潘海洋 楊 宇， 李永國， 程軍圣

(1.湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室， 湖南 長沙 410082;2.安徽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院， 安徽 馬鞍山 243032))

引 言

對于滾動軸承故障診斷來說，其振動信號往往表現(xiàn)出非平穩(wěn)和非線性特征，若直接提取原信號的特征值會影響診斷精度，因此，必須先對原始振動信號進(jìn)行處理。在非平穩(wěn)信號的分析中，經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical mode decomposition，簡稱EMD)、局域均值分解(Local mean decomposition，簡稱LMD)和本征時間尺度分解(Intrinsic time-scale decomposition，簡稱ITD)方法都是自適應(yīng)的非平穩(wěn)、非線性信號處理方法[1]。但上述方法在理論上都還存在或多或少的缺陷，如EMD的過包絡(luò)、欠包絡(luò)、端點效應(yīng)和頻率混淆問題[2]；LMD的信號突變和端點效應(yīng)問題[3]；ITD方法沒有對算法本身及固有旋轉(zhuǎn)分量的物理意義進(jìn)行闡述。因此，在闡述ITD方法及其固有旋轉(zhuǎn)分量物理意義的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的ITD算法——局部特征尺度分解算法(Local characteristic-scale decomposition,簡稱LCD)[4]。關(guān)于LCD算法的有效性及其在端點效應(yīng)和分解時間方面均優(yōu)于EMD的結(jié)論已在文獻(xiàn)[4]中詳細(xì)討論。

通過對振動信號LCD分解，得到若干內(nèi)稟尺度分量并提取其特征，從而構(gòu)成高維特征向量，這些高維數(shù)據(jù)的大量使用，給故障的識別帶來了很大的麻煩，許多有效的信息淹沒在高維數(shù)據(jù)中，難以被有效利用，且影響分類效率。目前對于高維數(shù)據(jù)，常采用降維方法提取能反映故障狀態(tài)有效信息的低維特征，降維方法一般可以分為兩種，即線性和非線性降維。線性降維方法是假設(shè)數(shù)據(jù)存在于全局線性中，即數(shù)據(jù)集中的各特征值之間是獨立的，主成分分析(Principle components analysis，簡稱PCA)就是一種比較常用的線性降維方法[5]。但是，在實際情況中，高維數(shù)據(jù)往往是具有非線性結(jié)構(gòu)的，因此，主成分分析方法的使用具有局限性。流形學(xué)習(xí)是典型的非線性降維方法，旨在發(fā)現(xiàn)高維數(shù)據(jù)中的內(nèi)在規(guī)律性，其思想是少數(shù)獨立變量在高維空間中共同作用形成了一個流形，如能夠有效地展開空間的流形或者挖掘內(nèi)在的主要變量，就可以對該高維數(shù)據(jù)集進(jìn)行壓縮降維。流形是在微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)上形成的，實質(zhì)上是局部可坐標(biāo)化的拓?fù)淇臻g，可以看成是在歐氏空間中的非線性推廣。因此，流形學(xué)習(xí)可以有效地對高維數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，拉普拉斯特征映射算法是一個常用的流形學(xué)習(xí)降維方法[6]，它采用圖拉普拉斯算子的譜性質(zhì)進(jìn)行求解，尋求在某種意義上可以最佳地保持局部領(lǐng)域信息的低維表示，挖掘出高維數(shù)據(jù)中具有內(nèi)在規(guī)律性的低維特征。

