李守峰

設(shè)點P（x0，y0），直線L：Ax+By+C=0.則點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0的距離為d=|Ax0+By0+C|A2+B2.本文從這個公式的多種思路證明說明教材的基本結(jié)論對培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要性，并且通過對多重證明情況的分析，達(dá)到既對證明思路進(jìn)行創(chuàng)新，又對所學(xué)知識進(jìn)行相應(yīng)的復(fù)習(xí)與整合，從而達(dá)到事半功倍的效果.

1.循規(guī)但不蹈矩，教材證法尋求創(chuàng)新

分析教材中的證明，運用了數(shù)軸上兩點間的距離公式、勾股定理和三角形的面積法，這種證法既有一定的技巧，有易于學(xué)生接受，而且過程簡單.

證明1 如圖1所設(shè)，

則有：Ax0+Bn+C=0，Am+By0+C=0.

且|PR|2=（m-x0）2=（Am-Ax0）2A2

=（-By0-C-Ax0）2A2=（Ax0+By0+C）2A2.

同理|PS|2=（Ax0+By0+C）2B2.

所以|PQ|2=|PR|2|PS|2|PR|2+|PS|2=（Ax0+By0+C）2A2+B2即：d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

2.麻煩但不放棄，教材提示彰顯功底

分析 教材中給出提示，只需求出垂線的垂足，利用兩點間的距離公式即可.這種思維非常直接.但是在學(xué)生解垂足時顯得有些困難，好多學(xué)生不能正確解得方程組，因此盡管思路無障礙，但是具體過程讓學(xué)生望而生畏！教材中采取提示處理，既給學(xué)生指出了一種思路，又給學(xué)生課下鉆研的機會，可謂是欲擒故縱！

證明2 因為過點P（x0，y0）垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線為Bx-Ay=Bx0-Ay0.

解方程組Ax+By+C=0，

Bx-Ay=Bx0-Ay0

得x0-x=A（Ax0+By0+C）A2+B2，

y0-y=B（Ax0+By0+C）A2+B2，

所以|PQ|2=（x0-xQ）2+（y0-yQ）2，代入整理得

d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

3.構(gòu)造函數(shù)模型，距離轉(zhuǎn)為最值問題

分析 由于點到直線上任意一點的距離是關(guān)于“點”的函數(shù)，而點到直線的距離正是上述函數(shù)的最小值，因此想到構(gòu)造點到直線上任一點的距離的函數(shù)，然后再求它的最小值.

證明3 設(shè)Q（x，y）為直線L：Ax+By+C=0上的動點，則y=-

Ax+CB.

所以|PQ|2=（x0-x）2+（y0-y）2

=（x0-x）2+（y0+Ax+CB）2=A2+B2B2x2+2·ABy0-B2x0+ACB2x+x20+（y0+CB）2.

易知當(dāng)x0-x=A（Ax0+By0+C）A2+B2時，|PQ|2取得最小值.

這時y0-y=y0+Ax+CB=Ax0+By0+CB-A（x0-x）B=B（Ax0+By0+C）A2+B2.

所以易得d=PQ|min=|Ax0+By0+C|A2+B2.

4.構(gòu)造不等模型，最值化為取等問題

說明：在方法3的基礎(chǔ)上，運用柯西不等式直接求出兩點間距離的最小值，即為點到直線的距離.這種方式大大簡化了思維過程和運算量，給人以簡單明了的感覺.

證明4 設(shè)Q（x，y）為直線L：Ax+By+C=0上的動點

則|PQ|2=（x0-x）2+（y0-y）2=（Ax0-Ax）2A2+（By0-By）2B2≥（Ax0-Ax+By0-By）2A2+B2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.

故有：d=|Ax0+By0+C|A2+B2.（取等號條件為x0-xA=y0-yB，這時Q為垂足）

5.構(gòu)造向量模型，距離化為射影問題

分析 以直線上任一點為起點，定點為終點作向量，則該點到直線的距離又轉(zhuǎn)化為向量在直線上的射影問題，為此有如下的解法.

證明5 在直線L上任取一點Q（x，y），過Q作直線L的法向量QB， 則QB=（A，B）.

易知點P到L的距離等于向量QP在QB上的射影的絕對值.

所以d=|PQ| |cosθ|=|QP||OP·QA||QP||QA|=

|QP·OA||QA|

=|（A，B）·（x0-x1，y0-y1）|A2+B2=

|A（x0-x1）+（By0-y1）|A2+B2=

|Ax0+By0-（Ax1+By1）|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

6.引入?yún)?shù)變量，距離轉(zhuǎn)為有向線段的模

分析 由一點向已知直線作垂線，垂線的方程可用參數(shù)方程表示，這樣只要求出垂足對應(yīng)的有向線段，則該有向線段的長即為點到直線的距離，為此又得

證明6 設(shè)PQ⊥L，因為L：Ax+By+C=0，

則PQ的斜率為BA（斜率不存在的情況略），故直線PQ的參數(shù)方程為x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ（tanθ=BA），所以L：A（x0+tcosθ）+B（y0+tsinθ）+C=0，解得：t=

Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ=Ax0+By0+CA2+B2，

即：d=|t|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

7.運用直線參數(shù)方程，距離化為有向線段最小值

分析 構(gòu)造過定點的旋轉(zhuǎn)直線系，當(dāng)旋轉(zhuǎn)直線系中的某條直線與已知直線垂直時，則該直線的對應(yīng)有向線段的長度即為點到直線的距離.

