lián)系著來觀察，歸納出這兩類問題畫圖方法的相同處。不管是相差關(guān)系還是倍數(shù)關(guān)系，都是兩個量比較的一種結(jié)果，只是比較的結(jié)果不同。由于都表示兩個量在比較，因此通常都用兩條線段來畫；兩個量在比較，都是先確定一個量是標(biāo)準(zhǔn)，另一個量去與之相比較，所以不管是相差關(guān)系的實(shí)際問題，還是倍數(shù)關(guān)系的實(shí)際問題，我們通常都先畫標(biāo)準(zhǔn)量。這樣，當(dāng)?shù)谝粚W(xué)段的孩子遭遇“一個數(shù)的幾倍多（少）幾的實(shí)際問題”順向或逆向的問題，就找到了相對統(tǒng)一的畫圖技巧，會覺得畫圖再也不是那么變化多端的事情了。

在長期規(guī)范的畫圖指導(dǎo)之后，對于有些簡單的、學(xué)生容易想通的問題，也可以讓他們在腦中畫圖，然后根據(jù)腦中的圖來解決問題，從真正意義上提高學(xué)生的解題能力。這是畫圖的高層境界，也是我們追求的目標(biāo)。

三、“你能看懂這圖嗎？”——在畫圖與看圖間轉(zhuǎn)換，促進(jìn)思考

通過畫圖，能把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。但有的學(xué)生畫了圖，卻依然看不出隱含的數(shù)量關(guān)系。其實(shí)，不能為了畫圖而畫圖，畫圖的目的在于促進(jìn)學(xué)生思考，使復(fù)雜變得簡明，內(nèi)隱變得形象。這就需要教師在畫圖的同時關(guān)注學(xué)生的讀圖分析能力，將學(xué)習(xí)的視角在畫圖與看圖間靈活轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生積累看圖的經(jīng)驗(yàn)。

如：一件上衣45元，一條褲子比一件上衣貴12元，一套衣服多少錢？學(xué)生在解答這題時，只用了一步：45+12=57（元）。有位教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯誤解答后，指導(dǎo)孩子畫圖如下：

讓學(xué)生試著看圖分析題意，說說已知什么條件，要求什么問題，要怎么思考。當(dāng)時，老師以為是學(xué)生沒有看清問題?？墒?，他們在分析時依然堅持自己的算式是正確的。納悶之下，教師分小步引導(dǎo)：在圖中，找一找你算式中的每個數(shù)分別指的是線段圖中的哪一部分？分別表示什么？學(xué)生的困惑終于在教師面前顯露出來：原來他們認(rèn)為45元是上衣的價格，12元是褲子的一部分價格，所以合起來就是一套衣服的價格，這說明他們看圖分析的經(jīng)驗(yàn)是比較薄弱的。在一步計算的時候，由于問題簡單，往往模仿列式，并沒真正理解45+12的意義。因此，教師在教學(xué)一步計算的問題時，可以適當(dāng)出一些根據(jù)算式說說算式中每個數(shù)在線段圖中所表示的部分及其意義，弄清45元表示上衣和褲子相同的一部分錢，12元表示褲子比上衣多出的另一部分，兩部分合起來就是上衣的價錢。

又如，三年級上冊在學(xué)習(xí)《長方形和正方形的周長》后，學(xué)生共同解決一個問題：“在一張長7厘米、寬5厘米的長方形紙張中，剪下一個最大的正方形。正方形的邊長是（ ）厘米，周長是（ ）厘米?！彼麄兺ㄟ^畫圖，回答第一個問題基本不存在障礙，但是面對第二個問題時卻不知所措。原以為是學(xué)生不知道求什么圖形的周長，后來才發(fā)現(xiàn)，他們看著自己畫的圖，也不知道是求哪一部分的長度。這說明學(xué)生對在復(fù)雜情境中找到所要求的問題還是存在一定困難。因此，有必要引導(dǎo)他們理解周長的概念：“什么是正方形的周長？在圖中指的是哪一部分線段的長度？用彩筆描一描?！睂W(xué)生在動手描的過程中，清晰了概念，厘清了問題。

