胡緒+宋曉林

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是基于數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，是彰顯學(xué)生自主性的教學(xué)，是遵循教學(xué)交往本質(zhì)的教學(xué)。在處方式教學(xué)中，教師的教學(xué)行為包括設(shè)計、誘導(dǎo)、診斷、開方、評價、反思，學(xué)生的思維活動包括生疑、探究、明了、內(nèi)化、遷移，它們形成兩個系統(tǒng)交互作用，進(jìn)而演化出“巧設(shè)問題，生疑探究”、“反饋診斷，明晰病因”、“澄清問題，精講點撥”、“訓(xùn)練內(nèi)化，建構(gòu)新知”、“拓展遷移，提升能力”五個基本階段。

數(shù)學(xué)思維 診斷 處方式教學(xué) 問題教學(xué)

在數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域，問題教學(xué)一直受到眾多數(shù)學(xué)教育家和教育工作者的青睞。圍繞問題，數(shù)學(xué)教學(xué)過程得以展開，隨著問題解決的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到鍛煉。從理論上我們認(rèn)識到了問題教學(xué)的優(yōu)勢，而在實際教學(xué)中，問題則成為學(xué)生反復(fù)訓(xùn)練和練習(xí)的對象，教師對問題的利用和處理呈現(xiàn)單一、機(jī)械化的特征。數(shù)學(xué)問題教學(xué)已淪為教師協(xié)同學(xué)生迅速獲得數(shù)學(xué)答案的過程，其內(nèi)涵和韻味被功利沖淡了，其理想的教育效果也打了折扣。因此，我們在此針對以問題為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)的實然提出處方式教學(xué)。

一、數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的基本意蘊

1979年，美國學(xué)者朱迪斯·阿特（J.A.Arter）和約瑟夫·杰肯（J.R.Jenkins）從學(xué)生評價的角度提出了“診斷式教學(xué)”（diagnostic teaching）的概念[1]。這對后來的教學(xué)研究者有很大的啟示，教師的教學(xué)行為就好比是醫(yī)生為病人進(jìn)行的臨床診斷，它也遵行先“診斷”后“開處方”的“醫(yī)治”原則。在以問題為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行診斷，然后對癥下藥，醫(yī)治學(xué)生在學(xué)習(xí)中所表現(xiàn)出的問題，進(jìn)而幫助學(xué)生的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)“恢復(fù)”平衡，讓學(xué)生獲得新的知識、體驗和成就，應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育者的共同追求。這種理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，我們稱之為數(shù)學(xué)處方式教學(xué)，其意蘊主要表現(xiàn)在以下三個方面。

1.數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是基于數(shù)學(xué)問題的教學(xué)

圍繞數(shù)學(xué)問題展開教學(xué)過程，已得到數(shù)學(xué)教育界的公認(rèn)。諸如喬治·波利亞這樣的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家就很重視數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中的重要作用，不僅如此，他還以自己的研究和體會對怎樣解題進(jìn)行了全面的剖析和闡述[2]。上世紀(jì)后期，國際數(shù)學(xué)教育界也將數(shù)學(xué)教育和教學(xué)的中心轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)問題教學(xué)上[3]?？梢?，以數(shù)學(xué)問題為核心是數(shù)學(xué)教育的必然發(fā)展。在我國當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，怎樣利用數(shù)學(xué)問題更是成為了數(shù)學(xué)教育必須慎重、認(rèn)真研究的課題?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已明確提出基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育要培養(yǎng)學(xué)生“基本的數(shù)學(xué)思維”[4]，而其關(guān)鍵的途徑就是有效利用數(shù)學(xué)問題，因為圍繞數(shù)學(xué)問題開展的教學(xué)集中體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)、探究等教學(xué)方法和分析、綜合等思維方式。

數(shù)學(xué)問題重要而復(fù)雜，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)問題更是千奇百怪、無所不有。而處方式教學(xué)首先引導(dǎo)學(xué)生盡量地暴露問題，然后根據(jù)他們表現(xiàn)出的真實問題展開教學(xué)，對問題進(jìn)行點撥、歸納、總結(jié)、升華。整個教學(xué)起始于問題的顯露，延續(xù)于問題的解決，結(jié)束于對問題深層次的認(rèn)識乃至遷移。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是圍繞問題層層遞進(jìn)的教學(xué)，是基于數(shù)學(xué)問題的教學(xué)。

2.數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是彰顯學(xué)生自主性的教學(xué)

