靳 暢，周 鋐，慕 樂

(同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心，上海 201804)

前言

近年來，對(duì)于動(dòng)力總成系統(tǒng)振動(dòng)噪聲的研究及優(yōu)化日趨成熟，動(dòng)力總成對(duì)車內(nèi)振動(dòng)噪聲的貢獻(xiàn)得到了有效控制。這使得其它振動(dòng)源所引起的車內(nèi)振動(dòng)噪聲顯得突出，其中路面激勵(lì)是重要的一方面。在粗糙路面激勵(lì)下，輪胎和車輪既會(huì)衰減路面激勵(lì)能量又能產(chǎn)生新的激勵(lì)，從而成為新的激勵(lì)源。路面通過接觸面對(duì)輪胎不斷進(jìn)行局部壓縮和釋放，同時(shí)不斷地發(fā)生滾擠和釋放，共同形成包括垂向力Fz、側(cè)向力Fy、縱向力Fx、翻轉(zhuǎn)力矩Mx、牽引力矩My和回正力矩Mz的車輪軸頭六分力載荷，引起車內(nèi)的振動(dòng)和噪聲。測(cè)量軸頭載荷對(duì)車內(nèi)振動(dòng)噪聲的預(yù)測(cè)和控制具有重要的作用［1－2］。目前普遍采用車輪力傳感器獲取軸頭載荷信號(hào)，但是設(shè)備價(jià)格十分昂貴，安裝較復(fù)雜，需要輪輞適配等裝置。本文中嘗試采用基于頻響函數(shù)載荷識(shí)別方法，結(jié)合剛體動(dòng)力學(xué)理論來間接估計(jì)軸頭力載荷。

1 基本理論

本文中闡述了頻響函數(shù)法估計(jì)車輪軸頭六分力的基本理論。提出頻響函數(shù)法識(shí)別車輪軸頭載荷，借助于剛體動(dòng)力學(xué)的基本理論，采用附加剛體質(zhì)量的方法推導(dǎo)出響應(yīng)點(diǎn)到軸頭六分力的頻響函數(shù)，為實(shí)車工況下車輪軸頭載荷的估計(jì)提供理論依據(jù)。

1.1 頻響函數(shù)法載荷識(shí)別

國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)頻響函數(shù)法識(shí)別載荷的研究已進(jìn)行多年。文獻(xiàn)［3］中首先采用頻域法通過加速度響應(yīng)識(shí)別了直升機(jī)主軸的動(dòng)態(tài)載荷;文獻(xiàn)［4］中用動(dòng)應(yīng)變測(cè)量作為已知信息并使用頻域方法識(shí)別動(dòng)載荷，建立了較系統(tǒng)的頻域識(shí)別方法;文獻(xiàn)［5］中指出測(cè)量響應(yīng)的數(shù)目超過待識(shí)別載荷數(shù)目能夠在一定程度上減輕頻響函數(shù)病態(tài)和平滑濾掉噪聲產(chǎn)生的誤差;文獻(xiàn)［6］中研究了載荷位置未知情況下的載荷識(shí)別問題，采用的是頻響函數(shù)直接求逆法，在求逆過程中利用了奇異值分解技術(shù);文獻(xiàn)［7］中用頻域方法識(shí)別直升機(jī)的動(dòng)載荷;文獻(xiàn)［8］中將隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法做了逆向推廣，用確定性方式求解了平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的荷載譜識(shí)別問題;文獻(xiàn)［9］中提出改進(jìn)的頻響函數(shù)矩陣求逆算法使頻響函數(shù)由長(zhǎng)方陣改為簡(jiǎn)單的方陣形式，再將計(jì)算出的激勵(lì)力求平均;文獻(xiàn)［10］中用逆虛擬激勵(lì)法識(shí)別隨機(jī)載荷譜并用試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

