申成岳，黃斌

（1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，西安710064；2.中交二航局第六工程分公司，武漢430014）

無(wú)鉸拋物線拱非線性穩(wěn)定分析

申成岳1，黃斌2

（1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，西安710064；2.中交二航局第六工程分公司，武漢430014）

基于有限元程序ANSYS 10.0，在考慮幾何非線性和材料非線性的情況下，對(duì)無(wú)鉸拋物線拱進(jìn)行了彈塑性全過(guò)程的屈曲分析。將拱結(jié)構(gòu)初始缺陷和矢跨比作為主要影響因素，分析其對(duì)無(wú)鉸拋物線拱失穩(wěn)極限承載力的影響。計(jì)算結(jié)果表明:無(wú)鉸拋物線拱初始缺陷越大，失穩(wěn)極限承載力越?。浑S著矢跨比的增大，無(wú)鉸拋物線拱失穩(wěn)極限承載力先增大后減小，存在一個(gè)理論上的最優(yōu)矢跨比。

無(wú)鉸拋物線拱；幾何非線性；材料非線性；屈曲分析；失穩(wěn)極限承載力

引言

當(dāng)結(jié)構(gòu)所受荷載達(dá)到某一特定的極限值時(shí)，該結(jié)構(gòu)體系會(huì)突然發(fā)生大的變形，這種現(xiàn)象稱為屈曲，或稱喪失穩(wěn)定［1］。因此，當(dāng)拱結(jié)構(gòu)所支承的荷載達(dá)到一定的臨界值時(shí)，整個(gè)拱結(jié)構(gòu)就會(huì)失去平衡的穩(wěn)定性，或者在拱的平面內(nèi)發(fā)生純彎屈曲，或者傾出于平面之外發(fā)生彎扭側(cè)傾。對(duì)于拱結(jié)構(gòu)，如果拱軸線和壓力線是吻合的，則在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前拱結(jié)構(gòu)是處于受壓狀態(tài)的，但是由于施工預(yù)拱度的設(shè)置、施工偏差導(dǎo)致的初變形、非對(duì)稱加載等因素，拱結(jié)構(gòu)在運(yùn)營(yíng)階段通常處于壓彎狀態(tài)，使得其失穩(wěn)形態(tài)大部分屬于極值點(diǎn)失穩(wěn)。求解這類穩(wěn)定問(wèn)題的極限荷載，應(yīng)考慮拱的變形影響和材料彈塑性影響，按幾何非線性和材料非線性理論求得拱的失穩(wěn)極限荷載［2］。

童根樹(shù)等［3］建立了可適用于彈塑性階段分析的工字型截面圓弧曲梁非線性分析基本理論。竇超等［4］采用經(jīng)典平衡理論推導(dǎo)雙軸對(duì)稱純壓、純彎圓弧拱的平面外彎扭屈曲方程，給出了兩鉸圓弧拱的平面外屈曲荷載解析解。易壯鵬等［5］對(duì)彈性支撐圓弧拱考慮幾何缺陷的面內(nèi)屈曲特性進(jìn)行了研究。結(jié)果表明∶幾何缺陷對(duì)屈曲路徑有一定的影響，而彈性支承剛度對(duì)跳躍屈曲的路徑和臨界值均有顯著影響。喬彩虹等［6］對(duì)圓管截面兩鉸圓弧純壓拱的平面外穩(wěn)定性及設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究，提出了以面外屈曲荷載對(duì)應(yīng)的正則化長(zhǎng)細(xì)比為參數(shù)進(jìn)行面外穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。雖然拱結(jié)構(gòu)的非線性屈曲分析理論已經(jīng)相對(duì)完善，但是某些影響因素對(duì)拱結(jié)構(gòu)失穩(wěn)極限荷載的降低程度仍缺少研究。

本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，利用有限元程序ANSYS10.0對(duì)拱結(jié)構(gòu)進(jìn)行考慮幾何非線性和材料非線性的非線性屈曲分析，考察初始缺陷和矢跨比對(duì)無(wú)鉸拋物線拱失穩(wěn)極限承載力的影響。

