王嬌嬌，李軍

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充637009）

局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)差的刻畫

王嬌嬌，李軍

（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川南充637009）

在Banach空間中利用廣義方向?qū)?shù)和Clarke次微分的定義，指出兩個局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)差與Clarke次微分之間的關(guān)系。在此基礎上，指出如果兩個局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)f，g:X→R是Clarke正則的，那么結(jié)果退化到經(jīng)典意義下ε次微分與局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)差的關(guān)系，并指出了當函數(shù)h是可微偶凸函數(shù)時，在定理1的條件下兩個局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)的Clarke次微分之間的關(guān)系，最后指出當兩個局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)差為常數(shù)時，兩個函數(shù)的Clarke次微分之間的關(guān)系。

Lipschitz連續(xù)函數(shù)；Clarke次微分；Clarke次梯度；Clarke正則

引言

凸分析理論中，次微分作為微分的廣義概念，在討論最優(yōu)化條件上扮演著重要角色。例如，x0為凸函數(shù)f在閉凸集A上的全局最小點當且僅當0∈?f（x）+NA（x0）。在二十世紀六十年代，Banach空間上的真凸下半連續(xù)函數(shù)f的積分理論［1-2］也通過Fenchel次微分算子解決∶?f（x）??g（x），?x∈X?f=g+C，其中C為常數(shù)，這一結(jié)果在不同的研究中被廣泛的應用。微積分和線性算子理論也被擴展到許多經(jīng)典的結(jié)果中［3-4］。

在R空間中，考慮函數(shù)f（x）=-|x|（f是Lipschitz連續(xù)的），易知在每一點的次微分都是空集，這就需要引出非光滑分析中的重要工具Clarke次微分。在文獻［5］中，非光滑現(xiàn)象在數(shù)學和最優(yōu)化理論中出現(xiàn)是自然并且頻繁的，作為文獻［5］中重要工具，討論和研究Clarke次微分是十分必要的。

在文獻［6］中，利用凸函數(shù)差的Lipschitz性質(zhì)研究函數(shù)的微分性質(zhì)，指出了凸函數(shù)差的Lipschitz性質(zhì)與次微分之間的關(guān)系，并進一步推廣到與ε次微分之間的關(guān)系。如函數(shù)f，g在D上為下半連續(xù)凸函數(shù)，滿足∶對所有的x，y∈D，f（x）-g（x）≤f（y）-g（y）+h（x-y），那么，對每一個x∈D，?ε＞0，φ≠?εf（x）??εg（x）+?εh（θ）成立。該思想也體現(xiàn)在文獻［7］中。

本文在文獻［6］的基礎上進行探討，利用該思想，指出兩個局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)差與Clarke次微分之間的關(guān)系。

1 預備知識

本文空間X為Banach空間，并記X*為X的對偶空間，設f，g∶X→R局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，記θ為零向量。

定義1正常凸函數(shù)f∶X→R在點x處沿方向d的方向?qū)?shù)定義∶

定義2設f∶X→R局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)f在點x處沿方向d的廣義方向?qū)?shù)定義∶

定義3設f∶X→R正常凸函數(shù)，稱滿足f（y）-f（x）≥＜ξ，y-x＞，y∈X的向量ξ∈X*為凸函數(shù)f在x處的次梯度，并稱f在x處的次梯度的全體構(gòu)成的集合為次微分，記做?f（x）。

定義4設f∶X→R局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，稱滿足f°（x；d）≥＜ξ，d＞，d∈X的向量ξ∈X*為函數(shù)f在x處的次梯度，并稱f在x處的次梯度的全體構(gòu)成的集合為Clarke次微分，記做?°f（x）。

定義5設f∶X→R局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，若f在點x處存在方向?qū)?shù)，并且對所有的d∈X均有f°（x；d）=f′（x；d）成立，則稱f在x處Clarke正則，若f在X上每一點都是Clarke正則的，則稱f是Clarke正則的。