四、“你是怎么解決這個問題的？”——在反思中提升畫圖經(jīng)驗(yàn)

畫圖經(jīng)驗(yàn)的積累，需要學(xué)生對解題方法進(jìn)行多次的感悟、優(yōu)化、抽象與概括，在解決問題過程中用畫圖經(jīng)驗(yàn)不斷進(jìn)行積淀、內(nèi)化、總結(jié)與升華，同時體會畫圖的價值。

如：三年級上冊《用兩步連乘解決實(shí)際問題》中有這樣一題：

用兩步連乘的方法解決實(shí)際問題，一個不可避免的問題是：從三個已知數(shù)量中任選兩個數(shù)量相乘，再乘第三個數(shù)量，這樣的解題策略是正確的，它既能用“假設(shè)法”來闡述道理，也符合“乘法交換律、結(jié)合律”。無論有沒有上過這節(jié)課，在解決類似的問題時，不少學(xué)生都會選用這樣的解題策略，雖然他們不一定都能說清其中的道理。因此孩子們在解答這題時列出了如下的算式：

（1）8×5=40（臺），40×4=160（臺）

（2）8×4=32（臺），32×5=160（臺）

（3）5×4=20（天），8×20=160（臺）

追尋其每步求的是什么時，雖有少數(shù)學(xué)生能用語言清晰地表達(dá)，但多數(shù)停留在對數(shù)據(jù)特征“跟著感覺走”的表面化的猜想上，并未真正從數(shù)量關(guān)系的角度去分析問題。因?yàn)檫@里涉及的量并不是“單一”關(guān)聯(lián)的量（如，“每人裝8臺電腦”），而是一個“雙關(guān)聯(lián)”的量（如“每人每天裝8臺電腦”）。由于第一次涉及雙關(guān)聯(lián)量要直接以語言敘述來表述清楚，對于三年級的學(xué)生來說，思維水平的發(fā)展還未能達(dá)到這樣的抽象水平，的確存在著困難。這就要我們抓住乘法的意義，一步步引導(dǎo)學(xué)生：“如果用符號‘□來表示一人一天裝8臺電腦，你能用圖來表示8×5的意思嗎？這一步求的是什么？第二步算式表示什么？接著自己先畫一畫，再說一說好嗎？”

孩子們在老師提示下，試著畫出了上面的圖。看著畫出的方格示意圖，使得雙關(guān)聯(lián)的相乘的意義，變得形象、直觀，易于理解。更加意外的是，對于第（3）種解答，班里的學(xué)生竟然能畫出下面的圖，用假設(shè)的思路來解釋自己的算理：4個人干5天的活，假如讓一個人去做，就相當(dāng)于一個人做5×4=20（天）。

像這樣，讓孩子在“欲求而不得”的情況下，借助線段圖來尋求突圍，在解釋、反思時，自主“補(bǔ)”出圖，來解釋、驗(yàn)證自己的思路，才能真正發(fā)揮畫圖的效用。

畫圖，是一種重要的學(xué)習(xí)策略，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。”若能從第一學(xué)段的教學(xué)起，遇到問題，教師就鼓勵學(xué)生自己畫出圖思考一番，讓他們尋找并不斷體驗(yàn)“當(dāng)數(shù)形結(jié)合便能豁然開朗”的樂趣，久之，他們自然就積淀了豐富的畫圖經(jīng)驗(yàn)。這樣的經(jīng)驗(yàn)積累，能讓學(xué)生主動溝通數(shù)和形的密切聯(lián)系，運(yùn)用直觀的形啟迪抽象的數(shù)，在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相互滲透中，融會貫通，應(yīng)用自如。

（吳小潔、丁君華，無錫市玉祁中心小學(xué)，214100）

責(zé)任編輯：宣麗華