處方式教學(xué)的思想來源于醫(yī)生救治病人的思路，但是它又有自己獨特的地方。醫(yī)生醫(yī)治病人時，病人已經(jīng)是“問題纏身”了，而教師開始教學(xué)時，學(xué)生并未在未來要學(xué)習(xí)的知識和方法上表現(xiàn)出任何問題。因此，不同于醫(yī)生治病，教師需要讓學(xué)生暴露出自己的問題，進(jìn)而開展教學(xué)。而對于學(xué)生會出現(xiàn)什么樣的問題，教師最多就是預(yù)測，要做到真實地掌握還必須讓學(xué)生自己主動暴露出來。所以，為了作出準(zhǔn)確地診斷，教師要有讓學(xué)生犯錯的膽量，放手讓學(xué)生自己先去探索新知，在自己的努力中犯錯。在這個“犯錯”的過程中，學(xué)生享有最大的自主權(quán)，教師只需要提供學(xué)習(xí)的材料和任務(wù)，作簡單、明確的要求，剩下的事情就讓學(xué)生自己去完成。此外，在整個處方式教學(xué)過程中，教師要及時、準(zhǔn)確地接收、分析從學(xué)生那里反饋回來的信息，這就要求保證這些信息的真實和原始性，而學(xué)生真實的問題一定是學(xué)生自己主動暴露出來的，教師預(yù)設(shè)的問題不能達(dá)到進(jìn)行有效教學(xué)的目的。所以，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)彰顯了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性和自主性。

3.數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是彰顯教學(xué)交往本質(zhì)的教學(xué)

對于教學(xué)的本質(zhì)，有研究者用“認(rèn)識”[5]加以解釋，有研究者以“發(fā)展”來闡述，有研究者以“交往”[6]概之……從教學(xué)實踐觀來看，在眾多的教學(xué)本質(zhì)觀中，教學(xué)“交往觀”應(yīng)該是最貼近真實的教學(xué)實踐的。因此，在開展處方式教學(xué)研究中，也遵循教學(xué)交往本質(zhì)觀來建構(gòu)教學(xué)理論和實踐模式。具體而言，在處方式教學(xué)中，教師和學(xué)生是兩個相對獨立但彼此聯(lián)系的系統(tǒng)，兩者彼此發(fā)出信息和接受反饋，推進(jìn)教學(xué)過程的展開。教師以“醫(yī)生”的角色，通過“誘導(dǎo)”、“診斷”、“開方”等行為，對學(xué)生的整個學(xué)習(xí)進(jìn)程進(jìn)行診斷；學(xué)生則扮演了“病人”的角色，在教師的引導(dǎo)下暴露出在將要學(xué)習(xí)的知識結(jié)構(gòu)方面的缺陷。在這個過程中，教師和學(xué)生時時刻刻處在行為和思維的交往中。因此，處方式教學(xué)過程是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過交往逐漸走向成熟、新舊知識結(jié)構(gòu)逐漸恢復(fù)平衡的過程。

二、數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的基本系統(tǒng)

基于數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的基本意蘊，著眼于將處方式教學(xué)的理念切實運用到真實的教學(xué)實踐，我們進(jìn)一步探討數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的兩大基本交互系統(tǒng)：教師的行為系統(tǒng)和學(xué)生的思維系統(tǒng)。

1.教師的行為系統(tǒng)

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)中，教師的角色舉足輕重，他們是教學(xué)活動設(shè)計、開展、評價的主導(dǎo)者，是教學(xué)進(jìn)程開展的指揮者，是教學(xué)過程出現(xiàn)突發(fā)事件的應(yīng)變者。在整個處方式教學(xué)過程中，教師以自己的行為調(diào)整著教學(xué)進(jìn)程，在不同階段的行為總和構(gòu)成了教師的行為系統(tǒng)。具體而言，教師的行為包括：設(shè)計，誘導(dǎo)，診斷，開方，評價，反思。

處方式教學(xué)始于教師對學(xué)生新舊知識聯(lián)結(jié)的研究，在這個階段，教師要對教學(xué)的目標(biāo)、內(nèi)容、方法、組織形式、評價等做全面的考量。因為處方式教學(xué)需要學(xué)生能夠完全、真實地暴露出自己的問題，讓教師“對癥下藥”，所以，開發(fā)科學(xué)有效的診斷工具就顯得至關(guān)重要。設(shè)計以及診斷工具準(zhǔn)備妥當(dāng)之后，教師就要領(lǐng)著學(xué)生開始圍繞著數(shù)學(xué)問題實施后面的教學(xué)行為。第一，教師在相信學(xué)生學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生自主思維的前提下利用診斷工具誘導(dǎo)學(xué)生出現(xiàn)錯誤，并使用適當(dāng)?shù)墓ぞ吆头椒z測學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。第二，教師對診斷工具反饋回來的信息進(jìn)行分析，查找學(xué)生在學(xué)習(xí)中的薄弱地方，包括知識方面、行為方面、習(xí)慣方面、態(tài)度方面等的弱勢。診斷是處方式教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，它關(guān)系著教師能否準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，能否針對問題開出良方。因此，教師需要結(jié)合多種方式來對學(xué)生反映出的問題進(jìn)行診斷。比如，和學(xué)生直接交流、考量相關(guān)知識的聯(lián)系等。第三，作為醫(yī)生的教師要“對癥下藥”。如果學(xué)生是因為新舊知識聯(lián)結(jié)不當(dāng)，那么教師就要幫助學(xué)生澄清新舊知識的關(guān)系；如果學(xué)生是因為學(xué)習(xí)方法不當(dāng)導(dǎo)致的問題，那么教師就需要對學(xué)生著重進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)。開方環(huán)節(jié)也體現(xiàn)了因材施教的教學(xué)原則，不同學(xué)生的不同問題需得到不同的診斷和處方。第四，在開方之后，教師接下來的工作就是對前面整個行為活動進(jìn)行有效的評價，直接的關(guān)注點是學(xué)生對所學(xué)知識的掌握和數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練程度，因為這是最容易通過檢測的方式獲得的。第五，教師結(jié)合可量化的測驗結(jié)果深入分析自己在前面幾個行為中的得失，并探究如何在下一個教學(xué)循環(huán)中改進(jìn)提升。在完成上述五個環(huán)節(jié)的行為后，教師需對整個行為系統(tǒng)進(jìn)行反思。及時有效地反思能保證教師在接下來的處方式教學(xué)實踐中提高教學(xué)的有效性。

