，，

(南京航空航天大學經濟與管理學院，江蘇 南京 211106)

1 引言

多屬性決策[1-2]是決策理論與方法研究領域的一個重要內容，現有研究主要集中在區(qū)間型多屬性決策問題、基于直覺模糊集的多屬性決策問題、灰色多屬性決策問題、基于多屬性決策的分類問題、決策指標權重的測算和多屬性群決策等方面。戴厚平[3]研究了屬性權重信息完全未知且屬性值為區(qū)間直覺模糊數的多屬性決策問題；Zhou Wenkun等[4]研究了屬性權重信息未知的不確定多屬性群決策問題；陳孝新等[5]以灰色系統(tǒng)理論的思想和方法為基礎，探討了決策方案的屬性值為區(qū)間灰數的灰色多屬性決策問題；徐澤水[6]研究了屬性值為直覺模糊數且決策者對方案有偏好的模糊多屬性決策問題；Darood[7]提出了一種基于神經網絡的模糊多屬性決策問題，并對其進行了研究。在多屬性決策過程中，難點之一是由于問題復雜性和環(huán)境不確定性造成的屬性值難以準確設定的問題，而這又是科學決策的前提條件。對此，樊治平[8]給出了具有區(qū)間數的多屬性決策問題的綜合屬性值計算方法，并提出了區(qū)間數的兩種排序方法；汪心凡[9]將模糊數Vague值的有序加權平均( FV-OWA) 算子應用于屬性權重完全未知且屬性值以模糊數Vague值形式給出的不確定多屬性決策問題。從已有文獻中方法的應用方面來看，主要是試圖通過區(qū)間數、模糊數等不確定形式來處理，有一定的效果，但并沒有本質上解決這個問題。貝葉斯網絡推理[10-11]是Pearl教授1988年提出的一種推理決策方法，由于其有雙向推理的功能，近年來在故障診斷[12-14]、醫(yī)療診斷[15]、數據挖掘[16]等領域得到了廣泛應用。張紅兵[17]提出了應用貝葉斯網絡來考慮環(huán)境之中的因果關系隨機事件的基于世界狀態(tài)的決策模型的決策支持系統(tǒng)的構建方法；肖秦琨[18]將貝葉斯網絡用于海上目標識別，利用構建的貝葉斯網絡和已掌握的證據條件來推斷不同船艦類型的概率；葉躍翔等[19]通過貝葉斯網絡推理求解在各個方案下每個屬性取值的概率分布，從而把一般不確定多屬性決策問題轉化為風險決策問題，這是重要的應用貝葉斯網絡的多屬性決策文獻。

從已有利用貝葉斯網絡解決多屬性決策問題的文獻來看，尚存在如下一些問題：(1)貝葉斯網絡中的條件概率分布表都是根據專家知識等方法直接給出的，而在實際問題中，由于網絡的復雜性等很難準確確定，用區(qū)間數來估測范圍更為可信，而對于多屬性決策問題，一些屬性受到復雜因素的影響，也難以給出方案的指標屬性值；(2)從決策矩陣和貝葉斯網絡推理所依據的信息來看，這實質上是兩類不同來源的信息，有不同的關注點，現有文獻(葉躍翔等[19])單獨利用了這些信息，兩者結合應用的研究不多。從信息相互推證角度來看，兩者的聯(lián)合有助于不確定問題的解決。對此，本文嘗試結合貝葉斯網絡推理技術和專家所給決策矩陣信息，提出一種新的解決不確定多屬性決策問題的方案。

2 問題描述及求解

2.1 問題描述及解決思路

對于不確定多屬性決策中的屬性值概率分布不確定的多屬性決策問題，決策專家所給的決策偏好信息具有很大的主觀性和不確定性，因此只依靠這類信息進行決策可能導致決策結果有很大的偏差；另一方面，根據影響屬性值概率分布的環(huán)境因素所構建的貝葉斯網絡圖，由于網絡的復雜性，網絡中每個節(jié)點的條件概率分布表很難直接準確給出(實質上是一個區(qū)間數)，這樣就無法利用網絡推理出方案屬性值概率的分布情況(若利用區(qū)間數運算規(guī)則，得到推理結果的不確定性很大)。因此，本文首先根據決策專家所給決策矩陣信息求出方案綜合屬性值的上、下限區(qū)間，然后利用貝葉斯網絡信息求出屬性值概率分布的數學表達式，得到方案綜合屬性值的數學表達式，結合二者內在的信息特質建立集結模型，最后求出方案的具有較高可能性的綜合屬性值，并對方案進行排序。

2.2 問題求解

2.2.1 根據決策矩陣確定各方案綜合屬性值范圍

步驟1：對決策矩陣中的屬性值按如下方法進行標準化[20]：

步驟2：假設屬性的權重向量和屬性取各個值的概率區(qū)間已知，為準確估計方案的可能值范圍，建立模型P1和P2求各個方案綜合屬性值的下限SiL和上限SiU(模型的思想實質是估計最劣和最優(yōu)情況下方案的綜合屬性值)，即：