提取并挖掘出低維數(shù)組特征過后，隨之而來的就是模式識別，模式識別作為滾動軸承故障診斷的另一重點，目前常用于故障診斷的模式識別方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機等，但它們都有一些無法克服的缺陷，且診斷結(jié)果受主觀影響較大。另外，上述模式識別方法都忽視了特征集中數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關(guān)系。然而，在所提取的機械故障振動信號特征中，其特征值之間大都具有一定的內(nèi)在關(guān)系，而且這種內(nèi)在關(guān)系在不同的系統(tǒng)或類別(相同的系統(tǒng)在不同的工作狀態(tài)下)間具有明顯的不同。基于特征值之間的這種內(nèi)在關(guān)系，提出了一種基于Kriging的多變量預(yù)測模型模式識別方法(kriging-variable predictive model based class discriminate,簡稱KVPMCD)。KVPMCD的實質(zhì)就是通過特征值之間的相互內(nèi)在關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，對于不同的類別可以得到不同的數(shù)學(xué)模型，從而可以采用這些數(shù)學(xué)模型對被測試樣本的特征值進(jìn)行預(yù)測，把預(yù)測結(jié)果作為分類的依據(jù)，進(jìn)一步進(jìn)行模式識別。該方法克服了原多變量預(yù)測模型(Variable predictive model based class discriminate，簡稱VPMCD)中模型的單調(diào)性[7]，VPMCD模式識別方法僅有4種回歸模型進(jìn)行預(yù)測，當(dāng)特征值之間關(guān)系較為復(fù)雜時將導(dǎo)致預(yù)測精度降低。Kriging函數(shù)是作為一種估計方差最小的無偏估計模型[8,9]，通常是由3種回歸模型和7種相關(guān)模型組合而成，回歸模型構(gòu)建了預(yù)測模型的主結(jié)構(gòu)，相關(guān)模型是在全局基礎(chǔ)上創(chuàng)建的局部偏差，用來彌補單純采用回歸模型的缺陷，使得所建立的模型更加逼真，從而可以建立反映特征值之間復(fù)雜關(guān)系的KVPMCD模型。

將LCD，LE流形學(xué)習(xí)和KVPMCD方法引入滾動軸承故障診斷，首先經(jīng)過LCD分解降低了振動信號非線性和非穩(wěn)定性對故障特征提取的影響，接著通過LE算法特征壓縮，得到具有內(nèi)在規(guī)律的低維特征，而KVPMCD的原理恰恰是基于特征值內(nèi)在關(guān)系建立的預(yù)測模型。因此，最后把得到的低維特征向量輸入KVPMCD分類器進(jìn)行診斷識別。從而實現(xiàn)了將LCD，LE流形學(xué)習(xí)算法和KVPMCD相結(jié)合應(yīng)用于滾動軸承故障的全程連續(xù)診斷。

1 基于LE算法的KVPMCD滾動軸承故障診斷方法

1.1 LE流形學(xué)習(xí)算法

拉普拉斯特征映射算法作為一種典型且有效的流形學(xué)習(xí)方法，以保持局部空間結(jié)構(gòu)領(lǐng)域信息不變?yōu)樽谥?，在很大程度上保持了原空間中數(shù)據(jù)的局部最優(yōu)分布情況。LE方法的基本原理是：數(shù)據(jù)在高維空間中距離比較近的點映射到低維空間中的點也應(yīng)該離得比較近，其損失函數(shù)為兩點間的加權(quán)距離，然后借助圖拉普拉斯算子的譜性質(zhì)進(jìn)行求解，能夠挖掘出嵌入在高維數(shù)據(jù)中具有內(nèi)在規(guī)律的低維幾何分布特征。LE算法具體步驟如下[6]：

(1)構(gòu)造近鄰圖。設(shè)定一領(lǐng)域參數(shù)k，采用k近鄰或者ε領(lǐng)域的方法計算每一個樣本點xi的領(lǐng)域Γ(i)，1≤i≤n。

(2)構(gòu)造鄰接權(quán)值矩陣W。設(shè)定熱核方程參數(shù)t，使用熱核方式給每一條邊賦予權(quán)值Wij，從而構(gòu)建矩陣W為

(1)

(3)特征映射。計算出圖拉普拉斯算子的廣義特征向量，求低維嵌入。求解廣義特征值問題Lf=λDf。其中D為對角矩陣，且Dii=∑Wij(i≠j)，得到L的第2個至第d+1個特征值對應(yīng)的特征向量，即為所得到的數(shù)據(jù)集對應(yīng)d維嵌入坐標(biāo)。

1.2 VPMCD模型

在機械故障診斷中，提取p個不同的特征值X=[X1,X2，…,Xp]來描述一個故障類別，由于特征值之間存在的內(nèi)在關(guān)系，因此，在不同的故障類別中，會受到其他特征值的影響而產(chǎn)生不同的變化，在此類問題中，特征值之間可能存在一對一的關(guān)系：X1=f(X2)；或者一對多的關(guān)系：X1=f(X2,X3,…)。為了識別系統(tǒng)的故障模式，需建立數(shù)學(xué)模型。原VPMCD方法中，為特征值定義的變量預(yù)測模型VPMi為一個線性或者非線性的回歸模型，文獻(xiàn)[7]中提出了4種數(shù)學(xué)模型。以p個特征值為例，對4種模型中任意一個模型采用特征值Xj(j≠i)對Xi進(jìn)行預(yù)測，都可以得到