對(duì)于振動(dòng)噪聲的研究，在車輪軸頭載荷估計(jì)中，可以將懸架系統(tǒng)視為多輸入多輸出的線性系統(tǒng)［11］，輸入f是車輪作用在軸頭的力載荷，輸出X是懸架側(cè)的振動(dòng)響應(yīng)，懸架系統(tǒng)的特性［H(ω)］是懸架側(cè)振動(dòng)響應(yīng)到軸頭載荷的頻率響應(yīng)函數(shù)(FRF)。對(duì)于線性時(shí)不變的系統(tǒng)，如果輸入是隨機(jī)且部分相關(guān)的，那么系統(tǒng)的響應(yīng)也是隨機(jī)且部分相關(guān)的。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論［1］，輸入和輸出信號(hào)用功率譜密度表示，分別為［Gf(ω)］和［Gx(ω)］，響應(yīng)的自功率譜密度矩陣可以表示為

式中H表示共軛裝置。若已知響應(yīng)的自功率譜密度矩陣［Gx(ω)］和懸架系統(tǒng)的特性［H(ω)］，可以得到軸頭載荷［Gf(ω)］:

式中+表示頻響函數(shù)的偽逆矩陣。

1.2 剛體動(dòng)力學(xué)

從式(2)可知，獲取軸頭力載荷的關(guān)鍵是對(duì)懸架系統(tǒng)頻響函數(shù)［H(ω)］的識(shí)別。本文中利用附加剛體質(zhì)量的慣性參數(shù)推導(dǎo)頻響函數(shù)［12］。以直角慣性坐標(biāo)系(oxyz)為運(yùn)動(dòng)參考系，其原點(diǎn)o與靜止剛體的原點(diǎn)相重合。剛體的微振動(dòng)可用質(zhì)心的3個(gè)移動(dòng) xc、yc、zc和繞參考軸的 3 個(gè)微轉(zhuǎn)動(dòng) θxc、θyc、θzc來描述。剛體上任一點(diǎn) qi(x¨i，y¨i，z¨i)的運(yùn)動(dòng)加速度可以看作是剛體模態(tài)的疊加［13］，可表示為

式中:［qi］為i點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度向量;［Ψi］為在小角度擾動(dòng)下的剛體模態(tài)線性變換矩陣;［K］為模態(tài)向量參與向量。

設(shè)剛體模態(tài)以原點(diǎn)o的x、y、z3個(gè)方向的平動(dòng)和繞x、y、z3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)來描述，若將o點(diǎn)的剛體模態(tài)轉(zhuǎn)化為單位位移，則模態(tài)參與向量［K］就等同于o點(diǎn)在 x、y、z3個(gè)方向的平動(dòng)和繞 x、y、z3 個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，可表示為

式中:xci、yci和zci為 i點(diǎn)相對(duì)于 o 點(diǎn)的幾何坐標(biāo);x¨c、y¨c、z¨c、θ¨

xc、θ¨

yc、θ¨zc為剛體的運(yùn)動(dòng)加速度。

若已知模態(tài)參與向量［K］，就可以確定剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。為計(jì)算模態(tài)參與向量，至少需要6個(gè)運(yùn)動(dòng)加速度，因此應(yīng)至少獲得剛體上2個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)加速度向量。為提高數(shù)值計(jì)算的精度，使運(yùn)動(dòng)加速度響應(yīng)數(shù)大于模態(tài)參與向量的6個(gè)自由度，產(chǎn)生的增廣系統(tǒng)為

式(5)還可表示為

通過式(6)求得的模態(tài)參與向量［K］代表了剛體的全部運(yùn)動(dòng)特性。為減少測(cè)量信號(hào)產(chǎn)生的誤差，提高估計(jì)的準(zhǔn)確度，引入一個(gè)計(jì)權(quán)矩陣［W］:

式中［W］為一個(gè)對(duì)角元素有0的單位陣，在計(jì)算模態(tài)參與向量［K］時(shí)，測(cè)量信號(hào)差的通道被剔除。

設(shè)模態(tài)參與向量［K］是由測(cè)得的剛體上的實(shí)際加速度響應(yīng)［qm］乘以線性變換矩陣［Ψ］的偽逆矩陣得到:

將計(jì)算得到的模態(tài)參與向量帶入式(6)，剛體上每一點(diǎn)的平動(dòng)計(jì)算如下:

