張步云， 陳懷海， 賀旭東

(南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所， 江蘇 南京 210016)

引 言

振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)作為檢驗(yàn)產(chǎn)品可靠性與耐久性的有效手段，近半個(gè)世紀(jì)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展。多輸入多輸出振動(dòng)試驗(yàn)比單軸振動(dòng)試驗(yàn)更準(zhǔn)確地模擬外場(chǎng)振動(dòng)環(huán)境，能夠克服單軸推力不足、量級(jí)不高、試驗(yàn)耗時(shí)較長(zhǎng)等缺點(diǎn)，越來(lái)越受到研究者們的重視。在正弦、隨機(jī)和沖擊等振動(dòng)試驗(yàn)研究中[1～6]，人們已建立了成熟的理論體系，完善了先進(jìn)的振動(dòng)試驗(yàn)方法。國(guó)內(nèi)外對(duì)相應(yīng)的振動(dòng)試驗(yàn)都制定了完整的試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)與試驗(yàn)規(guī)范[7，8]，使振動(dòng)試驗(yàn)更具實(shí)用性與權(quán)威性。但已往的研究大都針對(duì)于某一單類振動(dòng)試驗(yàn)的研究，而事實(shí)上工程機(jī)械或飛行器在運(yùn)作過(guò)程中所經(jīng)歷的振動(dòng)環(huán)境是相當(dāng)復(fù)雜的。如直升機(jī)在飛行中由于漿片的旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生一定頻率的正弦振動(dòng)，而引擎的工作則產(chǎn)生一個(gè)寬帶的隨機(jī)噪聲。若用單一的正弦振動(dòng)或隨機(jī)振動(dòng)來(lái)模擬機(jī)身所受的振動(dòng)環(huán)境顯然已經(jīng)不準(zhǔn)確，得到的試驗(yàn)結(jié)果不能用來(lái)作為飛機(jī)疲勞破壞的程度或損傷的判斷標(biāo)準(zhǔn)。正弦加隨機(jī)混合振動(dòng)試驗(yàn)可以更好地完成對(duì)這種振動(dòng)環(huán)境的模擬與再現(xiàn)，故其已成為振動(dòng)試驗(yàn)研究的新課題[9，10]。

正弦振動(dòng)試驗(yàn)中以信號(hào)的幅值與相位為控制對(duì)象，而隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)則是通過(guò)閉環(huán)反饋將控制點(diǎn)的功率譜控制在給定的譜容差范圍內(nèi)。常用的正弦加隨機(jī)控制方法是將正弦信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)分離后分別用已成熟的控制方法加以控制，再將反饋的控制信號(hào)疊加輸送到振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行激振。正弦與隨機(jī)信號(hào)分離的好壞將決定控制的精度，故其成為正弦加隨機(jī)振動(dòng)控制中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。目前已有的分離方法有跟蹤濾波法[11]，將混合信號(hào)通過(guò)一比隨機(jī)信號(hào)分析頻率大很多的帶通濾波器分離出正弦信號(hào)，此法高頻分離尚可，低頻的控制精度較差。王述成針對(duì)低頻控制精度差的問(wèn)題，提出了基于多分辨譜的控制方法[12]。借助維納-辛欽定理從頻域獲取正弦信號(hào)的幅值，但頻域識(shí)別存在能量泄露問(wèn)題，不能保證控制的精度。Engelhardt提出用Vold-Kalman濾波器法[13]，其分離方法比較復(fù)雜，且難以應(yīng)用到振動(dòng)試驗(yàn)控制之中。此外，還有計(jì)算法、截取法、復(fù)數(shù)二乘法和基于最小二乘法、盲分離等分離算法等[14～17]。這些方法運(yùn)算復(fù)雜、計(jì)算量大，增加了控制回路的時(shí)間。

相關(guān)積分法可以有效地抑制測(cè)量噪聲的影響，能提高測(cè)試信號(hào)的信噪比，是一種常用的信號(hào)處理方法。本文利用相關(guān)積分法的濾波特性，詳細(xì)推導(dǎo)了正弦信號(hào)分離公式，有效分離了正弦與隨機(jī)信號(hào)，提高了混合振動(dòng)試驗(yàn)的控制精度。文中以一懸臂梁為仿真對(duì)象，驗(yàn)證了此方法的有效性。

1 多輸入多輸出混合振動(dòng)控制

多輸入多輸出正弦加隨機(jī)混合振動(dòng)控制的整個(gè)流程如圖1所示。先將混合參考譜分解為正弦參考值和隨機(jī)功率譜，再將由實(shí)測(cè)信號(hào)分離得到的正弦值和實(shí)測(cè)隨機(jī)信號(hào)的功率譜與參考譜進(jìn)行比較，經(jīng)過(guò)控制算法均衡后得到新的正弦信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)，將兩者綜合后輸入激振器進(jìn)行激振。如此循環(huán)，直到控制點(diǎn)的振動(dòng)滿足參考譜為止。

