楊忠直，孫皓辰，彭俊偉

(1.上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200052；2.天津大學(xué)管理學(xué)院，天津 300072)

1 引言

有關(guān)財(cái)富效用的起源來自1738年Bernoulli[1]發(fā)表了題為“一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測量新理論的解釋”求解了圣彼得堡悖論。研究的前提是：沒有理由假設(shè)兩個(gè)人經(jīng)受相同的風(fēng)險(xiǎn)，每個(gè)人都將期望獲得更接近實(shí)現(xiàn)的希求，每個(gè)人所期望的風(fēng)險(xiǎn)一定被認(rèn)為在價(jià)值上相等。他認(rèn)為，每個(gè)人都是根據(jù)個(gè)人的具體財(cái)物條件估計(jì)來自任何風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)的前景；一項(xiàng)物品的價(jià)值(value)不是基于它的價(jià)格(price)，而是基于它所產(chǎn)生的效用(utility)；物品的價(jià)格僅僅依賴于物品本身，而效用取決于估價(jià)人的特殊環(huán)境；進(jìn)一步舉例說：毫無疑問，同樣贏得一千達(dá)克特(ducats)對于一個(gè)窮光蛋來說要比財(cái)主更有意義；從等量的盈利中一個(gè)窮人要比一個(gè)富人獲得更大的效用。這就是Bernoulli[1]關(guān)于效用的思想：同一物品對于不同的人，不同的用途和不同的使用環(huán)境有不同的效用，進(jìn)一步認(rèn)識到人們對物品的偏好，這就構(gòu)思了效用函數(shù)的結(jié)構(gòu)。文中Bernoulli[1]陳述了期望收益的效用的計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)財(cái)富的任何一個(gè)微小增加都將引起效用增加，而這個(gè)效用增加又反比于已經(jīng)擁有財(cái)富的數(shù)量，這就是效用函數(shù)的重要性質(zhì)：隨著財(cái)富數(shù)量的增加效用值遞增(不滿足定律)，而隨著財(cái)富數(shù)量的增加邊際效用遞減(滿足程度遞減定律)。Bernoulli根據(jù)每個(gè)人固有的生產(chǎn)能力提出了對應(yīng)于效用等于零的個(gè)人初始貨物擁有量，也是承擔(dān)零風(fēng)險(xiǎn)的財(cái)富現(xiàn)狀，對應(yīng)的效用值即為等于零的保本效用值(status quo)，并給出了道德期望和期望效用的計(jì)算公式和對數(shù)曲線。與此不同，消費(fèi)者理論中的效用及效用函數(shù)均是以商品數(shù)量為自變量，但也仍然遵循Bernoulli 1738年提出的不滿足定律和滿足程度遞減定律，之前在國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)類文獻(xiàn)中沒有看到此類研究報(bào)道。

Stanley[2]最早提出商品交換原理：交換必須使交易雙方的效用增加或至少不減，指出雙方的效用平衡將導(dǎo)致交換。Ysidro[3]利用效用函數(shù)導(dǎo)出了二人商品交換的邊際效用均等條件，即著名的Edgeworth Box模型。von Neumann和Morgenstern[4]系統(tǒng)地陳述了商品交換的協(xié)商博弈理論，尤其是非零和博弈理論為交易人的互惠共贏問題的研究打下基礎(chǔ)。Nash[5]用效用函數(shù)建立了二人商品交換的數(shù)學(xué)模型，以描述交易人渴望最大化其在商品交換中的盈利。Nash[6]進(jìn)一步提出了協(xié)商交易中交易人具有威脅(threats)的作用，即交易人各自的保留效用值(status quo)。Harsanyi和Selten[7]提出了不完備信息件下二人協(xié)商博弈的廣義Nash求解模型。Svejnar[8]給出了不一致協(xié)議的憂慮(fear of disagreement)的定義和協(xié)商勢力(bargaining power)的定義，并進(jìn)一步得到在協(xié)商交易達(dá)到均衡時(shí)滿足的公理?xiàng)l件。Morgenstem[9]和Rubinstein[10]論述和證明了輪番討價(jià)還價(jià)均衡解的形成。Binmore, Swierzbinski, Tomlinson[11]實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了Stahl-Rubinstein Bargaining Model。上述研究均沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)值求解，更沒有對協(xié)商交易均衡價(jià)格作參量分析，應(yīng)用案例也沒有看到。國內(nèi)作者對于上述著名文獻(xiàn)并不陌生，但是卻沒有比較成功的應(yīng)用案例，進(jìn)步性的研究更少。本文作者[12-13]運(yùn)用凸分析方法構(gòu)造了業(yè)主與承包商的投資，質(zhì)量和進(jìn)度變量的多屬性效用函數(shù)，建立了協(xié)商力系數(shù)線性加權(quán)和冪加權(quán)的合同協(xié)商談判模型和求解方程，運(yùn)用數(shù)字模擬求解合同訂立，合同變更，合同索賠和合同仲裁等問題。

