趙媛 崔占豪

摘要：Matlab是一款功能強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件，本文分別舉例介紹了它的繪圖、數(shù)值計(jì)算以及符號(hào)計(jì)算功能在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用。利用Matlab輔助教學(xué)，可以使數(shù)學(xué)知識(shí)直觀生動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，更有助于提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：Matlab 數(shù)學(xué)分析 繪圖功能 數(shù)值計(jì)算 符號(hào)計(jì)算

數(shù)學(xué)分析是理科院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)其他專業(yè)課程提供了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，內(nèi)容抽象，過(guò)于注重?cái)?shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，不易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。Matlab是一款功能強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件，它集圖形處理、數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算等功能于一身，語(yǔ)言簡(jiǎn)單，界面友好，擴(kuò)充能力強(qiáng)，在各國(guó)高校和科學(xué)工程領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。利用Matlab軟件輔助數(shù)學(xué)分析教學(xué)，可使數(shù)學(xué)分析抽象的理論可視化，加深學(xué)生對(duì)基本概念及理論的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面舉例介紹其在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的一些應(yīng)用。

1 Matlab繪圖功能在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，常常遇到立體圖形，借助Matlab繪圖功能，可以快速繪出準(zhǔn)確美觀的圖形，既能提高教學(xué)效率，省時(shí)省力，又能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

例1 求螺旋線x=2costy=2sintz=3t （0≤t≤6π）的弧長(zhǎng)。

題中給出了螺旋線的參數(shù)方程，在求弧長(zhǎng)之前，我們先模擬出這條空間曲線，這樣做可以使學(xué)生們對(duì)螺旋線有深刻的認(rèn)識(shí)，并加強(qiáng)他們的空間想象能力。

Matlab編程如下：

ezplot3（′2*cos（t）′，′2*sin（t）′，′3*t′，[0，6*pi]，′animate′）

相應(yīng)的螺旋線可用動(dòng)畫(huà)效果來(lái)展示，如圖1所示。

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例2 繪制馬鞍面z=xy

Matlab編程如下：

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相應(yīng)的馬鞍面如圖2所示。從圖中清晰看到，（0，0，0）點(diǎn)是函數(shù)z=xy的穩(wěn)定點(diǎn)，但它卻不是函數(shù)的極值點(diǎn)。這在多元函數(shù)內(nèi)容中，可以作為反例來(lái)幫助學(xué)生理解極值點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)的關(guān)系。

例3 求由圓x2+（y-3）2≤1繞x軸旋轉(zhuǎn)一圈所得環(huán)狀立體的體積。

在三維空間中該圓的參數(shù)方程為x=costy=3+sintz=0，假設(shè)該圓繞x軸旋轉(zhuǎn)θ，新得到的圓與最初的圓的關(guān)系為x′=xy′=ycosθz′=ysinθ

Matlab編程如下：

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本程序形象生動(dòng)地演示了圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一圈形成環(huán)狀立體的過(guò)程，并且從圖中清晰看到，該環(huán)狀立體形狀類似輪胎。另外，還可以用Matlab軟件對(duì)圖形進(jìn)行任意角度的旋轉(zhuǎn)，達(dá)到更加直觀的視覺(jué)效果。

2 Matlab數(shù)值計(jì)算功能在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)分析內(nèi)容抽象化、理論化，許多嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念令學(xué)生迷惑，難以接受，如數(shù)列極限的ε-N定義，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性定義等。針對(duì)上述問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)要盡量結(jié)合概念的研究背景，講清楚概念的來(lái)龍去脈，除此之外，還可以利用Matlab軟件的數(shù)值計(jì)算功能，把概念案例化、具體化，讓學(xué)生深刻感受到概念的本質(zhì)和精髓。

例4 驗(yàn)證■■=0

令an=■，我們先計(jì)算出當(dāng)n逐漸增大時(shí)，an的具體數(shù)值。

Matlab編程如下：

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不妨令n=10，在主命令窗口執(zhí)行程序shulie（10），就能得到對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。結(jié)果如表1所示。

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從中看到，n越大，■越小，越靠近0?？梢愿惺艿?，數(shù)列{an}存在極限，其實(shí)就是隨著n的無(wú)限增大，an無(wú)限地接近某一常數(shù)a，或者說(shuō)，當(dāng)n充分大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an與常數(shù) a之間的距離可以任意小。

例5 判斷級(jí)數(shù)■■和■■的斂散性。

與初等數(shù)學(xué)不同，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)研究無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加的情況，它是否存在“和”？如果存在，“和”等于多少？這就涉及到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題，可以通過(guò)“有限項(xiàng)和”來(lái)逐步逼近“無(wú)限項(xiàng)和”。令Sn=■■，Tn=■■，先來(lái)看看前n項(xiàng)和的變化情況。

Matlab編程如下：

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結(jié)果如表2所示。從中可以看到，這兩個(gè)級(jí)數(shù)有本質(zhì)區(qū)別。隨著n的無(wú)限增大，■■的前n項(xiàng)和Sn無(wú)限接近常數(shù)1.6449，是收斂的；而■■的前n項(xiàng)和Tn無(wú)限增大，不存在極限，是發(fā)散的。

3 Matlab符號(hào)計(jì)算功能在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

利用Matlab軟件的符號(hào)工具箱，我們可以輕松地完成數(shù)學(xué)分析中各種計(jì)算，操作簡(jiǎn)單，使用方便，可視效果好，既把學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解放出來(lái)，提高學(xué)習(xí)興趣，又能增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用軟件的能力。

例6 求極限■■和■■

Matlab編程如下：

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輸出結(jié)果為1和0

例7 求y=sin（x2）的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

Matlab編程如下：

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輸出結(jié)果為：2*cos（x^2）*x和-4*sin（x^2）*x^2+2*cos（x^2）

例8 求不定積分■tan■xdx和定積分■■dx。

Matlab編程如下：

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輸出結(jié)果為：tan（x）-x和1/4*pi

綜上所述，利用Matlab輔助教學(xué)，不僅有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，加強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，更有助于學(xué)生提高動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。Matlab強(qiáng)大的繪圖、數(shù)值計(jì)算以及符號(hào)計(jì)算功能，使得它成為輔助數(shù)學(xué)分析教學(xué)的有力工具。

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