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。

模型目標的含義：第i個方案的綜合屬性值可能下限。式(1)表示屬性取不同值的概率在決策專家所給區(qū)間[pk(aij)L，pk(aij)U]內，式(2)表示第i個方案在第j個屬性下取不同值的概率之和為1，即滿足歸一化條件。

定理1 模型P1必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

同理，可得：

模型目標的含義：第i個方案的綜合屬性值可能上限。

定理2 模型P2必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

通過估算方案的綜合屬性值的大小來進行方案優(yōu)劣排序，充分考慮了不確定性問題，這種思想在張全等[21]中有所體現，本文則將其擴展到多狀態(tài)的不確定性決策過程。

2.2.2 根據貝葉斯網絡的方案綜合屬性值推理

按照影響屬性的所有因素，包括決策者可控的因素(即決策變量)和不可控的因素(即環(huán)境變量)，假設確定了這些屬性和變量之間的因果依賴關系，根據這些關系可確立貝葉斯網絡的拓撲結構圖(如圖1)。通過咨詢領域專家或者分析歷史統(tǒng)計資料、文獻等方法，確定了當改變決策變量時貝葉斯網絡中每個節(jié)點的條件概率表。與葉躍翔等[19]等不同，由于環(huán)境復雜性和信息不完全性等，本文認為其中部分節(jié)點的條件概率分布是確定的數值，部分節(jié)點的條件概率分布則是以區(qū)間數px∈[pxL,pxU](x=1,2,…,z，z為不確定概率的個數)的形式給出，這種情況更適用于復雜的決策情況。

貝葉斯網絡結合了圖論和概率論的知識，用于表達隨機變量之間復雜的概率不確定性。下文簡述貝葉斯網絡的基本思想[19-22]：

(1)一個隨機變量集組成網絡節(jié)點，一個連接節(jié)點對的有向邊或箭頭集合，如果存在從節(jié)點X到節(jié)點Y的有向邊，則稱X是Y的一個父節(jié)點，表示X對Y有直接影響；

(2)因每一個節(jié)點Xi都有一個條件概率分布P(Xi|Parents(Xi))，用于量化其父節(jié)點對該節(jié)點的影響，對離散情況，可以用表格的形式來表示，稱為條件概率表(Conditional Probability Table，CPT，由于連續(xù)型隨機變量概率密度函數的復雜性，本文只考慮離散情況)；

(3)貝葉斯網絡提供了對域的一個完整描述，所有變量的全聯(lián)合概率分布中的每一個條目都可以通過貝葉斯網絡的信息計算出來，即:

(3)

其中，Xi是第i個隨機變量，而xi是Xi的一個特定取值，Parents(Xi)是Xi的父節(jié)點，parents(Xi)是Parents(Xi)的一個特定取值。

在現有研究基礎上，本文設計根據分析的貝葉斯網絡拓撲結構圖，計算得出各方案的綜合屬性值的數學表達式，其步驟如下：

2.2.3 基于貝葉斯網絡推理的雙重信息集結模型

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,…n；x=1,2,…,z。

定理3 模型P3必定存在最優(yōu)解。

證明：易得，略。

基于特定的決策問題，求解模型P3可以推出貝葉斯網絡中各個節(jié)點的概率分布、各個方案在各屬性下的概率分布和方案綜合屬性值。該模型同時考慮了專家所給信息和貝葉斯網絡推理的不確定性。

綜上所述，本文方法的步驟可總結為：

步驟1：根據專家所給決策信息利用模型P1和P2，得出方案Si綜合屬性值所在區(qū)間[SiL,SiU]。

步驟3：利用模型P3集結步驟1和步驟2中所求綜合屬性值，得出方案準確綜合屬性值。

3 算例分析

3.1 背景及基礎數據

某航空公司現欲購買一種戰(zhàn)斗機，有6種不同型號的飛機即Si,i=1,2,…,6可供選擇，決策屬性有Q1-馬赫數，指飛機的飛行速度與當地大氣(即一定的高度、溫度和大氣密度)中的音速之比，單位為Ma；Q2-有效載重量即飛機所能承載的最大重量，單位千克；Q3-航程，即飛機加滿油的情況下所能飛行的最大距離，單位為千米；Q4-燃油消耗率即單位指示功的耗油量，單位為升每小時；Q5-探測敏感性，反映飛機對外來威脅的敏感性；Q6-被擊中的可能性，即指當飛機遭受攻擊時被擊中的可能性；其中Q1、Q2、Q3和Q4都只有一個取值即K1=K2=K3=K4=1，Q5有三種取值(中、低、高)，即K5=3，Q6有大和小兩種取值即K6=2，Q1、Q2、Q3和Q5為效益型屬性，Q4和Q6為成本型屬性。設權重向量為：