2.學(xué)生的思維系統(tǒng)

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的根本旨趣是通過數(shù)學(xué)知識培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)技能，訓(xùn)練學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思維。因此，與教師的行為系統(tǒng)相對應(yīng)，作為有學(xué)習(xí)主體性的學(xué)生在處方式教學(xué)中也有自己以思維活動為核心的思維系統(tǒng)。具體而言，學(xué)生的思維活動包括：生疑，探究，明了，內(nèi)化，遷移。

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)基于數(shù)學(xué)問題，以培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維為核心。在教師的行為系統(tǒng)中，教學(xué)設(shè)計與誘導(dǎo)的目的是激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生對新知識進(jìn)行積極的思考，當(dāng)這些行為作用到學(xué)生時，學(xué)生必然會對新接觸的事物和知識產(chǎn)生疑惑，這也是教師希望看到的結(jié)果。學(xué)生的疑惑說明學(xué)生在思考問題，在利用自己的舊知嘗試?yán)斫庑轮徒鉀Q新問題，這也表明學(xué)生在積極地探究新知?？梢姡膳c探究是兩個密不可分的活動，學(xué)生產(chǎn)生并帶著疑問進(jìn)行探究，又在探究中尋求讓自己明了的答案。就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，教師不能也不應(yīng)奢望他們能在自己的指導(dǎo)下解決一切問題而不犯錯。學(xué)生生疑和探究的結(jié)果，是教師診斷和開方的依據(jù)和著力點。在數(shù)學(xué)處方式教學(xué)中，學(xué)生會從教師對自己的診斷結(jié)果中得到相應(yīng)的幫助，比如學(xué)法指導(dǎo)、知識澄清等，在教師這些行為的作用下，學(xué)生自己的知識體系得到完善、思維能力得到提升，進(jìn)而表現(xiàn)出對知識的理解和明了。“學(xué)而時習(xí)之”，這告訴我們“明了”還需得到進(jìn)一步的強(qiáng)化。所以，教師還需開出新方子讓學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、思維能力得到進(jìn)一步的穩(wěn)固和提升，進(jìn)而將新思維和新知識內(nèi)化為學(xué)生自己思維和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分。出于培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維的目的，學(xué)生的思維活動還不止于此。學(xué)生還需展示所掌握的數(shù)學(xué)知識、技能和思維在新情境中的遷移和運用能力，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的拓展和后繼學(xué)習(xí)的鋪墊。

作為完整處方式教學(xué)的核心，教師的行為系統(tǒng)和學(xué)生的思維系統(tǒng)是并行不悖、相依相存的兩個交互系統(tǒng)。教師以自己的行為指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、暴露問題，學(xué)生又以主體的身份向教師反饋信息，為教師診斷開方提供信息。這種彼此照應(yīng)的交互作用讓處方式教學(xué)時時刻刻表現(xiàn)出“診斷——開處方”的特征（如圖1）。

圖1數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的交互系統(tǒng)

三、數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的基本過程

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)過程是數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的核心范疇之一，其主要源于教師行為系統(tǒng)和學(xué)生思維系統(tǒng)的交互作用，主要包括以下五個階段及相互作用。

