楊梅玲

摘 要：美國(guó)數(shù)學(xué)家B·R蓋爾鮑姆說:“冒著過于簡(jiǎn)單化的風(fēng)險(xiǎn),我們可以撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談,數(shù)學(xué)由兩大類證明與反例組成,而數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)也朝著兩個(gè)目標(biāo)——提出證明和構(gòu)造反例。”可見反例在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)； 反例教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-3315（2013）03-020-002

在數(shù)學(xué)史上, 恰當(dāng)?shù)姆蠢彩峭苿?dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。常常有這樣的情形,一個(gè)重要的猜想數(shù)學(xué)家很長(zhǎng)時(shí)間沒能證明它，結(jié)果有人舉出一個(gè)反例否定了這個(gè)猜想,使問題得到了解決。

1644年,法國(guó)修道士馬林·默森宣稱MP=2P-1型的數(shù),當(dāng)P=2﹑3﹑5﹑7﹑13﹑17﹑31﹑67﹑127﹑257時(shí)都是素?cái)?shù)(稱為默森素?cái)?shù)).其實(shí)它只驗(yàn)算了前面的七個(gè)。1903年美國(guó)數(shù)學(xué)家科爾作了一次無聲的學(xué)術(shù)報(bào)告.他在黑板上先算出267-1,接著又把193707721×761838257287用豎式算了一次,兩個(gè)結(jié)果完全相同,他沒有說一句話,就回到了自己的座位上,會(huì)場(chǎng)上響起了暴風(fēng)雨般的掌聲,因?yàn)橐粋€(gè)反例糾正了人們兩百多年的誤解。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,恰時(shí)恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例,不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念﹑性質(zhì)﹑法則和定理的理解,而且可以培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。本文試從以下幾個(gè)方面略陳淺見。

一﹑利用反例培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

在教學(xué)中,我們應(yīng)重視對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)﹑基本技能的培養(yǎng)?；A(chǔ)知識(shí)教學(xué)主要是指概念教學(xué)和公式﹑定理教學(xué)等。其中概念是數(shù)學(xué)最基本的東西,它所描述的是事物的本質(zhì)屬性,是數(shù)學(xué)的基石。本質(zhì)不清,不注重基石的作用,就很難真正意義上的理解數(shù)學(xué),更不要想用好它或作進(jìn)一步研究。因此概念教學(xué)極為重要，對(duì)概念教學(xué)僅從感性認(rèn)識(shí)上理解是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須要揭示出它的內(nèi)涵和外延。而對(duì)于一些相近易混的概念,通過構(gòu)造反例,往往能夠從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí),以便能夠更好的理解概念。而對(duì)于公式﹑定理教學(xué)也是如此,學(xué)生往往會(huì)對(duì)一些關(guān)鍵詞語認(rèn)識(shí)不足，對(duì)所要求的條件理解不全,這時(shí)反例也能起到正面強(qiáng)調(diào)所起不到的強(qiáng)化作用。

例1:棱柱的定義

北師版必修3第一章《簡(jiǎn)單幾何體》一節(jié)中,棱柱是這樣定義的:有兩個(gè)面相互平行,其余各個(gè)面都是四邊形, 并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行, 由這些面圍成的幾何體叫棱柱。

有的同學(xué)認(rèn)為這樣的敘述啰嗦,建議改為:有兩個(gè)面相互平行,其余各個(gè)面都是平行四邊形”的幾何體。

要糾正這種認(rèn)知,給出反例如圖1就夠了。

學(xué)生通過這個(gè)圖形可以深化對(duì)棱柱本質(zhì)特征的

認(rèn)識(shí)。

例2:函數(shù)的定義

在北師版必修1《函數(shù)》一章中講到了函數(shù)的概念,多數(shù)學(xué)生在剛接觸函數(shù)概念的時(shí)候,認(rèn)為此概念較抽象,理解較困難,在此利用如下反例便可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解。

下列圖形是函數(shù)圖象嗎?(y關(guān)于x的函數(shù)?)