W=(w1,…,w6)Τ=(0.15,0.2,0.1,0.18,0.2,0.17)Τ

專家給出決策矩陣A和屬性概率分布矩陣P如下所示：

對于定性屬性值，采用賦值法將其量化，即令：中=5，高=7，低=3，大=7，小=3。

圖2 飛機問題的貝葉斯網絡圖

表1 節(jié)點B、D、E和F的CPT

表2 節(jié)點A的CPT

表3 節(jié)點Q5的CPT

表4 節(jié)點Q6的CPT

表5 不確定的概率所在區(qū)間

根據領域專家的知識、實際調查和歷史數據等資料確定貝葉斯網絡中各個不確定的概率所在區(qū)間如表5所示：

3.2 計算結果及分析

(1)根據專家給出的決策矩陣和概率分布矩陣求各個方案綜合屬性值的上、下限即所在區(qū)間范圍。

步驟1：按照2.2.1中步驟1中標準化方法對屬性值標準化得：

(2)根據分析的貝葉斯網絡拓撲結構圖(圖2)，求解各方案的綜合屬性值的數學表達式。

步驟1：利用貝葉斯網絡圖(圖2)進行推理計算在各種方案下不確定屬性“飛機的探測敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”的概率分布。首先設定觀察節(jié)點和證據節(jié)點。在本例中，“飛機的探測敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”是觀察節(jié)點，飛機類型S是決策者可控的變量，設置為證據節(jié)點。通過改變飛機類型S的狀態(tài)，就可以推理計算得到在給定“飛機類型S”的條件下“飛機的探測敏感性Q5”和“被擊中可能性Q6”的概率分布，即：

+(1-yi1)(1-yi2)yi3(1-y7)+yi1yi2(1-yi3)(1-y8)+yi1(1-yi2)

(1-yi3)(1-y9)+ (1-yi1)yi2(1-yi3)(1-y10)+(1-yi1)(1-yi2)

(1-yi3)(1-y11)

(7)

(3)集結二者求方案綜合屬性值

根據模型P3集結(1)中根據專家所給決策信息所得綜合屬性值區(qū)間和(2)中根據貝葉斯網絡推理所得綜合屬性值表達式，求解得方案的綜合屬性值。即S1=0.55250，S2=0.64895，S3=0.61674，S4=0.60725，S5=0.65341，S6=0.52260。因此，6種類型的飛機優(yōu)劣順序為s5?s2?s3?s4?s1?s6，即最優(yōu)飛機是S5。

本文中方法與已有文獻中方法相比，其主要優(yōu)勢在于同時考慮兩種不同類型的信息，得出的結論比考慮單一信息得到的結論更精確，更客觀。一方面，單純考慮專家的決策偏好信息，如劉健等[23]，用其方法對本文中算例進行求解得到方案的排序為s5?s2?s3?s4?s1?s6，盡管結果的最終形式一致，但現有方法存在信息丟失現象，沒有充分考慮不確定信息導致的結果不確定性問題。其次，單純采用貝葉斯網絡的推理，如葉躍翔等[19]，在實際決策問題中準確地確定網絡中的推理概率參數相對困難，因此要利用葉躍翔等[19]方法求解本文中決策問題必須對本文中區(qū)間數形式給出的概率推理參數采用簡單的處理(取平均值等)以轉化成確定的實數，最后求解得到方案的優(yōu)劣排序為s5?s2?s3?s4?s1?s6，排序結果雖與本文中結果一致，但s6的綜合屬性值為0.506513，但利用劉健等[23]得到的方案s6的綜合屬性值所在區(qū)間為[0.52054，0.57121]，這說明只考慮貝葉斯網絡信息時得到的方案的綜合屬性值與只考慮專家所給偏好信息時得到的方案綜合屬性值存在不一致性，而利用本文中方法得到的s6的綜合屬性值為0.52260屬于利用葉躍翔等[19]方法得到的s6的綜合屬性值所在區(qū)間。由此，在決策過程中同時考慮兩類信息，通過兩類信息的相互推證得出的結果比考慮單一信息得到的結果更為精確，這是本文的創(chuàng)新工作。

4 結語

考慮了當部分屬性值的概率分布為區(qū)間數時的不確定多屬性決策問題，提出了基于貝葉斯網絡和決策矩陣兩類信息的集結模型，能解決貝葉斯網絡模型中概率參數難以估計和多屬性決策問題中屬性值難以準確估定的情景，通過模型的計算可以得出各個方案的確定的綜合屬性值，這樣可以更準確選擇最優(yōu)方案以及對方案進行排序。下一步需要深入研究的問題有考慮多個專家進行決策的情況，以及考慮決策的動態(tài)特性。

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