Xi=f(Xj,b0,bj,bjj,bjk)+e

(2)

式(2)稱為特征值Xi的變量預(yù)測模型VPMi。其中，特征值Xi稱為被預(yù)測變量；Xj(j≠i)稱為預(yù)測變量；e為預(yù)測誤差；b0，bj，bjj和bjk為模型參數(shù)。

1.3 Kriging模型

Kriging模型假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)值與自變量之間的真實關(guān)系可以表示成如下的形式

f(x)=g(x)+z(x)

(3)

式中g(shù)(x)為確定性漂移，它是一個確定性部分，在Kriging模型中通常稱為回歸模型，回歸模型有3種形式：零階回歸模型(Zero order polynomial)；一階回歸模型(One order polynomial)；二階回歸模型(Two order polynomial)。它們是所建立Kriging模型的主要框架。z(x)稱為漲落，它提供對模擬局部偏差的近似，是和“相關(guān)模型”有關(guān)的一個函數(shù)，相關(guān)模型是傳統(tǒng)關(guān)系函數(shù)的一種變化形式，它可以用來描述變量之間的空間結(jié)構(gòu)變化，也可以描述其隨機性變化[10]，它是在全局模型基礎(chǔ)上創(chuàng)建的均值為零，但是方差不為零的局部偏差，只有選擇合適的相關(guān)函數(shù)，才能保證模型具有較高的準(zhǔn)確性。利用不同的相關(guān)模型對采樣點的特征值進(jìn)行建模，并計算不同測試條件下估計值的均方誤差，相關(guān)模型有7種：指數(shù)模型(Exponential)；廣義指數(shù)模型(Generalized exponential)；高斯模型(Gaussian)；線性模型(Linear)；球體模型(Spherical)；立方模型(Cubic)；樣條模型(Spline)。

1.4 VPMCD中最小二乘擬合和Kriging插值擬合比較

假設(shè)一個二次交互模型函數(shù)z=3-x2-y2+7x+5y-xy，x∈[0.5,5],y∈[0.5,5]，則可畫出一空間曲面。

為了比較兩種擬合方法的擬合效果，首先從曲面上任意選取50個點，則可組成一個50×3的矩陣，然后代入VPMCD中的二次交互回歸模型，通過最小二乘回歸擬合出參數(shù)，接著把矩陣回代建立的模型中，得到一個新的多項式函數(shù)，即最小二乘擬合出的曲面，如圖1(b)所示。用同樣的50個點，選定Kriging模型的回歸模型、相關(guān)模型及相關(guān)模型參數(shù)，然后通過所建立的Kriging模型插值得到一個擬合曲面，如圖1(c)所示。圖1中直觀地表達(dá)了兩種插值擬合方法的效果，下面從誤差檢驗上比較一下兩種方法的有效性，選用預(yù)測點的均方根差、經(jīng)驗累積方差和平均相對誤差作為參考量[11]，其比較結(jié)果如表1所示。

圖1 函數(shù)的原曲面圖和兩種擬合方法得到的曲面圖對比

表1 兩種擬合方法在三種誤差檢驗法下的誤差數(shù)值比較

分析比較圖1可知，由于隨機產(chǎn)生的數(shù)值較為復(fù)雜，通過VPMCD建立預(yù)測模型，擬合出的曲面出現(xiàn)失真，而Kriging插值得到的曲面由于存在相關(guān)函數(shù)的原因，對回歸模型進(jìn)行了補充，使得擬合出的曲面和原曲面十分相似。而在表1中，列舉了兩種擬合方法的三種誤差檢驗值，無論是那種誤差檢驗法，Kriging插值擬合所得到的誤差值都很小，明顯優(yōu)于VPMCD的最小二乘回歸擬合。因此，Kriging模型展示了比VPMCD現(xiàn)有模型的優(yōu)越性，從而證明基于Kriging函數(shù)的KVPMCD比原VPMCD具有更強的適應(yīng)性。

1.5 基于Kriging模型的KVPMCD模式識別方法

①對于g類分類問題，共收集n個訓(xùn)練樣本，每一類樣本數(shù)分別為n1,n2,…,ng。對所有訓(xùn)練樣本提取特征量X=[X1,X2,…,Xp]，每一類樣本特征量的規(guī)模大小分別為n1×p,n2×p,…,ng×p。