1.巧設(shè)問題，生疑探究

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是基于數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，也是利用問題讓學(xué)生暴露自己的知識、思維等缺點的教學(xué)。因此，教學(xué)真正起始于教師所設(shè)計的診斷問題。在課堂教學(xué)開始之時，教師利用設(shè)計的問題組織、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，并適時地探索、完成教師安排的相應(yīng)任務(wù)，其主要任務(wù)是組織和指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)探究，讓學(xué)生掌握基本的學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)相信良好的教學(xué)效果源于學(xué)生端正的學(xué)習(xí)態(tài)度、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、正確的學(xué)習(xí)方法。因此，在這個階段教師首先是讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)習(xí)過程中嘗試使用并掌握基本的數(shù)學(xué)思維方式。與教師的目的和行為相對應(yīng)，學(xué)生的主要活動是自學(xué)教學(xué)內(nèi)容，并基于問題進(jìn)行探究以求解惑。學(xué)生在自學(xué)的基礎(chǔ)上，需要就自己的所學(xué)和教師、同伴展開交流，但教師并不就此幫助學(xué)生完全解決問題，而是放手讓他們繼續(xù)思考、探究，以求在思維上有所突破。因此，教師的設(shè)計誘導(dǎo)和學(xué)生的生疑探究共同組成了數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的第一個階段。

2.反饋診斷，明晰病因

準(zhǔn)確地診斷學(xué)生的學(xué)情，是處方式教學(xué)的核心。在本階段，教師根據(jù)兩個層面對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行診斷。一個層面是學(xué)生的自主探究過程。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)認(rèn)為，“學(xué)習(xí)過程”也是學(xué)生的成果之一。學(xué)生在過程中的行為反映出態(tài)度、習(xí)慣、方法使用等，這些既是我們考察的學(xué)習(xí)結(jié)果，因為它們對學(xué)生掌握知識有直接的影響，也是我們分析學(xué)生暴露問題的依據(jù)。診斷考察的第二個層面是學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果。這主要集中在對學(xué)生掌握的知識的診斷上。為了對學(xué)生在這兩個層面暴露出的問題有清楚的了解，教師需要從多個層面探明學(xué)生的病因。比如，哪些問題是學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、粗心大意造成的，哪些問題是學(xué)生思維不到位引起的，哪些是學(xué)生基本知識掌握不牢造成的。這樣，診斷才能有針對性和準(zhǔn)確性，也才能為接下來的問題澄清做好準(zhǔn)備。

3.澄清問題，精講點撥

在這一階段，教師結(jié)合教學(xué)重點和難點，澄清學(xué)生暴露出的問題，剖析知識要點，分析知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出分析學(xué)生在自學(xué)中暴露出的解決問題的思維方式和思維過程上的問題。在這個過程中，教師地點撥要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，注意點撥的范圍和層次等。教師還要對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)進(jìn)行評價、點撥，以激勵為原則鼓勵學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；對學(xué)生就現(xiàn)有知識能力水平難以理解和使用的一些知識和方法，教師要予以精講、補(bǔ)充或拓展。在精講過程中，教師的語言使用要精煉、規(guī)范、簡潔、準(zhǔn)確。同時，精講之余要給學(xué)生留有思考、消化的空間和時間，讓學(xué)生能及時反思自己之前的學(xué)習(xí)過程，從教師的講解中發(fā)現(xiàn)自己的不足以及體會運用智慧的樂趣。在澄清問題，精講點撥的過程中，教師要遵循及時、適時、適度的原則，以促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、積極探究。

4.訓(xùn)練內(nèi)化，建構(gòu)新知

課堂訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過訓(xùn)練才能促成知識的內(nèi)化。因此，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的訓(xùn)練需要注意三個層面與多種方式結(jié)合。三個層面：一是知識和技能層面，包括基本知識或重點知識的識記、理解、運用以及基本的解題技能的訓(xùn)練內(nèi)化；二是過程與方法層面，包括自主學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)思維及相應(yīng)的策略訓(xùn)練等；三是情感態(tài)度層面，包括要培養(yǎng)并形成正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，體會數(shù)學(xué)解題思維帶來的樂趣等。多種方式是指根據(jù)訓(xùn)練目的和內(nèi)容的差異，靈活采用不同或多種訓(xùn)練方式。比如，可以采用主題討論的方式讓學(xué)生理解并掌握某一數(shù)學(xué)主題涉及的知識、方法等，也可以采用分層訓(xùn)練的方式讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)中都有相應(yīng)的收獲?？傊?xùn)練內(nèi)化的目的是讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在教師的點撥下，重新整理思路，將新知納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成一個新的穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)。

5.拓展遷移，提升能力

在訓(xùn)練內(nèi)化的基礎(chǔ)上，處方式教學(xué)應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)拓展訓(xùn)練。拓展遷移的目的是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，訓(xùn)練所用的材料要有利于促進(jìn)學(xué)生開動腦筋進(jìn)行思考，不只是單純運用記憶等基本技能。題型的選擇應(yīng)多樣化，既要有操作實踐等動手探究類題型，還應(yīng)有思考探究類題型。每類題型的設(shè)置應(yīng)有針對性，難易有梯度，能力要求有綜合性等。此外，能力提升的一個重要表征是讓學(xué)生表述自己的學(xué)習(xí)體驗與收獲。這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力外顯的重要途徑，也是學(xué)生對自己學(xué)習(xí)的集中認(rèn)識和反思。

圖2 數(shù)學(xué)處方式教學(xué)過程示意圖

需強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的過程不是這五個階段的簡單推進(jìn)。在教學(xué)實踐中，教師需結(jié)合具體教學(xué)情境，在理解處方式教學(xué)兩大系統(tǒng)的前提下，靈活取舍或重復(fù)使用其中的某些階段（如圖2）。

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[5] 王策三.教學(xué)論稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.現(xiàn)代教學(xué)論綱要.北京：人民教育出版社，2005.