若每通道測(cè)量的信號(hào)都很理想，則計(jì)算得到的剛體上的響應(yīng)與測(cè)量的相一致。但由于實(shí)際信號(hào)測(cè)量存在誤差，為剔除測(cè)量信號(hào)差的通道，定義測(cè)量信號(hào)在頻域內(nèi)的歸一化誤差:

在所關(guān)心的頻率內(nèi)，每通道信號(hào)誤差的均值可定為

式中n為譜線數(shù)。平均誤差大的信號(hào)在模態(tài)參與向量的計(jì)算中應(yīng)予以剔除:

運(yùn)用以上剛體動(dòng)力學(xué)理論，在車輪軸頭處安裝一個(gè)已知質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛體質(zhì)量塊，通過剛體的慣性參數(shù)推導(dǎo)出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到作用于軸頭與剛體質(zhì)量安裝面中心軸頭力的頻響函數(shù)。

若有力作用在剛體質(zhì)量上m點(diǎn)，該點(diǎn)的隨體坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為作用于原點(diǎn)的廣義力［14］為

式中:［FTa］為原點(diǎn)o的6自由度合力向量;［Fam］為作用在剛體上m點(diǎn)的力向量;［Ωm］為小角度擾動(dòng)下作用力和原點(diǎn)合力的線性變換矩陣。

式(13)可寫成如下形式:

式中:Fxm、Fym和Fzm為作用在剛體上m點(diǎn)的分力;xcm、ycm和zcm為m點(diǎn)相對(duì)于o點(diǎn)的幾何坐標(biāo)。

當(dāng)有多個(gè)力作用在剛體上時(shí)，原點(diǎn)合力的估計(jì)為

將式(15)寫成:

作用在原點(diǎn)的合力FTa與作用在剛體質(zhì)量上的軸頭六分力FR可推出剛體的運(yùn)動(dòng)方程:

式中:［M］為6×6的慣性參數(shù)矩陣;［A］為原點(diǎn)的加速度向量;［FTa］為外力在原點(diǎn)產(chǎn)生的合力;［FR］為作用在剛體質(zhì)量上的軸頭六分力。

式(17)展開寫為:

式中:M 為剛體的質(zhì)量;Ixx、Ixy、Ixz、Iyx、Iyy、Iyz、Izx、Izy和Izz為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)。

1.3 懸架響應(yīng)點(diǎn)到軸頭力的頻響函數(shù)估計(jì)

根據(jù)式(12)，剛體質(zhì)量原點(diǎn)的加速度向量可以表示為

式中［am］為剛體質(zhì)量上的作用力產(chǎn)生的加速度響應(yīng)向量。

剛體上的作用力和加速度響應(yīng)的關(guān)系為

式中［Hm］為剛體質(zhì)量上響應(yīng)點(diǎn)到作用力的頻響函數(shù)矩陣。

式中［Hc］為6×6的頻響函數(shù)矩陣，剛體質(zhì)量原點(diǎn)的加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。

作用力到懸架側(cè)加速度響應(yīng)的頻響函數(shù)［Has］可以通過測(cè)量得到:

式中［s］為懸架側(cè)的加速度響應(yīng)。

將式(23)代入式(25)可以得到:

將式(24)代入式(26)，得到軸頭力與懸架側(cè)加速度響應(yīng)的關(guān)系式:

式中［Hs］為懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。

通過式(28)估計(jì)出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到作用于軸頭與剛體質(zhì)量安裝面中心的軸頭力之間的頻響函數(shù)，再根據(jù)式(2)可以確定軸頭六分力:

式中:［Gs］為實(shí)際工況下懸架側(cè)加速度響應(yīng)自功率譜密度;［Hs］為計(jì)算的懸架加速度響應(yīng)到軸頭力的頻響函數(shù);［Gf］為待估計(jì)的軸頭六分力的自功率譜密度。