本文基于上述理論方法，結(jié)合作者[14]產(chǎn)權(quán)交易協(xié)商定價(jià)理論模型，運(yùn)用某國有科研機(jī)構(gòu)的制藥廠轉(zhuǎn)讓為案例，說明產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的建模與數(shù)值求解。經(jīng)評估該企業(yè)產(chǎn)權(quán)的資本量現(xiàn)值為700萬元人民幣，預(yù)期收益現(xiàn)值1500萬元人民幣。設(shè)產(chǎn)權(quán)賣方的交易底價(jià)為1000萬元，產(chǎn)權(quán)買方的交易底價(jià)為1300萬元。在求解均衡協(xié)商交易價(jià)格的基礎(chǔ)上，分別對交易雙方的交易底價(jià)，偏好，協(xié)商能力，信息擁有量，以及交易人財(cái)富擁有量對交易定價(jià)的影響進(jìn)行數(shù)值分析。本文通過這個(gè)案例研究，說明含有多種因素(參量)影響的產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的建模與模擬求解方法。

2 效用函數(shù)設(shè)計(jì)

財(cái)富效用函數(shù)是指以財(cái)富數(shù)量為自變量的效用函數(shù)，并遵照效用函數(shù)不滿足定律和滿足程度遞減定律。

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中財(cái)富效用函數(shù)及其性質(zhì)構(gòu)造產(chǎn)權(quán)賣方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(1)

構(gòu)造產(chǎn)權(quán)買方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(2)

其中，c表示產(chǎn)權(quán)的成本現(xiàn)值，v表示產(chǎn)權(quán)的預(yù)期收益現(xiàn)值，u=v-c表示產(chǎn)權(quán)的預(yù)期利潤空間，α和β分別為交易人對產(chǎn)權(quán)價(jià)格的偏好指數(shù)，0≤α,β≤1。

根據(jù)案例數(shù)據(jù)，設(shè)c=700,v=1500,u=v-c=800,α=0.5,β=0.5，p為產(chǎn)權(quán)交易價(jià)格變量，于是產(chǎn)權(quán)賣方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(3)

產(chǎn)權(quán)買方的財(cái)富效用函數(shù)為：

(4)

3 產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)模型與求解方程

本文構(gòu)造威懾力系數(shù)冪加權(quán)的福利函數(shù)如下：

(5)

其中，λ表示包含交易人的協(xié)商勢力和信息量在內(nèi)的威懾力系數(shù)加權(quán)指數(shù)，其他參數(shù)同上。

產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的目標(biāo)是使(5)的福利函數(shù)取最大值，于是對(5)按照最優(yōu)化原理得到基本求解方程為：

(6)

(7)

表示產(chǎn)權(quán)賣方的加權(quán)邊際效用，而令：

-p,λ)

(8)

表示產(chǎn)權(quán)買方的加權(quán)邊際效用。于是(6)表示：

(9)

這被稱作加權(quán)邊際效用零和方程。從力學(xué)角度看，這符合牛頓力學(xué)第三定律?？梢钥闯?，產(chǎn)權(quán)賣方的加權(quán)邊際效用MUs(p-c,λ)包含了產(chǎn)權(quán)買方的影響，而產(chǎn)權(quán)買方的加權(quán)邊際效用MUb(v-p,λ)包含了產(chǎn)權(quán)賣方的影響，說明產(chǎn)權(quán)交易雙方的討價(jià)還價(jià)的能力互相影響！