【責(zé)任編輯 郭振玲】

2.學(xué)生的思維系統(tǒng)

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的根本旨趣是通過數(shù)學(xué)知識培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)技能，訓(xùn)練學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思維。因此，與教師的行為系統(tǒng)相對應(yīng)，作為有學(xué)習(xí)主體性的學(xué)生在處方式教學(xué)中也有自己以思維活動為核心的思維系統(tǒng)。具體而言，學(xué)生的思維活動包括：生疑，探究，明了，內(nèi)化，遷移。

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)基于數(shù)學(xué)問題，以培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維為核心。在教師的行為系統(tǒng)中，教學(xué)設(shè)計與誘導(dǎo)的目的是激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生對新知識進(jìn)行積極的思考，當(dāng)這些行為作用到學(xué)生時，學(xué)生必然會對新接觸的事物和知識產(chǎn)生疑惑，這也是教師希望看到的結(jié)果。學(xué)生的疑惑說明學(xué)生在思考問題，在利用自己的舊知嘗試?yán)斫庑轮徒鉀Q新問題，這也表明學(xué)生在積極地探究新知?？梢姡膳c探究是兩個密不可分的活動，學(xué)生產(chǎn)生并帶著疑問進(jìn)行探究，又在探究中尋求讓自己明了的答案。就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，教師不能也不應(yīng)奢望他們能在自己的指導(dǎo)下解決一切問題而不犯錯。學(xué)生生疑和探究的結(jié)果，是教師診斷和開方的依據(jù)和著力點。在數(shù)學(xué)處方式教學(xué)中，學(xué)生會從教師對自己的診斷結(jié)果中得到相應(yīng)的幫助，比如學(xué)法指導(dǎo)、知識澄清等，在教師這些行為的作用下，學(xué)生自己的知識體系得到完善、思維能力得到提升，進(jìn)而表現(xiàn)出對知識的理解和明了。“學(xué)而時習(xí)之”，這告訴我們“明了”還需得到進(jìn)一步的強(qiáng)化。所以，教師還需開出新方子讓學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、思維能力得到進(jìn)一步的穩(wěn)固和提升，進(jìn)而將新思維和新知識內(nèi)化為學(xué)生自己思維和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分。出于培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維的目的，學(xué)生的思維活動還不止于此。學(xué)生還需展示所掌握的數(shù)學(xué)知識、技能和思維在新情境中的遷移和運用能力，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的拓展和后繼學(xué)習(xí)的鋪墊。

作為完整處方式教學(xué)的核心，教師的行為系統(tǒng)和學(xué)生的思維系統(tǒng)是并行不悖、相依相存的兩個交互系統(tǒng)。教師以自己的行為指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、暴露問題，學(xué)生又以主體的身份向教師反饋信息，為教師診斷開方提供信息。這種彼此照應(yīng)的交互作用讓處方式教學(xué)時時刻刻表現(xiàn)出“診斷——開處方”的特征（如圖1）。

圖1數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的交互系統(tǒng)

三、數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的基本過程

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)過程是數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的核心范疇之一，其主要源于教師行為系統(tǒng)和學(xué)生思維系統(tǒng)的交互作用，主要包括以下五個階段及相互作用。

1.巧設(shè)問題，生疑探究

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是基于數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，也是利用問題讓學(xué)生暴露自己的知識、思維等缺點的教學(xué)。因此，教學(xué)真正起始于教師所設(shè)計的診斷問題。在課堂教學(xué)開始之時，教師利用設(shè)計的問題組織、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，并適時地探索、完成教師安排的相應(yīng)任務(wù)，其主要任務(wù)是組織和指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)探究，讓學(xué)生掌握基本的學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)相信良好的教學(xué)效果源于學(xué)生端正的學(xué)習(xí)態(tài)度、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、正確的學(xué)習(xí)方法。因此，在這個階段教師首先是讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)習(xí)過程中嘗試使用并掌握基本的數(shù)學(xué)思維方式。與教師的目的和行為相對應(yīng)，學(xué)生的主要活動是自學(xué)教學(xué)內(nèi)容，并基于問題進(jìn)行探究以求解惑。學(xué)生在自學(xué)的基礎(chǔ)上，需要就自己的所學(xué)和教師、同伴展開交流，但教師并不就此幫助學(xué)生完全解決問題，而是放手讓他們繼續(xù)思考、探究，以求在思維上有所突破。因此，教師的設(shè)計誘導(dǎo)和學(xué)生的生疑探究共同組成了數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的第一個階段。