2 試驗(yàn)過程

2.1 頻響函數(shù)的測(cè)量

根據(jù)式(24)和式(28)，需要測(cè)量剛體質(zhì)量塊上加速度響應(yīng)到剛體質(zhì)量塊上激勵(lì)的頻響函數(shù)以及懸架側(cè)響應(yīng)點(diǎn)到剛體質(zhì)量塊上激勵(lì)的頻響函數(shù)，以此計(jì)算懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。采用錘擊法測(cè)量頻響函數(shù)，根據(jù)安裝、試驗(yàn)要求以及剛體假設(shè)，設(shè)計(jì)一質(zhì)量塊如圖1所示，質(zhì)量塊應(yīng)避免與軸頭及懸架上其他部件產(chǎn)生干涉，非對(duì)稱及偏心的設(shè)計(jì)有利于角加速度的測(cè)量。另外，水平和垂直面保證加速度計(jì)的安裝和其坐標(biāo)位置的準(zhǔn)確性。為確保質(zhì)量塊的剛體性質(zhì)，材料選用鋁，厚度為20mm，慣性參數(shù)矩陣為

通過試驗(yàn)得到其第一階固有頻率為1 672Hz。由于路面激勵(lì)引起的車內(nèi)振動(dòng)噪聲頻率主要集中在150Hz以內(nèi)［15］，所以設(shè)計(jì)的質(zhì)量塊在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)滿足剛體的假設(shè)。拆除試驗(yàn)車輛右前輪，通過5個(gè)車輪安裝螺栓將質(zhì)量塊緊固在轉(zhuǎn)子上如圖2所示。為保持頻響函數(shù)測(cè)量的自由邊界條件，采用如圖3所示的空氣彈簧支撐右前懸架。

根據(jù)式(5)，為了求得質(zhì)量塊原點(diǎn)的加速度和角加速度，需要質(zhì)量塊上至少有6個(gè)加速度響應(yīng)，為提高計(jì)算精度，在質(zhì)量塊上布置15個(gè)響應(yīng)點(diǎn)，位置如圖4中M1～M5所示。為了得到懸架側(cè)的加速度響應(yīng)，在懸架側(cè)5個(gè)點(diǎn)布置三向加速度計(jì)。根據(jù)式(15)可以計(jì)算出外力作用在原點(diǎn)處的合力，包括縱向力、側(cè)向力、垂向力、繞X的力矩、繞Y的力矩和繞Z的力矩6個(gè)分力，因此至少需要6個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，為提高測(cè)量及數(shù)值計(jì)算精度，選擇14個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，包括4個(gè)X向、5個(gè)Y向和5個(gè)Z向，均勻分布在質(zhì)量塊上，位置如圖5所示。試驗(yàn)采用錘擊法，使用橡膠錘頭保證中低頻的激勵(lì)能量。每個(gè)激勵(lì)點(diǎn)敲擊5次，進(jìn)行平均，得到質(zhì)量塊以及懸架側(cè)的頻響函數(shù)。

2.2 路面激勵(lì)工況的信號(hào)采集

測(cè)量實(shí)車在路面激勵(lì)工況下懸架側(cè)的加速度響應(yīng)自功率譜密度。同時(shí)安裝Kistler S635應(yīng)變式車輪力傳感器，測(cè)量軸頭六分力，以驗(yàn)證頻響函數(shù)法估計(jì)軸頭載荷的有效性。試驗(yàn)在試車場(chǎng)進(jìn)行，選取比利時(shí)道路作為路面激勵(lì)，車速為40km/h。由于車輪力傳感器所定義的坐標(biāo)原點(diǎn)O'與本文中所定義的坐標(biāo)原點(diǎn)O在Y向(車輛橫向)不重合，如圖6所示，驗(yàn)證六分力結(jié)果須進(jìn)行坐標(biāo)變換:

3 軸頭六分力的估計(jì)

3.1 誤差通道的剔除

若在2.1節(jié)中剛體質(zhì)量上M1～M5測(cè)點(diǎn)頻響函數(shù)的測(cè)量都很理想，那么根據(jù)式(9)，計(jì)算得到的剛體質(zhì)量加速度響應(yīng)應(yīng)與測(cè)量所得的相一致。但實(shí)際條件下會(huì)導(dǎo)致測(cè)量誤差的存在。表1列出了根據(jù)式(11)計(jì)算的質(zhì)量塊上響應(yīng)點(diǎn)的測(cè)量誤差，其中大于0.1(即誤差大于10%)的信號(hào)在后面的計(jì)算中通過計(jì)權(quán)矩陣［W］被剔除。