1 有限元模型

如圖1所示的無(wú)鉸拋物線拱，計(jì)算跨徑L=40 m，計(jì)算矢高f=8 m，拱軸線方程為y=-x2/50+8。主拱橫截面為箱形，截面寬600 mm，高400 mm，頂?shù)装搴?6 mm，腹板厚10 mm，拱跨結(jié)構(gòu)承受自重及集中荷載作用。主拱材料采用Q235鋼，彈性模量E=2.1× 105MPa，泊松比ν=0.3。考慮材料非線性時(shí)，采用雙線性隨動(dòng)強(qiáng)化模型，該模型采用Mises屈服準(zhǔn)則和隨動(dòng)強(qiáng)化準(zhǔn)則，以兩條直線段描述材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。Q235鋼的屈服強(qiáng)度f(wàn)y=235 MPa，屈服點(diǎn)以后的切線模量E'=7.9×102MPa。利用ANSYS 10.0對(duì)該拱分別進(jìn)行是否考慮材料非線性和幾何非線性的特征值屈曲分析、非線性屈曲分析，文中所述屈曲均指無(wú)鉸拋物線拱結(jié)構(gòu)的整體屈曲而不考慮局部屈曲。

ANSYS單元庫(kù)中提供了豐富的單元類型，可根據(jù)分析目的的不同進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇。拱結(jié)構(gòu)屬于細(xì)長(zhǎng)、中等細(xì)長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)類型，且拱結(jié)構(gòu)的截面類型屬于非標(biāo)準(zhǔn)梁截面，通常需要自定義梁截面，所以選用梁?jiǎn)卧狟eam l88或Beam l89單元模擬比較合適。但是Beam l88單元為兩節(jié)點(diǎn)單元，初始幾何為直線，而B(niǎo)eam 189單元為三節(jié)點(diǎn)單元考慮了梁的初始曲率，所以拱結(jié)構(gòu)選用Beam 189單元模擬更為合適。

2 特征值屈曲分析

屈曲分析的目的是確定結(jié)構(gòu)從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)的臨界荷載。理想結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)處理上是求解特征值問(wèn)題，故又稱為特征值屈曲分析。特征值屈曲分析用來(lái)預(yù)測(cè)一個(gè)理想線性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度，優(yōu)點(diǎn)是無(wú)須進(jìn)行復(fù)雜的非線性分析，即可獲得結(jié)構(gòu)的臨界荷載和屈曲形狀，并可為非線性屈曲分析提供可供參考的荷載值［7］。

屈曲分析的特征值方程為∶

（［KE］+λi［KG］）｛φi｝=0（1）式中∶λi為第i階特征值；｛φi｝為與λi對(duì)應(yīng)的特征向量，是響應(yīng)該階段屈曲荷載時(shí)結(jié)構(gòu)的變形形狀，即屈曲模態(tài)或失穩(wěn)模態(tài)。

特征值屈曲分析時(shí)，需要求解的是恒載作用下活載的屈曲荷載，即在求解時(shí)不對(duì)恒載應(yīng)力剛度進(jìn)行縮放，而只對(duì)活載應(yīng)力剛度進(jìn)行縮放。計(jì)算時(shí)需要通過(guò)不斷修改外荷載的數(shù)值，直到屈曲荷載系數(shù)為1，且一階和二階模態(tài)應(yīng)分別調(diào)整外荷載，分別使得屈曲荷載系數(shù)為1。

ANSYS里提供了專門的特征值屈曲分析類型，但是需要注意以下3點(diǎn)∶

（1）僅考慮線性行為，即使定義了非線性單元ANSYS程序也將按線性單元處理。

（2）必須定義材料的彈性模量，材料性質(zhì)可為線性、各向同性或各向異性，其數(shù)值可以為常值，也可與溫度相關(guān)。

（3）特征值屈曲分析前應(yīng)有靜力解，且必須激活預(yù)應(yīng)力效應(yīng)。因?yàn)轭A(yù)應(yīng)力效應(yīng)激活后生成和保存的幾何剛度矩陣是進(jìn)行特征值屈曲分析所必須的。激活預(yù)應(yīng)力效應(yīng)可以通過(guò)將pstres設(shè)為on實(shí)現(xiàn)。

通過(guò)以下命令即可進(jìn)行特征值屈曲分析∶

/solu

antype，buckle ！定義分析類型

bucopt，lanb，5 ！定義求解控制選項(xiàng)

mxpand，5 ！定義模態(tài)擴(kuò)展數(shù)目

solve

經(jīng)特征值屈曲分析計(jì)算，模型拱的一階屈曲模態(tài)為面外失穩(wěn)，外荷載的屈曲荷載為753 350 N；二階屈曲模態(tài)為面內(nèi)反對(duì)稱失穩(wěn)，外荷載的屈曲荷載為1 313 650 N。