2.反饋診斷，明晰病因

準(zhǔn)確地診斷學(xué)生的學(xué)情，是處方式教學(xué)的核心。在本階段，教師根據(jù)兩個層面對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行診斷。一個層面是學(xué)生的自主探究過程。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)認(rèn)為，“學(xué)習(xí)過程”也是學(xué)生的成果之一。學(xué)生在過程中的行為反映出態(tài)度、習(xí)慣、方法使用等，這些既是我們考察的學(xué)習(xí)結(jié)果，因為它們對學(xué)生掌握知識有直接的影響，也是我們分析學(xué)生暴露問題的依據(jù)。診斷考察的第二個層面是學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果。這主要集中在對學(xué)生掌握的知識的診斷上。為了對學(xué)生在這兩個層面暴露出的問題有清楚的了解，教師需要從多個層面探明學(xué)生的病因。比如，哪些問題是學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、粗心大意造成的，哪些問題是學(xué)生思維不到位引起的，哪些是學(xué)生基本知識掌握不牢造成的。這樣，診斷才能有針對性和準(zhǔn)確性，也才能為接下來的問題澄清做好準(zhǔn)備。

3.澄清問題，精講點撥

在這一階段，教師結(jié)合教學(xué)重點和難點，澄清學(xué)生暴露出的問題，剖析知識要點，分析知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出分析學(xué)生在自學(xué)中暴露出的解決問題的思維方式和思維過程上的問題。在這個過程中，教師地點撥要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，注意點撥的范圍和層次等。教師還要對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)進(jìn)行評價、點撥，以激勵為原則鼓勵學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；對學(xué)生就現(xiàn)有知識能力水平難以理解和使用的一些知識和方法，教師要予以精講、補(bǔ)充或拓展。在精講過程中，教師的語言使用要精煉、規(guī)范、簡潔、準(zhǔn)確。同時，精講之余要給學(xué)生留有思考、消化的空間和時間，讓學(xué)生能及時反思自己之前的學(xué)習(xí)過程，從教師的講解中發(fā)現(xiàn)自己的不足以及體會運用智慧的樂趣。在澄清問題，精講點撥的過程中，教師要遵循及時、適時、適度的原則，以促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、積極探究。

4.訓(xùn)練內(nèi)化，建構(gòu)新知

課堂訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過訓(xùn)練才能促成知識的內(nèi)化。因此，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的訓(xùn)練需要注意三個層面與多種方式結(jié)合。三個層面：一是知識和技能層面，包括基本知識或重點知識的識記、理解、運用以及基本的解題技能的訓(xùn)練內(nèi)化；二是過程與方法層面，包括自主學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)思維及相應(yīng)的策略訓(xùn)練等；三是情感態(tài)度層面，包括要培養(yǎng)并形成正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，體會數(shù)學(xué)解題思維帶來的樂趣等。多種方式是指根據(jù)訓(xùn)練目的和內(nèi)容的差異，靈活采用不同或多種訓(xùn)練方式。比如，可以采用主題討論的方式讓學(xué)生理解并掌握某一數(shù)學(xué)主題涉及的知識、方法等，也可以采用分層訓(xùn)練的方式讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)中都有相應(yīng)的收獲?？傊?，訓(xùn)練內(nèi)化的目的是讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在教師的點撥下，重新整理思路，將新知納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成一個新的穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)。

5.拓展遷移，提升能力

在訓(xùn)練內(nèi)化的基礎(chǔ)上，處方式教學(xué)應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)拓展訓(xùn)練。拓展遷移的目的是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，訓(xùn)練所用的材料要有利于促進(jìn)學(xué)生開動腦筋進(jìn)行思考，不只是單純運用記憶等基本技能。題型的選擇應(yīng)多樣化，既要有操作實踐等動手探究類題型，還應(yīng)有思考探究類題型。每類題型的設(shè)置應(yīng)有針對性，難易有梯度，能力要求有綜合性等。此外，能力提升的一個重要表征是讓學(xué)生表述自己的學(xué)習(xí)體驗與收獲。這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力外顯的重要途徑，也是學(xué)生對自己學(xué)習(xí)的集中認(rèn)識和反思。

圖2 數(shù)學(xué)處方式教學(xué)過程示意圖

需強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的過程不是這五個階段的簡單推進(jìn)。在教學(xué)實踐中，教師需結(jié)合具體教學(xué)情境，在理解處方式教學(xué)兩大系統(tǒng)的前提下，靈活取舍或重復(fù)使用其中的某些階段（如圖2）。

參考文獻(xiàn)

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.北京：科學(xué)出版社，2006.

[3] 喬連全.基于問題解決的數(shù)學(xué)教學(xué)研究.廈門：廈門大學(xué)出版社，2010.

[4] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5] 王策三.教學(xué)論稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.現(xiàn)代教學(xué)論綱要.北京：人民教育出版社，2005.

