[摘 要]：本文推導二階變系數線性微分方程的一般解法.從特殊型和一般型的二階變系數線性微分方程進行研究，首先研究某些特殊型的二階變系數線性微分方程.本文研究了三種滿足特殊條件的二階變系數微分方程，在此基礎上，研究一般型的二階變系數線性微分方程.從方程的自身特點出發(fā)，巧妙構造結構，利用降階法把二階變系數線性微分方程的求解問題轉嫁為一階線性微分方程的求解問題. 首先構造結構系數函數，然后利用構造結構的系數函數，通過降階法得到求二階變系數線性微分方程通解或特解的一般方法.

[關鍵詞]：二階變系數齊次線性微分方程 二階變系數非齊次線性微分方程 一階線性微分方程 通解 特解

一、引言

在微分方程的理論中，二階線性微分方程占有十分重要的位置.國內外現行 《高等數學》中的方程[1]，只是對常系數微分方程的情況做了詳細的討論，《常微分方程》也未對二階變系數微分方程的解作進一步的闡述.一般的變系數微分方程的通解沒有普遍的求法.在高等數學中，只有對歐拉方程這種特殊的變系數微分方程研究了它的解法[2].本文通過研究幾種特殊的二階變系數線性微分方程通解的求法，推導二階變系數線性微分方程的通解的一般求法，包括二階變系數齊次線性微分方程和二階變系數非齊次線性微分方程.詣在解決二階變系數線性微分方程的求解問題，并得出成規(guī)的求解的方法與結論，以便適應在工程技術的實際領域或學生在學習相關專業(yè)中的需要.

二、一些特殊型二階變系數線性微分方程的求解方法

考慮如下的二階變系數微分方程

（1）

其中 都是連續(xù)函數，當 滿足一定條件時，通過適當的變量代換，方程（1）可化為歐拉方程，進而求出其通解.

引理1[3] 假如方程

中 .

只需引進變量 ，則方程可化為

.

定理1當 時，方程（1）可通過變量代換 化成歐拉方程且通解為

（Ⅰ） 時， .

（Ⅱ） 時， .

（Ⅲ） 時， .

證明：設 ，這里 為待定的連續(xù)可微函數，此時有

將 代入方程（1），得

（2）因為

所以（2）式化為

. （3）

若設 ，則（3）為歐拉方程，將其代入（3）得

. （4）

或

. （5）

令 ，則 ，（5）式化為

（6）

（6）式變成為常系數線性微分方程未知函數為 ，自變量換成 .求解（6），再由 代回 ，得到 ，從而得到方程（1）的解.具體解法如下：

方程（6）對應的特征方程為

，

判別式 .分以下三種情況討論：

（Ⅰ）當 即 時，特征方程有兩個相異實根

， .

方程（6）的通解為

.

將 代入上式，得

.

所以方程（1）的通解為

.

若 ，即 時，方程（1）的通解為

.

（Ⅱ）當 即 時，特征方程有兩個二重根

.

方程（6）的通解為

.

將 代入上式有

.

所以方程（1）的通解為

.

（Ⅲ）當 即 時，特征方程有一對共軛復根

， .

方程（6）的通解為

.

將 代入上式，有

.

所以方程（1）得通解

.

例1 求方程 的通解.

解：這里 ， ，且 .此處 .符合情況（Ⅰ）.將 ， 代入通解公式并化簡得方程的通解為

.

例2 求方程 的通解.

解：這里 ， ，此處 .符合情況（Ⅲ），將 ， 代入通解公式并化簡得方程的通解為

.

可見，在方程（1）的系數滿足條件 時，便可由定理的公式直接求出這類方程的通解，避免了繁瑣的變量代換求通解的過程.

設 階變系數線性非齊次微分方程

（1）

對應的齊次方程為

（2）

定理2 若方程（2）的特解為 則方程（1）的通解為

引理2[4] 對于 階變系數線性微分方程

有以下結論：

（1）若 ，則特解為 ；

（2）若 ，則特解為 ；

（3）若 ，則特解為 ；

（4）若 ，則特解為 .

上述尋找特解的方法要求系數要滿足一定的條件，有時并不好實現.但對于一些二階變系數線性微分方程可通過變量代換化為常系數方程，從而很容易求解.

考慮二階變系數齊次線性微分方程

（3）

其中 都是連續(xù)函數，當 ， 滿足一定條件時，通過適當的變量代換，方程（3）可化為常系數微分方程，進而求出其通解.

定理4 若存在常數 ，使得方程（3）的系數 滿足：

，

其中 為常數，則方程（3）可以化為二階常系數線性齊次方程

， （4）

進而可求得原方程的通解.

證明：令 ，則 ， ，代入方程（3），得

. （5）

又因為 ，所以 且 ，代入

（5），得 ，再將 代入此二階常系數線性齊次方程的通解，便得原方程的通解.

注：一般情況下，可令 .

例3 求方程 的通解.

解：因為 ，則方程有特解 .于是，方程有形如

的通解.將 代入方程得 .

即

. （4）

解方程（4）得

，

得

.

即

（5）

解方程（5）得

.

于是，原方程的通解為

.

例4 求方程 的通解.

解：因為 ， .顯然，存在常 數，使得 .令 ，則 ， ，代入方程得

，

即

（6）

方程（6）為二階常系數線性齊次微分方程，其通解為

.

故原方程的通解為

.

例5 求方程 的通解.