4 對稱條件下產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的基本均衡價(jià)格

圖1 對稱條件下效用函數(shù)與福利函數(shù)的最大值

在圖1中，交易者二人的效用函數(shù)相交(效用值相等)處福利函數(shù)恰好取得最大值，這只在效用函數(shù)的結(jié)構(gòu)對稱，威懾力對稱的條件下成立。求解均衡價(jià)格的加權(quán)邊際效用零和方程的計(jì)算圖解如圖2所示：

圖2 對稱條件下加權(quán)邊際效用零和原理

在效用值域的有效前沿和福利函數(shù)的相切點(diǎn)指示出協(xié)商交易定價(jià)的最優(yōu)解如圖3所示：

圖3 對稱條件下效用值域的協(xié)商交易均衡價(jià)格的確定

5 參數(shù)變動(dòng)對均衡價(jià)格的影響分析

5.1 不對稱偏好對產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

若交易雙方的偏好不對稱α≠β,，設(shè)賣方偏好系數(shù)α=0.6，買方偏好系數(shù)為β=0.5，其它條件不變，則解出均衡價(jià)格為1136.36萬元。此時(shí)，迫使均衡價(jià)格上移，效用函數(shù)值分別為Us(p=1136.36)=0.6951和Ub(p=1136.36)=0.6742，福利函數(shù)的最大值為W(1136.36)=0.6830，計(jì)算圖解如圖4所示：

圖4 偏好不對稱的協(xié)商交易定價(jià)圖解

5.2 保留價(jià)格對產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

圖5 具有保留價(jià)格的協(xié)商交易定價(jià)原理

5.3 威懾力對產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

設(shè)產(chǎn)權(quán)賣方的威懾力較強(qiáng)，設(shè)λ=0.6,1-λ=0.4，保留價(jià)格為ps=1000,pb=1300，其他參數(shù)不變。由(6)解出均衡價(jià)格為1180.00萬元，高于基本均衡價(jià)格1100.00萬元，這說明產(chǎn)權(quán)賣方比買方具有更強(qiáng)的威懾力，推動(dòng)均衡價(jià)格上移。計(jì)算圖解如圖6所示：

圖6 不對稱威懾力的協(xié)商交易定價(jià)原理

在均衡價(jià)格1180.00，Us(1180)=0.7746，Ub(1180)=0.6325，福利函數(shù)的增量最大值為W(1180)=0.1496。

5.4 信息不對稱對產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)的影響

圖7 不對稱信息的協(xié)商交易定價(jià)原理

5.5 產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)的綜合求解

(10)

由(6)得到均衡價(jià)格的求解方程為：

(11)

解出均衡價(jià)格為p*=1169.17萬元，Us(1169.17)=0.7260，Ub(1169.17)=0.6431，福利函數(shù)的增量最大值為W(1169.17)=0.1899。加權(quán)邊際效用零和方程如圖8所示。

圖8 綜合條件下協(xié)商交易定價(jià)原理

6 財(cái)富擁有量變動(dòng)對均衡價(jià)格的影響

Bernoulli[1]舉例解釋了富人和窮人對于獲得一單位的增量收益所帶來的增量效用是不同的。在產(chǎn)權(quán)交易中給定獲利水平，擁有財(cái)富量大的富人每獲得到一單位的增量收益所帶來的增量效用低于擁有財(cái)富量小的窮人每獲得到一單位的增量收益所帶來的增量效用，即富人的收益邊際效用小于窮人的收益邊際效用，這就是所謂的財(cái)富效應(yīng)。設(shè)產(chǎn)權(quán)賣方的財(cái)富擁有量大于其買方的財(cái)富擁有量，將會有以下結(jié)果：

MUs(p-c)≤MUb(v-p)|p=p0

(12)

在產(chǎn)權(quán)交易達(dá)到均衡時(shí)(9)式可以寫為：

w×MUs(p-c,λ)+MUb(v-p,λ)=0

(13)

其中，w為財(cái)富系數(shù)，w≥1。(13)式可用來計(jì)算購買方財(cái)富擁有量變動(dòng)或具有不同財(cái)富擁有量的購買人與出售方協(xié)商交易的均衡價(jià)格。將(13)轉(zhuǎn)換為(6)就有：

(14)