【責(zé)任編輯 郭振玲】

2.學(xué)生的思維系統(tǒng)

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的根本旨趣是通過數(shù)學(xué)知識培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)技能，訓(xùn)練學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思維。因此，與教師的行為系統(tǒng)相對應(yīng)，作為有學(xué)習(xí)主體性的學(xué)生在處方式教學(xué)中也有自己以思維活動為核心的思維系統(tǒng)。具體而言，學(xué)生的思維活動包括：生疑，探究，明了，內(nèi)化，遷移。

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)基于數(shù)學(xué)問題，以培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維為核心。在教師的行為系統(tǒng)中，教學(xué)設(shè)計與誘導(dǎo)的目的是激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使學(xué)生對新知識進(jìn)行積極的思考，當(dāng)這些行為作用到學(xué)生時，學(xué)生必然會對新接觸的事物和知識產(chǎn)生疑惑，這也是教師希望看到的結(jié)果。學(xué)生的疑惑說明學(xué)生在思考問題，在利用自己的舊知嘗試?yán)斫庑轮徒鉀Q新問題，這也表明學(xué)生在積極地探究新知?？梢?，生疑與探究是兩個密不可分的活動，學(xué)生產(chǎn)生并帶著疑問進(jìn)行探究，又在探究中尋求讓自己明了的答案。就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，教師不能也不應(yīng)奢望他們能在自己的指導(dǎo)下解決一切問題而不犯錯。學(xué)生生疑和探究的結(jié)果，是教師診斷和開方的依據(jù)和著力點。在數(shù)學(xué)處方式教學(xué)中，學(xué)生會從教師對自己的診斷結(jié)果中得到相應(yīng)的幫助，比如學(xué)法指導(dǎo)、知識澄清等，在教師這些行為的作用下，學(xué)生自己的知識體系得到完善、思維能力得到提升，進(jìn)而表現(xiàn)出對知識的理解和明了?！皩W(xué)而時習(xí)之”，這告訴我們“明了”還需得到進(jìn)一步的強(qiáng)化。所以，教師還需開出新方子讓學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、思維能力得到進(jìn)一步的穩(wěn)固和提升，進(jìn)而將新思維和新知識內(nèi)化為學(xué)生自己思維和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一部分。出于培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)思維的目的，學(xué)生的思維活動還不止于此。學(xué)生還需展示所掌握的數(shù)學(xué)知識、技能和思維在新情境中的遷移和運用能力，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的拓展和后繼學(xué)習(xí)的鋪墊。

作為完整處方式教學(xué)的核心，教師的行為系統(tǒng)和學(xué)生的思維系統(tǒng)是并行不悖、相依相存的兩個交互系統(tǒng)。教師以自己的行為指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、暴露問題，學(xué)生又以主體的身份向教師反饋信息，為教師診斷開方提供信息。這種彼此照應(yīng)的交互作用讓處方式教學(xué)時時刻刻表現(xiàn)出“診斷——開處方”的特征（如圖1）。

圖1數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的交互系統(tǒng)

三、數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的基本過程

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)過程是數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的核心范疇之一，其主要源于教師行為系統(tǒng)和學(xué)生思維系統(tǒng)的交互作用，主要包括以下五個階段及相互作用。

1.巧設(shè)問題，生疑探究

數(shù)學(xué)處方式教學(xué)是基于數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，也是利用問題讓學(xué)生暴露自己的知識、思維等缺點的教學(xué)。因此，教學(xué)真正起始于教師所設(shè)計的診斷問題。在課堂教學(xué)開始之時，教師利用設(shè)計的問題組織、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，并適時地探索、完成教師安排的相應(yīng)任務(wù)，其主要任務(wù)是組織和指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)探究，讓學(xué)生掌握基本的學(xué)習(xí)方法。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)相信良好的教學(xué)效果源于學(xué)生端正的學(xué)習(xí)態(tài)度、良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、正確的學(xué)習(xí)方法。因此，在這個階段教師首先是讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)習(xí)過程中嘗試使用并掌握基本的數(shù)學(xué)思維方式。與教師的目的和行為相對應(yīng)，學(xué)生的主要活動是自學(xué)教學(xué)內(nèi)容，并基于問題進(jìn)行探究以求解惑。學(xué)生在自學(xué)的基礎(chǔ)上，需要就自己的所學(xué)和教師、同伴展開交流，但教師并不就此幫助學(xué)生完全解決問題，而是放手讓他們繼續(xù)思考、探究，以求在思維上有所突破。因此，教師的設(shè)計誘導(dǎo)和學(xué)生的生疑探究共同組成了數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的第一個階段。