解： ， .顯然，存在常數 ，使得 .令 ，則

， ，

代入方程得

，

即

. （7）

方程（7）為二階常系數線性非齊次微分方程，其通解為

.

故原方程的通解為 .

定理5 對于二階變系數線性非齊次微分方程

， （1）

若 ，和實數 滿足

， （2）

則（1）的通解為

（3）

其中積分 ， 和 都表示一個原函數， 和 為任意常數.

證明：設方程（1）的解為 ，求導得

， ，

將 代入（1）化簡得

（4）

在（4）中，不妨令

（5）

方程（5）為二階變系數線性齊次微分方程，文獻[4]給出一類若 滿足（2），則方程（5）的一個特解必為

（6）

將（5）代入（4）整理得

（7）

顯然（7）為可降階的微分方程.利用可降階的微分方程的求解方法可求得（7）的通解（即求得 ）為

.

其中積分 ， 和 都表示一個原函數， 和 為任意常數.由此得（1）的通解為

例6 求方程 的通解.

解：文獻[4]中給出 =-3，所以對應齊次方程 的一個特解為 .又 ， ，代入（7）得方程的通解為

= =

=

例7 求方程 的通解.

解：文獻[4]中給出 =-1，所以對應齊次方程 的一個特解為 .又 ， 代入（7）得方程的通解為

= =

注意：定理中的條件 非常苛刻，只有在特殊條件下才能滿足.但通過分析可以發(fā)現，定理中的這個條件并不一定必須滿足，只要能知道方程（1）對應齊次方程的一個非零特解 ，則由公式（7）同樣可以求出方程（1）的通解.

例8 求方程 的通解.

解：已知對應齊次方程 的一個特解為

.

又 ， ，代入（7）得方程的通解為

=

=

= 1

三、一般型二階變系數線性微分方程的求解方法

定義[5] 若 、 為連續(xù)非常數的函數，則稱方程

（1.1）

為二階變系數線性微分方程. 如果 恒等于零，那么該方程稱為二階變系數齊次線性微分方程；如果 不恒等于零，那么該方程稱為二階變系數非齊次線性微分方程.

假設二階變系數非齊次線性微分方程中 具有一階連續(xù)的導數、 連

續(xù).令

， （1.2）

， （1.3）

則方程（1.1）變形為

（1.4）

即

令 （1.5）

那么原方程（1.1）就化簡為

.

解之，得 ，將之代入（1.5）式，則方程（1.5）通過上述變換可降階為

此一階線性非齊次微分方程的解就是我們所要求的二階變系數非齊次線性微分方程的解[6]，而方程

的解為

即

（1.6）

故式（1.6）為二階變系數非齊次線性微分方程

的通解公式.

另外由（1.2）式又得

或

將其代入式（1.6）可得二階變系數非齊次線性微分方程（1.1）通解的另兩種形式為

（1.7）

或 （1.8）

特別地1 當 時，方程（1.1）就轉化為二階變系數齊次線性微分方程，而式（1.6）、（1.7）、（1.8）分別為

， （1.9）

， （1.10）

， （1.11）

它們是對應的二階變系數齊次線性微分方程 的通解公式. 以上的求解過程或方式就是二階變系數線性微分方程的求解方法，（1.6）、

（1.7）、（1.8）均為二階變系數非齊次線性微分方程

的通解公式. 公式（1.9）、（1.10）、（1.11）均為二階變系數齊次線性微分方程

的通解公式，.在具體應用時，應依據問題靈活使用.

特別地2 形如

型的方程可化為伯努利方程.

原方程變形為

令

則原方程就化為伯努利方程

，

即可求得其解[7] .

四、舉例

運用二階變系數線性微分方程的一般求解法求二階變系數線性微分方程的解時，其重點是構造（1.2）和（1.3）式，難點或關鍵點是從（1.2）式和（1.3）式，求出 和 . 或由（1.2）式和（1.3）式變形得

（1.12）

和 ， （1.13）

再從中求得 和 ，然后用上述方法或上述公式，可求得二階變系數線性微分方程的解.

注：方程（1.12）或（1.13）是黎卡提（Riccati）方程，見《常微分方程》教[8].求二階變系數線性微分方程解時，必須觀察二階變系數線性微分方程的特

征.如果是上述特殊類型的二階變系數線性微分方程，就用特殊類型的二階變系數線性微分方程的求解方法求之；如果不是上述特殊類型的二階變系數線性微分方程，就用二階變系數線性微分方程的一般求解方法求之.

二階變系數線性微分方程的一般求解步驟：

第一步：構造（1.2）式和（1.3）式；

第二步：計算出 ， ；

第三步：將第二步的結果代入上述公式求出通解來.

例9 求 的通解

解：由方程特征可知，

， ，

則 的通解為

.

例10 求 的通解.

解：令 ，解之得

由以上公式，所求方程的通解為

.

五、總結

對一般的二階變系數線性微分方程而言，由《常微分方程》 教材[5] 知，只要能求出二階變系數齊次線性微分方程的一個特解，則二階變系數線性齊次或非齊次微分方程的解即可求得.盡管專家學者目前的研究給出了一些特殊類型的二階變系數線性微分方程的求解方法，然而，如何求出其中的某一特解是無法可循的.通過研究特殊類型的二階變系數線性微分方程的求解方法，深入研究了一般二階變系數線性微分方程的求解方法，包括二階變系數齊次線性微分方程和二階變系數非齊次線性微分方程.

參考文獻：

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[8]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985：62.