2 主要結(jié)果

定理1設f，g∶X→R局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，h∶X→R可微凸函數(shù)，并且h（θ）=0，有結(jié)論∶（1）?（2）?（3）。

（1）對所有的x，y∈X，滿足

f（x）-g（x）≤f（y）-g（y）-h（x-y）

（2）對每一個x∈X，有

φ≠?°f（x）??°g（x）-?h（θ）

（3）對每一個x∈X，有

?°f（x）∩（?°g（x）-?h（θ））≠φ

證明（1）?（2）因為f為局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，由文獻［8］定理2.59知?°f（x）≠φ，由定理1的條件（1）可得f（x）-f（y）≤g（x）-g（y）-h（x-y），任取x∈X，令x=y+td（其中t∈R，t＞0），則有

f（y+td）-f（y）≤g（y+td）-g（y）-h（y+td-y）在不等式兩邊同時除以t，則在不等式兩邊同時取上極限，那么

由h的可微性，知h是連續(xù)的，所以

即

f°（x；d）≤g°（x；d）-h′（θ；d）

因為h是可微的，所以?h（θ）=｛▽h（θ）｝，對?ξ∈?°f（x），只需證ξ+▽h（θ）∈?°g（x），由ξ∈?°f（x）得，f°（x；d）≥＜ξ，d＞，所以，

g°（x；d）≥＜ξ，d＞+h′（θ；d）≥

＜ξ，d＞+＜▽h（θ），d＞=

＜ξ+▽h（θ），d＞

即

ξ+▽h（θ）∈?°g（x）

所以

φ≠?°f（x）??°g（x）-?h（θ）

（2）?（3）顯然成立。

命題1如果f，g∶X→R是Clarke正則的，那么在定理1中有結(jié)果（1）?（2）?（3）。

證明由于（1）?（2）?（3）在定理1中已證成立，只需說明（3）?（1）即可。因為f，g是Clarke正則的，所以

f°（x；d）=f′（x；d），g°（x；d）=g′（x；d）

所以定理1條件（3）等價于?f（x）∩（?g（x）-?h（θ））≠φ。需證

?f（x）∩（?g（x）-?h（θ））≠φ?

f（x）-f（y）≤g（x）-g（y）-h（x-y）

證明與參考文獻［6］類似，取x，y∈X，并且讓m=1，2， 3，…，記（其中k=0，1，2，…m），由假設條件?f（x）∩（?g（x）-?h（θ））≠φ，則對每一個k，有?f（xk）∩（?g（xk）-?h（θ））≠φ，因為h是可微的，所以?h（θ）=｛▽h（θ）｝，選擇u∈?g（xk）使得），那么

因為▽h（θ）∈?h（θ），得

利用該結(jié)果可以推出

令m→∞，則

即

f（x）-g（x）≤f（y）-g（y）-h（x-y）

命題2設f，g∶X→R局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，h∶X→R可微凸函數(shù)，滿足h（θ）=0，▽h（θ）=0，h（-x）= h（x），若對所有的x，y∈X，滿足f（x）-g（x）≤f（y）-g（y）-h（x-y），則對每一個x∈X，有?°f（x）=?°g（x）≠φ。

證明由定理1知φ≠?°f（x）??°g（x）-?h（θ），因為?h（θ）=｛▽h（θ）｝=｛0｝，所以?°f（x）??°g（x）。由x，y的任意性，根據(jù)條件可得g（x）-f（x）≤g（y）-f（y）-h（y-x），因為h（-x）=h（x），所以g（x）-f（x）≤g（y）-f（y）-h（x-y）。所以由定理1知φ≠?°g（x）??°f（x）-?h（θ）。同理因為?h（θ）=｛▽h（θ）｝=｛0｝，得?°g（x）??°f（x），綜上，?°f（x）=?°g（x）≠φ。

命題3設f，g∶X→R的局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，若f-g為常數(shù)，那么?°f（x）=?°g（x）≠φ。

