何建偉，邵海琴，郭莉琴，王力梅

（天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅天水741001）

非Armendariz環(huán)的最小階

何建偉，邵海琴，郭莉琴，王力梅

（天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅天水741001）

利用有限環(huán)的同構(gòu)分類，以及兩個判斷Armendariz環(huán)的充分條件，討論了非Armendariz環(huán)的最小階數(shù)，最后得出，交換的非Armendariz環(huán)的階數(shù)最小為4，非交換的非Armendariz環(huán)的階數(shù)最小為8，并給出了這些最小階數(shù)對應(yīng)環(huán)的構(gòu)造。

有限環(huán)；非Armendariz環(huán)；最小階

本文所指的環(huán)都是結(jié)合環(huán)但不一定含有單位元，稱環(huán)R是Armendariz環(huán)，如果對R［x］中任意兩個多項式

f（x）=a0+a1x+…+anxng（x）=b0+b1x+…+bmxm

若f（x）g（x）=0，則對任意整數(shù)0≤i≤n，0≤j≤m，有aibj=0，對Armendariz環(huán)的討論始于文獻［1-2］，在文獻［3-6］中分別討論了弱Armendariz環(huán)，稱環(huán)R是弱Armendariz環(huán)，如果對R［x］中任意兩個線性多項式f（x）=a0+a1x，g（x）=b0+b1x，若f（x）g（x）=0，則對任意整數(shù)0≤i≤2，0≤j≤2，有aibj=0。文獻［7］中得到了兩類不一定是reduced環(huán)的Armendariz環(huán)。

1 主要結(jié)果

一個環(huán)R關(guān)于乘法構(gòu)成一個含零元的半群，下面的命題是顯然的。

命題1若R2=0，則環(huán)R是Armendariz環(huán)，稱環(huán)R是reduced環(huán)，如果R不含非零冪零元，Armendariz注意到reduced環(huán)一定是Armendariz環(huán)。

命題2若環(huán)R是reduced環(huán)，則R是Armendariz環(huán)。

命題3若環(huán)R的一個非空子集A滿足∶

（1）A2=0。

（2）對R中任意兩元素x，y，若xy=0則x∈A或y∈A且當(dāng)x∈A時，xR=0，當(dāng)y∈A時，Ry=0，則R為Armendariz環(huán)［7］。

命題4若環(huán)R的一個非零理想I滿足∶

（1）I2=0。

（2）對R中任意非零元素x1，x2，x3，x4，若x1x2=0，x1x4+x3x2=0，x3x4∈I，則x1，x2，x3，x4∈I，則R是Armendariz環(huán)［7］。

對于最小階的非Armendariz環(huán)，首先，階為素數(shù)的環(huán)或者是零乘環(huán)或者是reduced環(huán)，所以也是Armendariz環(huán)。階為1的環(huán)顯然也是Armendariz環(huán)，故討論四階環(huán)的Armendariz性。

由文獻［8］知，不同構(gòu)的四階環(huán)只有11類，沿用文獻［8］的符號將這11類環(huán)表示為Ri，i=1，2，…，11.分別討論其Armendariz性。

命題5 R1是Armendariz環(huán)。

證明I=｛0，b｝是R1的理想滿足I2=0，若R中任意非零元素x1，x2，x3，x4，滿足x1x2=0，x1x4+x3x2=0，x3x4∈I，如果x3x4=0，則x1=x2=x3=x4=b∈I；如果x3x4=b，因為b（x4+x3）=0所以x4+x3=0或x4+x3=b但x4+x3=0將推出x4=x3，這與x3x4= b矛盾，故只能是x4+x3=b，但1+b≠b且c+b≠b，都與x3x4=b矛盾，故此x3x4=b不會出現(xiàn)。由命題4，R1是Armendariz環(huán)。

R2是reduced環(huán)故也是Armendariz環(huán)。R3是零乘環(huán)故也是Armendariz環(huán)。

命題6 R4是Armendariz環(huán)。

證明A=｛0，a｝是環(huán)R的一個非空子集滿足A2= 0，若xy=0則x∈A或y∈A且當(dāng)x∈A時，不論x= 0還是x=a都有xR=0，同樣如果y∈A，那么Ry= 0，由命題3知R4是Armendariz環(huán)。