2.反饋診斷，明晰病因

準(zhǔn)確地診斷學(xué)生的學(xué)情，是處方式教學(xué)的核心。在本階段，教師根據(jù)兩個層面對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行診斷。一個層面是學(xué)生的自主探究過程。數(shù)學(xué)處方式教學(xué)認(rèn)為，“學(xué)習(xí)過程”也是學(xué)生的成果之一。學(xué)生在過程中的行為反映出態(tài)度、習(xí)慣、方法使用等，這些既是我們考察的學(xué)習(xí)結(jié)果，因為它們對學(xué)生掌握知識有直接的影響，也是我們分析學(xué)生暴露問題的依據(jù)。診斷考察的第二個層面是學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果。這主要集中在對學(xué)生掌握的知識的診斷上。為了對學(xué)生在這兩個層面暴露出的問題有清楚的了解，教師需要從多個層面探明學(xué)生的病因。比如，哪些問題是學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、粗心大意造成的，哪些問題是學(xué)生思維不到位引起的，哪些是學(xué)生基本知識掌握不牢造成的。這樣，診斷才能有針對性和準(zhǔn)確性，也才能為接下來的問題澄清做好準(zhǔn)備。

3.澄清問題，精講點撥

在這一階段，教師結(jié)合教學(xué)重點和難點，澄清學(xué)生暴露出的問題，剖析知識要點，分析知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出分析學(xué)生在自學(xué)中暴露出的解決問題的思維方式和思維過程上的問題。在這個過程中，教師地點撥要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，注意點撥的范圍和層次等。教師還要對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)進(jìn)行評價、點撥，以激勵為原則鼓勵學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；對學(xué)生就現(xiàn)有知識能力水平難以理解和使用的一些知識和方法，教師要予以精講、補(bǔ)充或拓展。在精講過程中，教師的語言使用要精煉、規(guī)范、簡潔、準(zhǔn)確。同時，精講之余要給學(xué)生留有思考、消化的空間和時間，讓學(xué)生能及時反思自己之前的學(xué)習(xí)過程，從教師的講解中發(fā)現(xiàn)自己的不足以及體會運用智慧的樂趣。在澄清問題，精講點撥的過程中，教師要遵循及時、適時、適度的原則，以促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、積極探究。

4.訓(xùn)練內(nèi)化，建構(gòu)新知

課堂訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通過訓(xùn)練才能促成知識的內(nèi)化。因此，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的訓(xùn)練需要注意三個層面與多種方式結(jié)合。三個層面：一是知識和技能層面，包括基本知識或重點知識的識記、理解、運用以及基本的解題技能的訓(xùn)練內(nèi)化；二是過程與方法層面，包括自主學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)思維及相應(yīng)的策略訓(xùn)練等；三是情感態(tài)度層面，包括要培養(yǎng)并形成正確的學(xué)習(xí)態(tài)度，體會數(shù)學(xué)解題思維帶來的樂趣等。多種方式是指根據(jù)訓(xùn)練目的和內(nèi)容的差異，靈活采用不同或多種訓(xùn)練方式。比如，可以采用主題討論的方式讓學(xué)生理解并掌握某一數(shù)學(xué)主題涉及的知識、方法等，也可以采用分層訓(xùn)練的方式讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)中都有相應(yīng)的收獲?？傊?，訓(xùn)練內(nèi)化的目的是讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，在教師的點撥下，重新整理思路，將新知納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成一個新的穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu)。

5.拓展遷移，提升能力

在訓(xùn)練內(nèi)化的基礎(chǔ)上，處方式教學(xué)應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)拓展訓(xùn)練。拓展遷移的目的是訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，訓(xùn)練所用的材料要有利于促進(jìn)學(xué)生開動腦筋進(jìn)行思考，不只是單純運用記憶等基本技能。題型的選擇應(yīng)多樣化，既要有操作實踐等動手探究類題型，還應(yīng)有思考探究類題型。每類題型的設(shè)置應(yīng)有針對性，難易有梯度，能力要求有綜合性等。此外，能力提升的一個重要表征是讓學(xué)生表述自己的學(xué)習(xí)體驗與收獲。這是學(xué)生數(shù)學(xué)能力外顯的重要途徑，也是學(xué)生對自己學(xué)習(xí)的集中認(rèn)識和反思。

圖2 數(shù)學(xué)處方式教學(xué)過程示意圖

需強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)處方式教學(xué)的過程不是這五個階段的簡單推進(jìn)。在教學(xué)實踐中，教師需結(jié)合具體教學(xué)情境，在理解處方式教學(xué)兩大系統(tǒng)的前提下，靈活取舍或重復(fù)使用其中的某些階段（如圖2）。

參考文獻(xiàn)

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]喬治·波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授.劉景麟，曹之江，鄒清蓮譯.北京：科學(xué)出版社，2006.

[3] 喬連全.基于問題解決的數(shù)學(xué)教學(xué)研究.廈門：廈門大學(xué)出版社，2010.

[4] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[5] 王策三.教學(xué)論稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.現(xiàn)代教學(xué)論綱要.北京：人民教育出版社，2005.

【責(zé)任編輯 郭振玲】