②選擇第k(1≤k≤g)類訓(xùn)練樣本的特征量Xj(i=1,2,…,p)作為被預(yù)測變量，選擇剩下的p-1個特征量Xj(j≠i)作為預(yù)測變量。

③令回歸模型類型m=1(1≤m≤M) (Zero order polynomial，One order polynomial，Two order polynomial三種模型分別用數(shù)值1，2，3標(biāo)記)，相關(guān)模型的模型類別r=1(1≤r≤R)(Exponential，Generalized exponential，Gaussian，Linear，Spherical，Cubic，Spline七種模型分別用數(shù)值1，2，3，4，5，6，7標(biāo)記)，建立一個數(shù)學(xué)模型。

④先后分別令r=r+1和m=m+1，直至r=R,m=M結(jié)束。預(yù)測變量的組合方式共有M×R種可能，因此對于特征量可建立nk=M×R個數(shù)學(xué)方程。

⑤對于每一個特征量Xi建立的nk個方程，然后把第k類訓(xùn)練樣本的特征量進(jìn)行回代，利用Kriging模型得到特征量Xi的預(yù)測值Xipred。

⑧將所有訓(xùn)練樣本作為測試樣本分別對每一個VPM矩陣進(jìn)行回代分類測試，選擇分類正確率最高的VPM矩陣所對應(yīng)的回歸模型類型和相關(guān)模型類型作為最佳變量預(yù)測模型的類型。至此，各種類別下的所有特征量的最佳變量預(yù)測模型的類型、預(yù)測變量都得以確定。

2 基于LE算法和KVPMCD方法的滾動軸承故障診斷方法

拾取滾動軸承振動信號并經(jīng)過LCD分解后，接著就要對得到的若干ISC分量提取包含故障有效信息的特征。特征提取作為故障診斷中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，只有選擇合適的特征才能準(zhǔn)確區(qū)分滾動軸承的工作狀態(tài)和故障類型。用來描述系統(tǒng)非線性特性的參數(shù)較多，復(fù)雜度相對較為簡單；峭度和模糊熵也常用來處理非線性問題。因此，本文中采用組合的方法，即提取信號的復(fù)雜度、峭度和模糊熵。它們之間可相互補充、相互印證，更有利于識別故障信號，增強可靠性。提取每個分量的特征，組成特征向量矩陣。由于特征向量的維數(shù)較多，直接用分類器進(jìn)行模式識別，不但影響分類效率，而且高維數(shù)據(jù)掩蓋了有效信息。因此，接著采用LE流形學(xué)習(xí)算法對特征向量矩陣進(jìn)行降維，挖掘出具有內(nèi)在規(guī)律的低維向量矩陣，然后用KVPMCD分類方法對滾動軸承的狀態(tài)進(jìn)行識別。

基于LE流形學(xué)習(xí)和KVPMCD的滾動軸承故障診斷方法步驟如圖2所示。

圖2 滾動軸承故障診斷原理圖

①在一定轉(zhuǎn)速下以采樣率fs對滾動軸承正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動體故障4種狀態(tài)進(jìn)行采樣，每種狀態(tài)采集N組樣本。

②首先利用LCD方法對原始振動信號進(jìn)行分解，得到若干ISC分量。然后提取包含信號主要信息的前幾個ISC分量的復(fù)雜度、峭度和模糊熵作為特征值，每個信號提取j個特征值，組成特征值向量，每種狀態(tài)下得到N×j階的特征值矩陣。

③用LE流形學(xué)習(xí)算法對特征值矩陣進(jìn)行降維，設(shè)定好參數(shù)，通過特征壓縮，得到一個全新的壓縮特征集N×i。

⑤剩下的作為測試樣本，用訓(xùn)練好的數(shù)學(xué)預(yù)測模型對測試樣本進(jìn)行分類，根據(jù)KVPMCD分類器的輸出結(jié)果來確定滾動軸承的工作狀態(tài)和故障類型。

3 實例分析

為了驗證本文所提方法的適用效果，選用美國凱斯西儲大學(xué)(Case Western Reserve University)電氣工程實驗室的實測滾動軸承振動加速度數(shù)據(jù)[12]，數(shù)據(jù)源于6205-2RS型深溝球軸承，采樣頻率為48 kHz，轉(zhuǎn)速為1 772 r/min，電機負(fù)載為0.746 kw，損傷尺寸為0.018 mm，故障深度為0.028 mm。選取正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動體故障4類狀態(tài)下的振動信號各200組數(shù)據(jù)作為樣本。內(nèi)圈故障下的滾動軸承振動信號如圖3所示。