3 非線性屈曲分析

非線性屈曲分析采用逐漸增加荷載的非線性靜態(tài)分析，搜索結(jié)構(gòu)開(kāi)始變得不穩(wěn)定時(shí)的荷載水平。使用非線性屈曲分析，可以分析包括初始缺陷、塑性行為、接觸、大變形響應(yīng)及其它非線性行為。非線性屈曲分析的收斂準(zhǔn)則有荷載控制、位移控制和弧長(zhǎng)法三種，跟蹤非線性平衡路線的應(yīng)用較多，效果較好的方法是弧長(zhǎng)法，本文選擇位移弧長(zhǎng)法作為非線性收斂準(zhǔn)則。需要注意的是，非線性屈曲分析時(shí)如果不引入缺陷，則結(jié)構(gòu)對(duì)稱荷載對(duì)稱，不能得到正確的極限荷載。

圖2為一般的非線性荷載位移曲線，顯示了理想載荷路徑、有缺陷結(jié)構(gòu)載荷路徑和實(shí)際動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系。

3.1 不同初始缺陷的影響

考慮初始幾何缺陷時(shí)，采用無(wú)鉸拋物線拱特征值一階屈曲模態(tài)形狀的不同百分比作為擾動(dòng)位移，峰值大小分別取L/4000、L/1000和L/500，研究不同初始缺陷程度下無(wú)鉸拋物線拱失穩(wěn)極限荷載的變化。

不同大小初始缺陷下的荷載位移曲線如圖3所示。當(dāng)施加缺陷的峰值為L(zhǎng)/4000時(shí)，即軸線偏位為0.01 m，通過(guò)非線性屈曲分析得到其極限荷載Pcp=683 560 N；同理，當(dāng)初始缺陷峰值為L(zhǎng)/1000時(shí)，通過(guò)非線性屈曲分析得到其極限荷載Pcp=599 529 N；當(dāng)初始缺陷的峰值為L(zhǎng)/500時(shí)，即軸線偏位為0.08 m，通過(guò)非線性屈曲分析得到其極限荷載Pcp=523 146 N。顯然隨著初始缺陷的增大，無(wú)鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限荷載明顯降低。

不同情況下無(wú)鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力見(jiàn)表1。從表1可以看出，當(dāng)施加的初始缺陷峰值為L(zhǎng)/4000時(shí)，非線性屈曲分析得到的失穩(wěn)極限承載力相對(duì)于特征值屈曲分析減小9.3%，而當(dāng)施加的初始缺陷峰值達(dá)到L/500時(shí)，其失穩(wěn)極限承載力相對(duì)于特征值屈曲分析減小30.6%。所以對(duì)于大跨無(wú)鉸拋物線拱，應(yīng)該嚴(yán)格控制初始缺陷，否則失穩(wěn)極限承載力會(huì)有明顯的下降。

3.2 不同矢跨比的影響

研究不同矢跨比對(duì)無(wú)鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力的影響時(shí)，固定計(jì)算跨徑L不變，通過(guò)改變矢高來(lái)改變矢跨比，初始缺陷峰值為L(zhǎng)/4000。這里選擇四組矢高分別為14 m、12 m、10 m、8 m和6 m，即矢跨比分別為0.35、0.3、0.25、0.2和0.15進(jìn)行非線性屈曲分析。

不同矢跨比下的荷載位移曲線如圖4所示，從圖4可以得出以下結(jié)論∶

（1）隨著矢跨比的增加，無(wú)鉸拋物線拱的極限承載力先增大后減小，當(dāng)矢跨比f(wàn)/L=0.25時(shí)，失穩(wěn)極限承載力達(dá)到最大值，Pcp=704 986 N。

（2）當(dāng)進(jìn)行非線性屈曲分析時(shí)，無(wú)鉸拋物線拱結(jié)構(gòu)存在一個(gè)理論上的最優(yōu)矢跨比。

以上只是研究了算例的5個(gè)不同矢跨比對(duì)極限承載力變化的影響，0.25只是這5個(gè)矢跨比中的最優(yōu)值。如果要得到無(wú)鉸拋物線拱結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確的最優(yōu)矢跨比，應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體結(jié)構(gòu)形式和尺寸建模，以矢跨比為變量采用二分法來(lái)尋找最優(yōu)矢跨比。

不同矢跨比下無(wú)鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力如圖5所示，當(dāng)矢跨比為0.15時(shí)，非線性屈曲分析得到的失穩(wěn)極限承載力相對(duì)于特征值屈曲分析減小13.8%，而當(dāng)矢跨比為0.35時(shí)，非線性屈曲分析得到的失穩(wěn)極限承載力相對(duì)于特征值屈曲分析減小1.8%。從圖5可以看出，在計(jì)算跨徑不變且初始缺陷峰值為L(zhǎng)/4000時(shí)，隨著矢跨比的增大，材料非線性和幾何非線性因素對(duì)失穩(wěn)極限承載力的影響越來(lái)越小，非線性屈曲得到的失穩(wěn)極限承載力先增大后減小。