圖1 正弦加隨機(jī)混合振動(dòng)控制流程

1.1 隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制

頻譜再現(xiàn)式隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)是在較短的時(shí)間內(nèi)“同時(shí)”激發(fā)給定功率譜譜形的寬帶隨機(jī)振動(dòng)[17]。設(shè)參考譜為Sr(ω)，根據(jù)振動(dòng)理論，激勵(lì)與響應(yīng)的關(guān)系為

Sy(ω)=H(ω)Sx(ω)H*(ω)

(1)

式中Sy(ω)表示響應(yīng)信號(hào)的功率譜密度，Sx(ω)表示激勵(lì)信號(hào)的功率譜密度，H(ω)表示系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣，其上標(biāo)*表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。為方便計(jì)，下文省略ω。隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的控制目標(biāo)就是使Sy=Sr，則要求激勵(lì)信號(hào)的功率譜滿足

Sx=H-1Sy(H*)-1=ASrA*

(2)

式中A=H-1。對(duì)激勵(lì)譜Sx和參考譜Sy分別進(jìn)行Cholesky分解得

Sx=XX*，Sr=RR*

(3)

式中X，R均為下三角矩陣，將其帶入式(2)，由Cholesky分解的唯一性可得

X=AR

(4)

將X配以隨機(jī)相位，進(jìn)行逆FFT變換就可得到激勵(lì)信號(hào)，再進(jìn)行時(shí)域隨機(jī)化便可得到純隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)。因系統(tǒng)中的非線性因素以及頻響函數(shù)估計(jì)誤差的存在，實(shí)際所測(cè)頻響函數(shù)G并不是系統(tǒng)真正的頻響，設(shè)它們的誤差可用如下式表示

GA=I+ΔI

(5)

其中I為單位矩陣，ΔI為誤差矩陣。則由式(4)所產(chǎn)生的激勵(lì)信號(hào)所得到的響應(yīng)譜為

(I+ΔI)(ΔR)R((ΔR)R)*(I+ΔI)*=Sr

(7)

可計(jì)算出ΔR對(duì)角元素為

(8)

1.2 正弦振動(dòng)試驗(yàn)控制

以某幾個(gè)固定頻率的正弦信號(hào)的疊加為激勵(lì)，采集響應(yīng)信號(hào)并進(jìn)行幅值識(shí)別與參考值進(jìn)行比較，計(jì)算出誤差。然后反饋修正激勵(lì)信號(hào)，使每個(gè)頻率點(diǎn)的響應(yīng)都能滿足參考值的要求。一般正弦修正算法為

(9)

式中Ai表示當(dāng)前驅(qū)動(dòng)信號(hào)幅值，Ai-1表示前一次驅(qū)動(dòng)幅值，E為前一次響應(yīng)幅值與參考值的比，K表示壓縮比，其大小影響響應(yīng)信號(hào)收斂的速度。

假設(shè)初始響應(yīng)信號(hào)與參考值之比為1.1，取不同的K觀察響應(yīng)收斂程度。分別取K為0.5，1，2，6，其收斂情況如圖2所示。

圖2 壓縮比K對(duì)收斂速度的影響

從圖中可以看出收斂速度與K大小成反比，K取值越小，收斂速度越快。

2 混合信號(hào)中正弦分離

設(shè)正弦加隨機(jī)混合信號(hào)可表示為如下形式

(10)

式中xr表示均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)；混合信號(hào)中共含n個(gè)正弦信號(hào)，幅值為Ak，頻率為ωk，相位為φk。因隨機(jī)信號(hào)與正弦信號(hào)是相互獨(dú)立的量，所以對(duì)任一頻率的正弦函數(shù)，與隨機(jī)信號(hào)xr有如下關(guān)系

(11)

在相關(guān)積分計(jì)算過(guò)程中，隨機(jī)信號(hào)與正弦信號(hào)的計(jì)算是基于時(shí)間域的。它們乘積的相關(guān)積分函數(shù)不嚴(yán)格歸零，但其積分值遠(yuǎn)低于原信號(hào)量級(jí)，可以忽略。式(10)與待識(shí)別頻率正弦函數(shù)sin(ωpt)的相關(guān)積分函數(shù)為

(12)

式中Tp表示sin(ωpt)的周期。同理，式(10)與待識(shí)別頻率正弦函數(shù)cos(ωpt)的相關(guān)積分函數(shù)

(13)

由式(12)和(13)可以求得頻率為ωp的正弦信號(hào)的幅值與相位為

(14)

按式(12)～(14)分別求出n個(gè)正弦信號(hào)，然后將其從混合信號(hào)中減掉，就可以很容易地得到隨機(jī)信號(hào)

(15)

下面以某一直升機(jī)振動(dòng)環(huán)境為研究對(duì)象，分析正弦信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)的分離。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，可得該振動(dòng)環(huán)境如圖3所示。圖中參數(shù)如表1所示。

表1 直升機(jī)振動(dòng)環(huán)境參數(shù)