證明因為f為局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)，由文獻［8］定理2.59知?°f（x）≠φ，由f（x）=g（x）+C（其中C為常數(shù)），任取x∈X，令x=y+td（其中t∈R，t＞0），有

f（y+td）=g（y+td）+C

在等式兩邊同時減去f（y）得

f（y+td）-f（y）=g（y+td）-f（y）+

C=g（y+td）-g（y）

在等式兩邊同時除以t，則

在等式兩邊同時取上極限，那么

即

所以

?°f（x）=?°g（x）≠φ

注∶在文獻［6］中，提供了定義在Banach空間凸函數(shù)差的Lipschitz連續(xù)性的標準，并且涉及了ε次微分，擴大了研究的工作空間。在本文中，主要利用文獻［6］的思想，擴展到對局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)差的研究，所涉及了Clarke次微分，正是Clarke次微分的使用，表明它更適合本文，因為它涉及的函數(shù)不一定是凸函數(shù)。

3 實例

顯然，f，g是局部Lipschitz的，易知，經(jīng)計算得g°，那么g在x處是Clarke正則的，取x=0，y=1，h=x2+x，則f（0）-g（0）≤f（1）-g（1）-h（0-1），那么由定理1可得?°f（0）??°g（0）-?h（0），并且可得?h（0）=｛▽h（0）｝=｛1｝，事實上，在x=0處有且g°（0；d）=，因此，?°f（0）=［-1，1］，?°g（0）=［-2，2］，且?h（0）=｛1｝，則?°g（0）-?h（0）=［-3，1］，所以?°f（0）??°g（0）-?h（0）成立。

［1］Rockafellar R T.Characterization of the subdifferentials of convex functions［J］.Pacific J.M ath.1966'17: 497-510.

［2］Rockafellar R T.On themaximalmonotonicity of subdifferentialmappings［J］.Pacific J.Math'1970'33:209-216.

［3］M oreau J J.Fonctionnelles Convexes'in:Sém inaire Sur leséquations aux dérivées Partielles［J］.Collège de France'1966'71:38-45.

［4］Phelps R R.Convex Functions'M onotone Operators and Differentiability［M］.Berlin:Springer-Verlag'1993.

［5］Clarke FH.Optim ization and Nonsmooth Analysis［M］. New York:John W iely&Sons'1983.

［6］Hantoute A'M artinez L J E.Characterization of Lipschitz continuous difference of convex functions［J］.J. Optim.Theory Appl.2013'159:673-680.

［7］Kocourek P.An elementary new proof of the determ ination of a convex function by its subdifferential［J］. Optim ization'2010'59(8）:1231-1233.

［8］Fukushima M.非線性最優(yōu)化基礎［M］.林貴華'譯.北京:科學出版社'2011.

Characterizations of the Difference of Local Lipschitz Continuous Functions

WANG Jiaojiao，LIJun
（College of Mathematics and Information，China West Normal University，Nangchong 637009，China）

The definition of generalized directional derivative and Clarke subdifferential are used in Banach spaces，and the relation between the difference of two local Lipschitz continuous functions and Clarke subdifferential is pointed out.Based on this，if the two local Lipschitz continuous functions f and g:X→R are Clarke regular，the result is degenerated to the relationship between the classicalε-subdifferential and the difference of two local Lipschitz continuous functions.Then when h is a function which is differentiable，even and convex，under conditions of the theorem 1，the relationship of Clarke differentials of two local Lipschitz continuous functions is pointed out.Finally，when the difference of two local Lipschitz continuous functions is a constant，the relationship of Clarke differentials of the two functions is pointed out.

Lipschitz continuous function；Clarke differential；Clarke subgradient；Clarke regular

O224

A

1673-1549（2014）01-0094-04

10.11863/j.suse.2014.01.24

2013-09-23

國家自然科學基金項目（11371015）；教育部科學技術(shù)重點項目（211163）；四川青年科技基金項目（2012JQ0032）

王嬌嬌（1989-）女，四川成都人，碩士生，主要從事運籌學與控制論方面的研究，（E-mail）jiaojiaowang0221@163.com