證明7 將x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ （t，θ均為參數(shù)）代入L得 A（x0+tcosθ）+B（y0+tsinθ）+C=0，解得：t=-Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ.

由幾何意義可知，上述|t|的最小值即為點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0 的距離.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.運用面積公式，距離化為底邊高

分析 若取直線上任意兩點，該兩點與定點構(gòu)成三角形，該三角形的面積可用三頂點的坐標(biāo)行列式表示，而邊上的高（點到直線的距離）正好可用面積法求得，為此得

證明8 如圖，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，運用勾股定理求距離

分析 如圖，由向量的性質(zhì)可求得直線的法向量，然后再求法向量的模即可.為此又得

證明9 在直線L：Ax+By+C=0上任取兩點A、B，過P（x0，y0）作PQ⊥L，Q為垂足，并設(shè)：A（x1，y1），B（x2，y2）， 記Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由圖形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.將Δy=-AB·（Δx）代入并化簡得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，過程巧處理

分析 由于垂足指向定點的向量與直線的法向量共線

，故設(shè)出垂足的坐標(biāo)后，可得關(guān)于垂足的兩個方程，將這兩個方程適當(dāng)變形即可構(gòu)造出兩點間的距離表達(dá)式，這種解法可謂獨具匠心！

證明10 過點P（x0，y0）作垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線，設(shè)垂足為Q.

則B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可見：教材是法寶，它蘊含著無窮的力量，教學(xué)中一定要牢牢抓住教材這個根本.任何舍本求末的作法都偏離了教學(xué)之根本，任何的題海戰(zhàn)術(shù)只能是通過大量的體力付出，結(jié)果收效甚微.如果我們注重教材的挖掘，不但能減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且培養(yǎng)學(xué)生注重基礎(chǔ)知識的運用，尋找知識之間的聯(lián)系，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的目的.我們的師生是不是可以達(dá)到教與學(xué)是一種享受的境界呢！

由幾何意義可知，上述|t|的最小值即為點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0 的距離.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.運用面積公式，距離化為底邊高

分析 若取直線上任意兩點，該兩點與定點構(gòu)成三角形，該三角形的面積可用三頂點的坐標(biāo)行列式表示，而邊上的高（點到直線的距離）正好可用面積法求得，為此得

證明8 如圖，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，運用勾股定理求距離

分析 如圖，由向量的性質(zhì)可求得直線的法向量，然后再求法向量的模即可.為此又得

證明9 在直線L：Ax+By+C=0上任取兩點A、B，過P（x0，y0）作PQ⊥L，Q為垂足，并設(shè)：A（x1，y1），B（x2，y2）， 記Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由圖形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.將Δy=-AB·（Δx）代入并化簡得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，過程巧處理

分析 由于垂足指向定點的向量與直線的法向量共線

，故設(shè)出垂足的坐標(biāo)后，可得關(guān)于垂足的兩個方程，將這兩個方程適當(dāng)變形即可構(gòu)造出兩點間的距離表達(dá)式，這種解法可謂獨具匠心！

證明10 過點P（x0，y0）作垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線，設(shè)垂足為Q.

則B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可見：教材是法寶，它蘊含著無窮的力量，教學(xué)中一定要牢牢抓住教材這個根本.任何舍本求末的作法都偏離了教學(xué)之根本，任何的題海戰(zhàn)術(shù)只能是通過大量的體力付出，結(jié)果收效甚微.如果我們注重教材的挖掘，不但能減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且培養(yǎng)學(xué)生注重基礎(chǔ)知識的運用，尋找知識之間的聯(lián)系，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的目的.我們的師生是不是可以達(dá)到教與學(xué)是一種享受的境界呢！

由幾何意義可知，上述|t|的最小值即為點P（x0，y0）到直線L：Ax+By+C=0 的距離.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.運用面積公式，距離化為底邊高

分析 若取直線上任意兩點，該兩點與定點構(gòu)成三角形，該三角形的面積可用三頂點的坐標(biāo)行列式表示，而邊上的高（點到直線的距離）正好可用面積法求得，為此得

證明8 如圖，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，運用勾股定理求距離

分析 如圖，由向量的性質(zhì)可求得直線的法向量，然后再求法向量的模即可.為此又得

證明9 在直線L：Ax+By+C=0上任取兩點A、B，過P（x0，y0）作PQ⊥L，Q為垂足，并設(shè)：A（x1，y1），B（x2，y2）， 記Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由圖形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.將Δy=-AB·（Δx）代入并化簡得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，過程巧處理

分析 由于垂足指向定點的向量與直線的法向量共線

，故設(shè)出垂足的坐標(biāo)后，可得關(guān)于垂足的兩個方程，將這兩個方程適當(dāng)變形即可構(gòu)造出兩點間的距離表達(dá)式，這種解法可謂獨具匠心！

證明10 過點P（x0，y0）作垂直于直線L：Ax+By+C=0的直線，設(shè)垂足為Q.

則B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可見：教材是法寶，它蘊含著無窮的力量，教學(xué)中一定要牢牢抓住教材這個根本.任何舍本求末的作法都偏離了教學(xué)之根本，任何的題海戰(zhàn)術(shù)只能是通過大量的體力付出，結(jié)果收效甚微.如果我們注重教材的挖掘，不但能減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，而且培養(yǎng)學(xué)生注重基礎(chǔ)知識的運用，尋找知識之間的聯(lián)系，從而達(dá)到觸類旁通、舉一反三的目的.我們的師生是不是可以達(dá)到教與學(xué)是一種享受的境界呢！