同理可證明R5，R6，R7也是滿足命題3的Armendariz環(huán)，R8是無零因子環(huán)，故是reduced環(huán)，所以是Armendariz環(huán)，R9是零乘環(huán)，故是Armendariz環(huán)，R10與模4剩余類環(huán)同構(gòu)，在文獻［7］中已經(jīng)證明模4剩余類環(huán)為Armendariz環(huán)。

命題7 R11是弱Armendariz環(huán)但不是Armendariz環(huán)。

證明R11的加法表和乘法表分別見表1和表2。則有R11中的多項式乘積等式（a+（3a）x+（2a）x2）（2a+（3a）x+ax2）=0，但a（3a）=2a≠0，故R11不是Armendariz環(huán)，但是對R11中任意兩個線性多項式f（x）=a0+a1x，g（x）=b0+b1x，若f（x）g（x）=0，不妨假設(shè)a0，a1，b0，b1都是非零元，則a0，a1，b0，b1∈｛a，2a｝，若a0= 2a，則f（x）g（x）=（a1x）（b0+b1x）=0，所以對任意整數(shù)0≤i≤2，0≤j≤2，有aibj=0，若a0=a，則b0= 2a，同上可知對任意整數(shù)0≤i≤2，0≤j≤2，有aibj= 0，這說明R11是一個弱Armendariz環(huán)。

綜合以上七個命題，有∶

定理1交換的非Armendariz環(huán)最小階為4，在同構(gòu)的意義下只有一類。

對于交換的非Armendariz環(huán)的最小階數(shù)，只需從六階以上的環(huán)中去尋找。由文獻［8］，六階環(huán)在同構(gòu)意義下只有四種，用文獻［8］記號表示為R1，R2，R3，R6，其中R1是reduced環(huán)，所以也是Armendariz環(huán)。R2中取非空子集，可證明其是滿足命題1的Armendariz環(huán)。R6是零乘環(huán)，故也是Armendariz環(huán)，在八階環(huán)中，考慮模2剩余類環(huán)Z2的2階上三角矩陣環(huán)T2（Z2），由文獻［7］知其不是Armendariz環(huán)，這個環(huán)是非交換的。

定理2非交換的非Armendariz環(huán)最小為8階。，R3中取非空子集

2 結(jié)束語

綜上討論，交換的非Armendariz環(huán)的階數(shù)最小為4，非交換的非Armendariz環(huán)的階數(shù)最小為8，對于其它環(huán)，也可以考慮用同構(gòu)分類的方法做類似地討論。

［1］Armendariz E P.A note on extensions of Baer and p. p.-rings［J］.J.Austral.M ath Soc'1974'18:470-473.

［2］Rege M B'Chhawchharia S.Armendariz rings［J］.Proc. Japan Acad.Ser.A Math.Sci'1997'73:14-17.

［3］Lee T K'Wong T L.On Armendariz rings［J］.Houston J.Math'2003'29:583-593.

［4］伍惠鳳.關(guān)于弱3-Armendariz環(huán)［J］.杭州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版'2012(3）:241-244.

［5］解曉娟.弱M-擬Armendariz環(huán)［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版'2012(2）:123-126.

［6］解曉娟.中心弱Armendariz環(huán)［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版'2012(2）:10-12.

［7］Jian W H'Sheng Z R.The power-serieswise Armendariz rings with nilpotent subsets［J］.Scientia Magna' 2010'6(4）:107-112.

［8］張學(xué)哲.四元環(huán)的同構(gòu)分類［J］.山西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版'2002'16(4）:1-6.

［9］楊子胥.近世代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社'2003.

The Least Order of Non-Armendariz Ring

HE Jianwei，SHAO Haiqin，GUO Liqin，WANG Limei
（School of Mathematics and Statistic，Tianshui Normal University，Tianshui741001，China）

According to the isomorphism classification of finite ring，and two sufficient conditions for deciding Armendariz ring，the leastorder of non-Armendariz ring is studied.Then it can be concluded that the leastorder of non-Armendariz ring is four，the least order of non-Armendariz ring is eight when the ring is commutative.Finally，the structures of these rings that have the least orders are presented.

finite rings；non-Armendariz ring；the least order

O153.3

A

1673-1549（2014）01-0092-02

10.11863/j.suse.2014.01.23

2013-08-01

天水師范學(xué)院中青年教師科研資助項目（4012012010005）

何建偉（1983-），男，甘肅天水人，講師，碩士，主要從事環(huán)論方面的研究，（E-mail）he_jw@163.com