圖2

例3:判斷

等比數(shù)列{an}共有3n項(xiàng),其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n也是等比數(shù)列”。

對(duì)于該命題多數(shù)學(xué)生認(rèn)為是正確的。此時(shí)我們可以給出如下反例：設(shè)數(shù)列{an}為1﹑-1﹑1﹑-1﹑1﹑-1﹑1﹑-1﹑1…取n=2,則S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0，顯然不是等比數(shù)列。

借此我們要強(qiáng)調(diào)：“公式、性質(zhì)本身都很重要，但我們更要注意到它的適用范圍”。

二、利用反例培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，解決數(shù)學(xué)問題的思維過程也應(yīng)是縝密的。教學(xué)中我們可以精選反例，加之我們精彩的講授與學(xué)生的積極參與，就能提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)，激勵(lì)學(xué)生上進(jìn)的欲望。當(dāng)然我們也需要引導(dǎo)學(xué)生從反例的線索引申開去，創(chuàng)造性的認(rèn)識(shí)反例所反映的一般情形，獨(dú)立發(fā)表自己的見解。

例4:多個(gè)單調(diào)區(qū)間中是用“和”還是用“∪”連接

教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一個(gè)函數(shù)的多個(gè)單調(diào)區(qū)間求出后，總結(jié)時(shí)到底用“和”還是用“∪”連接，是學(xué)生最易犯的錯(cuò)誤之一。要糾正這種問題，請(qǐng)看下面的反例：

我們知道函數(shù)f(x)=■在(-∞,0)和(0,+∞)上分別是減函數(shù)，但不能說在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)。假如說函數(shù)f(x)=■在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上為減函數(shù)，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知，在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）任意取x1，x2，且x1＜x2,當(dāng)x1∈(-∞,0)，x2∈(0,+∞)時(shí)，應(yīng)有f(x1)＞f(x2)，而事實(shí)上f(x1)＜f(x2)如圖3：

由此我們可以抓住時(shí)機(jī)，剖析其原因，并加以總結(jié)，可有效地提高學(xué)生的思想認(rèn)識(shí)，預(yù)防同類錯(cuò)誤再發(fā)生，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性都有著重要的意義。

三、利用反例培養(yǎng)學(xué)生的敏捷性

我們知道凡從正面肯定不易而從反面否定較易的時(shí)候，均可通過構(gòu)造反例來解決。

例5：已知集合A=x f(x)=0,B=x g(x)=0,C=x f(x)g(x)=0則必有（ ）

A、C=AYNB、C=AIBC、C?哿AYB D、C?哿AIB

本題大部分同學(xué)都選擇了A，此時(shí)只需舉一反例便可否定它。如：A={xx+1=0=-1，B=x■=0=1，AYB=-1,1則C=x(x+1)■=0=1，此時(shí)C≠AYB。

例6：（08年全國(guó)Ⅱ,理工農(nóng)醫(yī)類22題）

設(shè)函數(shù)f(x)=■

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間

（2）如果對(duì)于任何x≥0都有f(x)≤ax，求a的取值范圍。

本題第二問我們可以這樣分析：

令g(x)=ax-f(x)則g'(x)=a-■=a-■+■

=3(■-■)2+a-■

故當(dāng)a≥■時(shí)，g'(x)≥0，又g(0)=0，所以當(dāng)a≥0時(shí)，g(x)≥g(0)，即f(x)≤ax

但當(dāng)0＜a＜■及a≤0時(shí)，不易正面證明，此時(shí)便可通過構(gòu)造如下反例來說明：

當(dāng)0＜a＜■時(shí)有f(■)=■=■，0＜a·■＜■=■，顯然4+■＜■，所以f(■)＞a■

當(dāng)a≤0時(shí)有f(■)=■＞0≥a·■

所以構(gòu)造反例不僅可以速解選擇題，也可速解解答題，尤其是在否定有關(guān)命題時(shí)更有效。

當(dāng)然在教學(xué)中，對(duì)反例運(yùn)用要精選，做到真實(shí)、生動(dòng)，更要有典型性、針對(duì)性，才能發(fā)揮它的有效性。

參考文獻(xiàn)：

羅曾儒《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》