楊虎成+熊羆

在北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材第二章中有兩節(jié)《何時(shí)獲得最大利潤(rùn)》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數(shù)求最大值的問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下幾個(gè)誤區(qū)。

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場(chǎng)要建一個(gè)矩形的養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，雞場(chǎng)的一邊靠墻，（墻長(zhǎng)20米），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時(shí)，S的值最大？

錯(cuò)解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當(dāng)x=25時(shí)，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=40時(shí)，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評(píng)：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯(cuò)誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒(méi)有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會(huì)取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對(duì)稱(chēng)軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時(shí)，S會(huì)有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開(kāi)口向上沒(méi)有最大值

例2.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤(rùn)y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）。（1）分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專(zhuān)業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲得的最大利潤(rùn)是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專(zhuān)業(yè)戶種植樹(shù)木和花卉能獲得的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，其中投資x萬(wàn)元種植樹(shù)木，則投資（8-x）萬(wàn)元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當(dāng)x=2時(shí)，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時(shí)，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=8時(shí)，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專(zhuān)業(yè)戶能獲得的最大利潤(rùn)是32萬(wàn)元。

點(diǎn)評(píng)：此題第（2）問(wèn)，很多學(xué)生會(huì)說(shuō)a=0.5，二次函數(shù)開(kāi)口向上，應(yīng)該沒(méi)有最大值，其實(shí)不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對(duì)稱(chēng)軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時(shí)），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時(shí)，w有最大值16；在對(duì)稱(chēng)軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時(shí)），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時(shí)，w有最大值32，通過(guò)比較16與32，我們得出最大值為32，此時(shí)自變量x=8。

總述：

在利用二次函數(shù)來(lái)求最大值問(wèn)題時(shí)，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開(kāi)口方向。①當(dāng)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時(shí)（北師大九年級(jí)下教材中兩節(jié)均為此種類(lèi)型），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；②當(dāng)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時(shí)（如例1），要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來(lái)確定最大值；③當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上（如例2）時(shí)，也有最大值，直接比較兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學(xué)）

編輯 薄躍華

在北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材第二章中有兩節(jié)《何時(shí)獲得最大利潤(rùn)》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數(shù)求最大值的問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下幾個(gè)誤區(qū)。

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場(chǎng)要建一個(gè)矩形的養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，雞場(chǎng)的一邊靠墻，（墻長(zhǎng)20米），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時(shí)，S的值最大？

錯(cuò)解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當(dāng)x=25時(shí)，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=40時(shí)，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評(píng)：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯(cuò)誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒(méi)有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會(huì)取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對(duì)稱(chēng)軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時(shí)，S會(huì)有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開(kāi)口向上沒(méi)有最大值

例2.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤(rùn)y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）。（1）分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專(zhuān)業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲得的最大利潤(rùn)是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專(zhuān)業(yè)戶種植樹(shù)木和花卉能獲得的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，其中投資x萬(wàn)元種植樹(shù)木，則投資（8-x）萬(wàn)元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當(dāng)x=2時(shí)，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時(shí)，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=8時(shí)，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專(zhuān)業(yè)戶能獲得的最大利潤(rùn)是32萬(wàn)元。

點(diǎn)評(píng)：此題第（2）問(wèn)，很多學(xué)生會(huì)說(shuō)a=0.5，二次函數(shù)開(kāi)口向上，應(yīng)該沒(méi)有最大值，其實(shí)不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對(duì)稱(chēng)軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時(shí)），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時(shí)，w有最大值16；在對(duì)稱(chēng)軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時(shí)），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時(shí)，w有最大值32，通過(guò)比較16與32，我們得出最大值為32，此時(shí)自變量x=8。

總述：

在利用二次函數(shù)來(lái)求最大值問(wèn)題時(shí)，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開(kāi)口方向。①當(dāng)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時(shí)（北師大九年級(jí)下教材中兩節(jié)均為此種類(lèi)型），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；②當(dāng)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時(shí)（如例1），要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來(lái)確定最大值；③當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上（如例2）時(shí)，也有最大值，直接比較兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學(xué)）

編輯 薄躍華

在北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教材第二章中有兩節(jié)《何時(shí)獲得最大利潤(rùn)》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數(shù)求最大值的問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下幾個(gè)誤區(qū)。

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場(chǎng)要建一個(gè)矩形的養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，雞場(chǎng)的一邊靠墻，（墻長(zhǎng)20米），另三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時(shí)，S的值最大？

錯(cuò)解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當(dāng)x=25時(shí)，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=40時(shí)，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評(píng)：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯(cuò)誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒(méi)有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會(huì)取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對(duì)稱(chēng)軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時(shí)，S會(huì)有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開(kāi)口向上沒(méi)有最大值

例2.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利潤(rùn)y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤(rùn)y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元）。（1）分別求出利潤(rùn)y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專(zhuān)業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲得的最大利潤(rùn)是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專(zhuān)業(yè)戶種植樹(shù)木和花卉能獲得的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，其中投資x萬(wàn)元種植樹(shù)木，則投資（8-x）萬(wàn)元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當(dāng)x=2時(shí)，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時(shí)，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=8時(shí)，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專(zhuān)業(yè)戶能獲得的最大利潤(rùn)是32萬(wàn)元。

點(diǎn)評(píng)：此題第（2）問(wèn)，很多學(xué)生會(huì)說(shuō)a=0.5，二次函數(shù)開(kāi)口向上，應(yīng)該沒(méi)有最大值，其實(shí)不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對(duì)稱(chēng)軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時(shí)），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時(shí)，w有最大值16；在對(duì)稱(chēng)軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時(shí)），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時(shí)，w有最大值32，通過(guò)比較16與32，我們得出最大值為32，此時(shí)自變量x=8。

總述：

在利用二次函數(shù)來(lái)求最大值問(wèn)題時(shí)，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開(kāi)口方向。①當(dāng)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時(shí)（北師大九年級(jí)下教材中兩節(jié)均為此種類(lèi)型），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；②當(dāng)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時(shí)（如例1），要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來(lái)確定最大值；③當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上（如例2）時(shí)，也有最大值，直接比較兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學(xué)）

編輯 薄躍華