4 結(jié)論

本文基于無(wú)鉸拋物線拱的特征值屈曲分析和非線性屈曲分析，研究了初始缺陷和矢跨比對(duì)無(wú)鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限承載力的影響。研究結(jié)果表明∶

（1）對(duì)于無(wú)鉸拋物線拱，考慮材料非線性和幾何非線性后，其失穩(wěn)極限承載力明顯降低。如果只對(duì)無(wú)鉸拋物線拱橋進(jìn)行特征值屈曲分析，那么得到的失穩(wěn)極限承載力將偏大，即拱結(jié)構(gòu)偏不安全，所以應(yīng)對(duì)其進(jìn)行同時(shí)考慮材料非線性和幾何非線性的非線性屈曲分析，以得到拱結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確的失穩(wěn)極限承載力。

（2）對(duì)于無(wú)鉸拋物線拱，非線性屈曲分析時(shí)引入的初始缺陷越大，其失穩(wěn)極限承載力越小。

（3）在初始缺陷相同的情況下，無(wú)鉸拋物線拱的矢跨比越大，材料非線性和幾何非線性因素對(duì)失穩(wěn)極限承載力的影響越來(lái)越小。

（4）隨著矢跨比的增大，無(wú)鉸拋物線拱的失穩(wěn)極限荷載呈先增大后減小趨勢(shì)。所以，無(wú)鉸拋物線拱橋在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)通過(guò)非線性屈曲分析找到最優(yōu)矢跨比，以增大其失穩(wěn)極限荷載。

以上研究成果對(duì)于工程實(shí)際的指導(dǎo)意義在于∶工程設(shè)計(jì)階段應(yīng)通過(guò)合理的數(shù)值分析尋找拱結(jié)構(gòu)的最優(yōu)矢跨比，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；工程施工階段應(yīng)嚴(yán)格執(zhí)行相關(guān)施工技術(shù)規(guī)范，控制軸線偏位、拱肋標(biāo)高等可能引入初始缺陷的因素，以提高結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)極限承載力。

［1］陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)［M］.北京:科學(xué)出版社'2001.

［2］李國(guó)豪.橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與振動(dòng)［M］.北京:中國(guó)鐵道出版社'2003.

［3］童根樹(shù)'許強(qiáng).工字型截面圓弧曲梁的非線性理論［J］.土木工程學(xué)報(bào)'2004'37(4）:1-7.

［4］竇超'郭彥林.圓弧拱平面外彈性彎扭屈曲臨界荷載分析［J］.工程力學(xué)'2012'29(3）:83-89.

［5］易壯鵬'王連華'涂光亞'等.彈性支撐圓弧拱考慮幾何缺陷的面內(nèi)屈曲特性［J］.長(zhǎng)沙理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版'2011'8(3）:44-49.

［6］喬彩虹'郭彥林'曹玉生.圓管截面兩鉸圓弧純壓拱的平面外穩(wěn)定性及設(shè)計(jì)方法［J］.工業(yè)建筑'2009'39 (12）:90-94.

［7］李雪'李宏男'黃連壯.高壓輸電線路覆冰倒塔非線性屈曲分析［J］.振動(dòng)與沖擊'2009'28(5）:111-114.

Nonlinear Stability Analysis of Hingeless Parabolic Arch

SHEN Chengyue，HUANG Bin
（1.School of Highway，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2.Six Department of the Second Harbor Engineering Company，Wuhan 430014，China）

Based on the finite element program ANSYS 10.0，considering the factors of geometrical nonlinearity and material nonlinearity，the whole elastic-plastic buckling process of hingeless parabolic arch were analyzed.The influence of the initial defects and rise-span ratio of arch structure，which aremajor factors on ultimate bearing capacity were analyzed. The calculation results showed that the greater the initial defectswere，the smaller the ultimate bearing capacitywill be；With the increase of rise-span ratio，the limit bearing capacity of hingeless parabolic arch buckling first increased then decreased，with an optimal rise-span ratio in theroy.

hingeless parabolic arch；geometrical nonlinearity；material nonlinearity；buckling analysis；ultimate bearing capacity of instability

U441

A

1673-1549（2014）01-0077-04

10.11863/j.suse.2014.01.20

2013-12-15

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助（CHD2009JC166）

申成岳（1985-），男，河南延津人，碩士生，主要從事橋梁結(jié)構(gòu)分析理論方面的研究，（E-mail）shenchy063@163.com