圖3 內(nèi)圈故障狀態(tài)下滾動軸承振動信號時域波形

圖4 兩種算法壓縮三維的分布圖

首先對所采集的非平穩(wěn)、非線性滾動軸承振動信號進(jìn)行LCD分解，得到振動信號在時域和頻域的局部化信息，每個信號可以分解得到若干ISC分量，選取包含主要狀態(tài)信息的前3個ISC分量，然后提取每一個ISC分量的復(fù)雜度、峭度和模糊熵，因此一個信號可以提取9個特征。每種狀態(tài)的樣本信號提取9個特征參數(shù)，構(gòu)成原始特征空間。采用LE方法對原始特征空間進(jìn)行特征壓縮，通過計算和實驗優(yōu)化選擇，取鄰域參數(shù)k=4，熱核方程的參數(shù)t=4，嵌入維數(shù)d=3。為了說明采用LE方法進(jìn)行特征壓縮的可行性，同時將采用LE方法進(jìn)行特征壓縮的樣本與采用PCA方法進(jìn)行特征壓縮(同樣取嵌入維數(shù)d=2和d=3)的樣本進(jìn)行比較，其壓縮后所得的樣本分布圖見圖4和5。從圖4可以發(fā)現(xiàn)，相比于PCA方法，采用LE方法進(jìn)行特征壓縮后，雖然有個別混在一起，但總體來看4種狀態(tài)的樣本分得較開；PCA方法壓縮得到的低維特征難以分類識別。對于圖5中的二維壓縮，情況較為類似圖4，LE方法壓縮的各種類型可以明顯地分開；而PCA壓縮的特征，內(nèi)圈故障和外圈故障混淆在一起，難以分辨。可見LE方法比PCA方法更能提取用于區(qū)分樣本的敏感特征。

上述對幾種降維方法進(jìn)行了直觀的比較，驗證了LE方法的可行性，下面進(jìn)一步把LE流形學(xué)習(xí)算法和KVPMCD相結(jié)合應(yīng)用于滾動軸承故障診斷識別，證明基于LE算法的KVPMCD更加有效。滾動軸承的4種狀態(tài)各取200個樣本進(jìn)行實驗，其中100組作為訓(xùn)練樣本。首先設(shè)定LE 算法的參數(shù)，通過對訓(xùn)練樣本的交叉驗證，選出最優(yōu)LE參數(shù)，其選擇結(jié)果如圖6所示。

圖6 故障診斷正確率隨參數(shù)的變化

經(jīng)過優(yōu)化選擇，設(shè)定鄰域參數(shù)k=5，熱核方程的參數(shù)t=2，嵌入維數(shù)d=3，接著用LE算法對特征集進(jìn)行壓縮，得到低維特征集。同樣采用PCA方法(嵌入維數(shù)d=3)對所構(gòu)成的原始特征空間進(jìn)行特征壓縮。然后采用KVPMCD進(jìn)行訓(xùn)練，通過優(yōu)化選擇，對于LE算法壓縮后的數(shù)據(jù)，相關(guān)模型參數(shù)取theta=0.000 1，PCA算法壓縮后的數(shù)據(jù)，取theta=3.5，得到預(yù)測模型，預(yù)測模型包括回歸模型和相關(guān)模型，通過實驗，回歸模型都是Two order polynomial模型，相關(guān)模型都是Spherical模型，接著對測試樣本進(jìn)行智能識別。本文引用K-fold cross-validati on(簡稱K-CV)檢驗對兩種方法進(jìn)行驗證，取全部的200組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證。其識別結(jié)果如表2所示。

從表2中可以看出，基于LE算法的KVPMCD準(zhǔn)確識別率明顯高于基于PCA算法的KVPMCD識別率。LE流形學(xué)習(xí)通過對高維數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，能夠得到具有規(guī)律性的低維數(shù)組，從而滿足KVPMCD模式識別方法的建模原理，使得把LE算法和KVPMCD相結(jié)合應(yīng)用于滾動軸承故障診斷，取得了較好的分類效果。

