何廣文

新課標指出“幾何發(fā)展的根本出路是代數(shù)化，引入向量研究是幾何代數(shù)化的需要”.隨著平面法向量這個概念在新教材的引入，應用平面法向量解決立體幾何中空間線面位置關(guān)系的證明、空間角和距離的求解等高考熱點問題的方法更具靈活性和可操作性，其主要特點是用代數(shù)方法解決幾何問題，無需考慮如何添加輔助線，避開抽象的幾何推理和繁雜的幾何計算，使解題更顯簡潔明了.但在現(xiàn)行教材中，對法向量只是作了一個簡單的介紹，沒有它在解題當中的具體應用.下面我僅就法向量在立體幾何有關(guān)距離問題中的應用舉例說明.

一、利用法向量求點到平面的距離

解首先把要求的線線距離轉(zhuǎn)化為求線面距離再把它轉(zhuǎn)化為求點面距離.具體轉(zhuǎn)化如下：過其中一條直線作平面使這一平面與另一條直線平行，這樣問題就轉(zhuǎn)化為求直線到平行平面的距離問題了，我們利用前面例2的方法使問題得到了解決.連接AB1，DC1，由AB1∥DC1得直線DC1∥平面AD1B1，這樣兩異面直線D1A和DC1的距離就轉(zhuǎn)化為求直線DC1到與它平行平面AD1B1的距離了，而直線DC1到與它平行的平面AD1B1的距離又等于點D到平面AD1B1的距離.所以設平面AD1B1的法向量為n=（x，y，z），建立如圖所示的空間直角坐標系D1-xyz，由例1的解題過程得到直線D1A與DC1的距離為43.

總之，利用法向量在解立體幾何中的距離問題時，首先要建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出它們相關(guān)的點的坐標以及向量的坐標，再由法向量與平面內(nèi)兩相交的兩個向量的數(shù)量積等于0，建立等量關(guān)系，取不定方程組的一組解，寫出法向量，最后用平面外一點到平面的距離公式d=|PA|·cos=PA·nn求出距離.