表1 質(zhì)量塊上響應(yīng)的平均測(cè)量誤差

3.2 頻響函數(shù)的計(jì)算

根據(jù)式(24)和式(28)并通過2.1節(jié)的試驗(yàn)計(jì)算出懸架側(cè)加速度響應(yīng)到車輪軸頭垂向力Fz、側(cè)向力Fy、縱向力Fx、翻轉(zhuǎn)力矩Mx、牽引力矩My和回正力矩Mz6個(gè)分力的頻響函數(shù)［Hs］。圖7和圖8為計(jì)算得到的懸架中3個(gè)響應(yīng)點(diǎn)到軸頭縱向力Fx、牽引力矩My的頻響函數(shù)。

3.3 軸頭六分力的計(jì)算驗(yàn)證

通過3.2節(jié)計(jì)算的懸架側(cè)加速度響應(yīng)到軸頭六分力的頻響函數(shù)矩陣以及道路試驗(yàn)得到的實(shí)車工況下懸架側(cè)加速度響應(yīng)的自功率譜密度，根據(jù)式(29)估計(jì)出車輪軸頭六分力載荷，并與車輪力傳感器直接測(cè)量的軸頭力做了對(duì)比，如圖9～圖14所示。

計(jì)算結(jié)果中，側(cè)向力Fy、垂向力Fz和回正力矩Mz與實(shí)測(cè)值存在一定偏差，產(chǎn)生的原因如下:

(1)用頻響函數(shù)法進(jìn)行載荷識(shí)別對(duì)于輸入輸出是基于線性關(guān)系的假設(shè)，在實(shí)際測(cè)量中，懸架系統(tǒng)存在一定的非線性導(dǎo)致識(shí)別產(chǎn)生誤差;

(2)實(shí)車道路試驗(yàn)時(shí)懸架側(cè)加速度響應(yīng)被重新布置，與測(cè)量頻響函數(shù)時(shí)的位置會(huì)有一些偏差，造成結(jié)果的偏差;

(3)在頻響函數(shù)測(cè)量過程中，由于空間限制，不能完全保證力錘每次激勵(lì)的位置與方向上的一致性，這會(huì)影響頻響函數(shù)測(cè)量的結(jié)果;

(4)在計(jì)算頻響函數(shù)［Hs］的逆時(shí)，對(duì)于非方陣只能求其廣義逆，會(huì)產(chǎn)生誤差，固有頻率附近頻響函數(shù)的病態(tài)和頻響函數(shù)的測(cè)量誤差，會(huì)出現(xiàn)數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性，當(dāng)頻響函數(shù)矩陣階次較高時(shí)，常常由于矩陣的條件數(shù)較差造成病態(tài)，使誤差增大。

4 結(jié)論

闡述了頻響函數(shù)法估計(jì)車輪軸頭六分力的理論及試驗(yàn)。提出頻響函數(shù)法識(shí)別車輪軸頭力載荷，采用附加剛體質(zhì)量的方法推導(dǎo)出懸架響應(yīng)點(diǎn)到軸頭六分力的頻響函數(shù)。設(shè)計(jì)了附加質(zhì)量塊進(jìn)行頻響函數(shù)的測(cè)量，并安裝車輪力傳感器在比利時(shí)道路進(jìn)行實(shí)車工況懸架響應(yīng)及軸頭力信號(hào)采集，驗(yàn)證了所論述估計(jì)方法的有效性。發(fā)現(xiàn)部分估計(jì)結(jié)果有一定偏差，從頻響函數(shù)法識(shí)別載荷的假設(shè)前提、傳感器布置、頻響函數(shù)測(cè)量以及其求逆計(jì)算等方面闡述了可能導(dǎo)致偏差的原因，為進(jìn)一步的研究提供了參考。

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