不妨設(shè)w=1.2，這意味著相對于賣方的財(cái)富擁有量，買方的財(cái)富擁有量增加為1.2倍。于是將對稱條件下產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的基本參數(shù)代入(14)得到產(chǎn)權(quán)交易的均衡價(jià)格為1136.36。這個(gè)均衡價(jià)格比基本均衡價(jià)格1100.00高，說明購買人用于購買標(biāo)底物的財(cái)富量增加，其報(bào)價(jià)或接受價(jià)格傾向于更高，均衡價(jià)格也高。或者說明另一具有更高財(cái)富實(shí)力的競買人與出售方的協(xié)商交易產(chǎn)生的一個(gè)更高的均衡價(jià)格。

7 結(jié)語

本文建立了廣義納什協(xié)商交易(generalized Nash bargaining)的產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易定價(jià)模型，導(dǎo)出了加權(quán)邊際效用零和方程(zero-sum equations of weighted marginal utility)，這與Svejnar[8]的研究結(jié)論一致。利用邊際效用零和方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了只有交易人之間的加權(quán)邊際效用之和為零時(shí)才能使交易人的福利函數(shù)取得最大值，解出的均衡價(jià)格即為公允定價(jià)，這與交易人的效用值是否相等沒有關(guān)系。本文對交易人的偏好(preference)不對稱，威脅點(diǎn)(threat points)不對稱，協(xié)商勢力(bargaining power)不對稱和信息(information)不對稱等境況的協(xié)商交易均衡求解進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。交易人擁有財(cái)富的多寡和購買實(shí)力的大小也是影響報(bào)價(jià)與交易價(jià)格的重要因素。本文的計(jì)算采用直接計(jì)算的方法，比運(yùn)用單參量或多參量的解析求解要簡單得多，也不影響結(jié)果的精確性，其研究結(jié)果為產(chǎn)權(quán)協(xié)商交易的機(jī)制設(shè)計(jì)提供了科學(xué)依據(jù)。本文是以確定性模型展開分析，這并不難將其隨機(jī)化以求解不確定性問題，而不確定性問題也恰恰是在確定性模型的基礎(chǔ)上將其變量隨機(jī)化的。

在使用中首先要遵循不滿足定律和滿足程度遞減定律構(gòu)造交易人的財(cái)富效用函數(shù)，使財(cái)富效用函數(shù)具有凹性，以使協(xié)商域的凸性，保證均衡解的唯一性。然后通過理論設(shè)計(jì)或?qū)灰兹诉M(jìn)行實(shí)驗(yàn)測定交易人的偏好構(gòu)造交易人的財(cái)富效用函數(shù)。進(jìn)而就要獲取交易人的交易低價(jià)，計(jì)算保留效用值，估測交易人所掌握的有關(guān)標(biāo)底物的信息量，推斷交易人所具有的協(xié)商勢力，計(jì)算交易人的威懾力系數(shù)。接著構(gòu)建協(xié)商交易的福利最大化模型，利用加權(quán)邊際效用零和方程試算均衡交易價(jià)格或交易數(shù)量。最后對參數(shù)及模型進(jìn)行調(diào)整得到最終解決方案。

本文是以一個(gè)案例作為研究方式，旨在解釋如何運(yùn)用財(cái)富效用函數(shù)建立產(chǎn)權(quán)交易定價(jià)模型以求解產(chǎn)權(quán)交易價(jià)格的參考值。其研究結(jié)論可以廣范應(yīng)用于任何物品和資產(chǎn)協(xié)商交易均衡價(jià)格的測算，包括土地使用權(quán)，房產(chǎn)權(quán)，企業(yè)產(chǎn)權(quán)，開礦產(chǎn)權(quán)，工程承包與合同糾紛處理等方面的資產(chǎn)或產(chǎn)權(quán)的交易價(jià)格的測定，還可用于產(chǎn)權(quán)或各種物品的拍賣價(jià)格的測定。本文的研究方法還可進(jìn)一步擴(kuò)展到多維變量的建模與模擬求解，可應(yīng)用于工資與福利協(xié)商談判，經(jīng)濟(jì)利益協(xié)商談判，政治事件協(xié)商談判，國際事務(wù)協(xié)商談判和戰(zhàn)爭軍備協(xié)商談判等；甚至可以推廣到三人以上的協(xié)商博弈問題，如網(wǎng)絡(luò)協(xié)商博弈或多邊關(guān)系的協(xié)商求解。

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