表2 兩種降維方法在10-CV檢驗法下的KVPMCD分類性能對比

綜上所述，基于LE的特征壓縮算法，把高維的故障樣本壓縮到低維空間，并且極大地保留了原信號的特征信息；另外，考慮到拾取的信號復(fù)雜性，原VPMCD建模不能充分反映特征值之間的真實信息，將Kriging函數(shù)應(yīng)用于VPMCD得到KVPMCD，經(jīng)過仿真數(shù)據(jù)的驗證，KVPMCD確實比原VPMCD具有較好的效果，因此，實驗證明，基于LE算法的KVPMCD是一種有效的滾動軸承故障診斷方法。

4 結(jié) 論

針對數(shù)據(jù)維數(shù)較高時給分類器帶來的麻煩，以及原VPMCD方法中模型的缺陷，本文將LE流形學(xué)習(xí)和KVPMCD相結(jié)合應(yīng)用于滾動軸承的故障診斷中，經(jīng)研究得出以下結(jié)論：

(1)對所提取的高維特征通過LE流形學(xué)習(xí)方法進(jìn)行特征壓縮，得到具有內(nèi)在規(guī)律性的低維特征，且保留了信息的本質(zhì)特征，有利于故障的診斷。

(2)將Kriging函數(shù)應(yīng)用于VPMCD中得到KVPMCD，當(dāng)特征集中數(shù)據(jù)之間的關(guān)系較為復(fù)雜時，原VPMCD中4種回歸模型很難準(zhǔn)確建立預(yù)測模型，而KVPMCD方法采用以回歸模型為主，相關(guān)模型為輔，從而建立更加真實的預(yù)測模型。

(3)針對LE流形學(xué)習(xí)算法壓縮高維數(shù)據(jù)后得到具有內(nèi)在規(guī)律的低維數(shù)據(jù)，恰好滿足KVPMCD 的建模原理，將兩者結(jié)合起來，可以有效地提取特征和建立模型。

對仿真信號和滾動軸承各種狀態(tài)振動信號的分析結(jié)果表明，證明了KVPMCD比原VPMCD方法具有更好的建模效果，以及將LE算法和KVPMCD相結(jié)合的滾動軸承故障診斷方法可以準(zhǔn)確、有效地對滾動軸承的工作狀態(tài)和故障類型進(jìn)行分類，從而為滾動軸承的故障診斷提供了一種新的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] Mark G Frei, Ivan Osorio. Intrinsic time-scale decomposition: time-frequency-energy analysis and real-time filtering of non-stationary signals [J].Proceedings of the Royal Society， A, 2007, 463: 321—342.

[2] Cheng J S,Yu D J,Yang Y. Energy operator demodulating approach based on EMD and its application in mechanical fault diagnosis[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2004,40( 8):115—118.

[3] Lei Yaguo, He Zhengjia, Zi Yanyang.Application of the EEMD method to rotor fault diagnosis of rotating machinery [J]. Mechanical Systems and Signal Processing,2009, 23:1 327—1 338.

[4] 程軍圣,鄭近德,楊宇.一種新的非平穩(wěn)信號分析方法——局部特征尺度分解[J].振動工程學(xué)報，2012, 25(2):215—220.Cheng Junsheng,Zheng Jinde,Yang Yu.A nonstationary signal analysis approach——the local characteristic-scale decomposition method[J].Journal of Vibration Engineering, 2012, 25(2): 215—220.

[5] TURK M, PENTLAND A.Eigenfaces for recognition [J].Journal of Cognitive Neuroscience, 1991, 3(1):71—86.

[6] Belkin M,Niyogi P.Laplacian eigenmaps for dimensionality reduction and data representation[J].Neural Computation,2003,15(6):1 373—1 396.

[7] Rao Raghuraj,Samavedham Lakshminarayanan. Variable predictive models—a new multivariate classification approach for pattern recognition applications [J]. Pattern Recognition, 2009, 42(1):7—16.

[8] Noel Cressie. The origins of Kriging[J]. Mathematical Geology, 1990, 22(3): 239—252.

[9] Gou Peng,Liu Wei,Cui Wei-cheng.A comparison of approximation methods for multidisciplinary design optimization of ship structures[J]. Journal of Ship Mechanics, 2007, 11(6):913—923.

[10] Rana A Moyeed,Andreas Papritz.An empirical comparison of Kriging methods or nonlinear spatial point prediction[J]. Mathematical Geology, 2002, 34(4):365—386.

[11] Zhang Renduo. Theory and Application of Spatial Variation[M].Beijing：Science Press，2005.

[12] Case Western Reserve University Bearing Data Center. Bearing Data Center Fault Test Data.[EB/OL].[2009-10-01].http:∥www.eecs.case.edu/laboratory/bearing.