圖3 某直升機(jī)振動(dòng)環(huán)境

由表1和圖3可以看出直升機(jī)的振動(dòng)環(huán)境是由正弦振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)組合而成的。而且正弦的頻率相對(duì)較低，以一個(gè)帶寬為500 Hz的低量級(jí)隨機(jī)振動(dòng)作為振動(dòng)背景?；旌险駝?dòng)信號(hào)可以寫成

(16)

由式(16)可得時(shí)域信號(hào)如圖4所示。

圖4 混合時(shí)域信號(hào)

利用相關(guān)積分法和頻域法同時(shí)識(shí)別式(16)中4個(gè)頻率的正弦信號(hào)幅值，以比較兩種方法識(shí)別精度的高低。頻域法的識(shí)別流程是先對(duì)混合信號(hào)作FFT變換，然后根據(jù)維納-辛欽定理獲取正弦信號(hào)的幅值；再將兩者識(shí)別的幅值同時(shí)與參考值作比較，計(jì)算出識(shí)別誤差。經(jīng)過(guò)計(jì)算，識(shí)別結(jié)果如表2所示。

表2 正弦信號(hào)幅值識(shí)別誤差分析

表2顯示相關(guān)法識(shí)別正弦信號(hào)結(jié)果精度很高，絕對(duì)誤差最高不足0.45%。而頻域法識(shí)別結(jié)果誤差很大，最少是相關(guān)法識(shí)別誤差的4倍以上。固從表2可知，相關(guān)法識(shí)別的精度結(jié)果可進(jìn)一步進(jìn)行振動(dòng)控制試驗(yàn)。

3 仿真算例

本文以一懸臂梁作為研究對(duì)象，進(jìn)行兩輸入兩輸出混合振動(dòng)隨機(jī)控制仿真試驗(yàn)，模型尺寸及示意圖見(jiàn)下圖。用Matlab軟件編制程序進(jìn)行控制仿真試驗(yàn)，各階阻尼比取0.03。

圖5 試驗(yàn)?zāi)Ｐ统叽缂笆疽鈭D (單位:mm)

控制點(diǎn)的正弦成分如表1，而隨機(jī)成分的參考譜如圖6所示。

圖6 控制點(diǎn)參考譜譜形

注意到式(2)，在求驅(qū)動(dòng)信號(hào)時(shí)須求頻響的逆陣。在結(jié)構(gòu)的反共振峰處，頻響的幅值較小，甚至該頻率處的矩陣是奇異的。若直接求逆陣，可能會(huì)發(fā)生病態(tài)，此時(shí)須求頻響矩陣的廣義逆H+。所以頻響函數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)成為振動(dòng)控制的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，本文采用快速正弦掃描法估計(jì)頻響函數(shù)，此法能獲得平譜，在整個(gè)測(cè)試頻段內(nèi)激勵(lì)能量相同，信噪比大，能夠提高估計(jì)精度。經(jīng)過(guò)仿真計(jì)算，得到控制結(jié)果如分別如圖7～10所示。

圖7 控制點(diǎn)1隨機(jī)振動(dòng)控制結(jié)果

圖8 控制點(diǎn)2隨機(jī)振動(dòng)控制結(jié)果

圖9 控制點(diǎn)1正弦振動(dòng)控制結(jié)果

圖10 控制點(diǎn)2隨機(jī)振動(dòng)控制結(jié)果

圖7,8表示混合控制中隨機(jī)振動(dòng)的控制結(jié)果。圖中虛線表示控制警告線，即參考譜的±3 dB值處；上下兩條實(shí)線表示控制停止線，為參考譜的±6 dB值處。經(jīng)過(guò)閉環(huán)反饋控制，可以從圖中看出兩點(diǎn)的響應(yīng)譜都被控制在警告線以內(nèi)?？刂泣c(diǎn)1和2參考譜的總均方根值分別為1.77g和2.1g，而圖7，8中兩點(diǎn)響應(yīng)譜的總均方根值為1.78g和2.15g，誤差分別為0.6%和2.4%。綜前，隨機(jī)控制滿足控制要求。

圖8，9表示正弦振動(dòng)控制結(jié)果?；旌险駝?dòng)中含有4個(gè)定頻振動(dòng)，頻率分別為7，18，34和51 Hz，以正弦加速度(g)為控制對(duì)象。從圖中可以看出，正弦幅值控制誤差滿足工程要求，即可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制。

4 結(jié) 論

本文將相關(guān)積分法運(yùn)用到隨機(jī)加正弦混合振動(dòng)試驗(yàn)中，利用其濾波特性將隨機(jī)信號(hào)與正弦信號(hào)精確分離，從而分別進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)控制和正弦振動(dòng)控制，解決了混合振動(dòng)控制中的關(guān)鍵問(wèn)題。通過(guò)建立兩輸入兩輸出振動(dòng)控制系統(tǒng)，利用Matlab軟件編制控制程序，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行混合控制。仿真結(jié)果表明：隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)被控制在參考譜的±3 dB以內(nèi)，正弦信號(hào)幅值被控制在參考值的±10%以內(nèi)，實(shí)現(xiàn)了良好的控制效果。

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