展永政， 王光慶

(浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

引 言

便攜設(shè)備和無(wú)線(xiàn)傳感器使用傳統(tǒng)電池供電，這種電池不僅供能壽命有限、需要頻繁更換[1，2]，還引起環(huán)境污染。能量采集器通過(guò)從周?chē)h(huán)境(如風(fēng)能、熱能和振動(dòng)等)獲取能量，向超低功率的微處理設(shè)備供電。振動(dòng)能量采集器由于成本低和高功率等特點(diǎn)引起研究者的興趣。目前，振動(dòng)機(jī)電轉(zhuǎn)換機(jī)制主要通過(guò)靜電、電磁和壓電三種機(jī)制來(lái)實(shí)現(xiàn)[3～5]，其中，壓電式振動(dòng)能量采集器(Piezoelectric vibration energy harvester, 簡(jiǎn)稱(chēng)PVEH)轉(zhuǎn)換電能時(shí)不需要額外的功率，還具有易制作，簡(jiǎn)易機(jī)電結(jié)構(gòu)和高功率密度等優(yōu)點(diǎn)。因此，壓電振動(dòng)能量采集器成為微能源研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。

傳統(tǒng)壓電振動(dòng)能量采集器由壓電雙晶片或壓電單晶片懸臂梁構(gòu)成，它是單自由度系統(tǒng)(Single-degree-of-freedom，簡(jiǎn)稱(chēng)SDOF)。雖然這種壓電振動(dòng)能量采集器能夠在諧振狀態(tài)下輸出高功率，但是激發(fā)條件易受環(huán)境影響，難于保證在諧振時(shí)刻輸出高功率。因此，為了提高壓電振動(dòng)能量采集器的能量轉(zhuǎn)換效率，必須研究寬頻壓電采集技術(shù)，使壓電振動(dòng)能量采集器在一定的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生諧振或近似諧振。Liao和Sodano采用了優(yōu)化參數(shù)的方法來(lái)建立數(shù)學(xué)理論模型以拓寬頻率，但是忽略了能量采集器內(nèi)部阻抗與最優(yōu)負(fù)載阻抗的關(guān)系，不能準(zhǔn)確地表明輸出功率最大化的本質(zhì)[6]。Challa和Wu等利用調(diào)整頻率的方法對(duì)寬頻進(jìn)行了研究[7，8]，但是這種情況只能工作于頻率變化緩慢的情況下，對(duì)頻率調(diào)節(jié)器的精度要求更高，且智能型微調(diào)節(jié)器難以實(shí)現(xiàn)。另外，Ma引進(jìn)動(dòng)態(tài)放大器建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究寬頻壓電振動(dòng)能量采集器，但忽略了能量采集器的機(jī)電耦合效應(yīng)[9]。Aldraihem和Baz利用動(dòng)態(tài)放大器確定了機(jī)電模型，并研究了動(dòng)態(tài)放大器對(duì)輸出功率的影響，但是忽略了系統(tǒng)阻尼和負(fù)載電阻對(duì)系統(tǒng)性能的影響[10]。

本文在原有單自由度壓電振動(dòng)能量采集器模型基礎(chǔ)上增加一個(gè)彈性放大器，形成具有雙自由度 (Two-degrees-of-freedom，簡(jiǎn)稱(chēng)TDOF)的壓電振動(dòng)能量采集器(簡(jiǎn)稱(chēng)PVEH)，達(dá)到提高能量采集器的輸出功率和拓寬工作頻帶的目的。為了能夠清楚地解析雙自由度壓電能量采集器的各參數(shù)對(duì)其輸出性能的影響，指導(dǎo)其輸出性能的精確預(yù)測(cè)及優(yōu)化設(shè)計(jì)，本文利用有限元方法，綜合考慮采集器本體結(jié)構(gòu)與負(fù)載電路間、電極與壓電陶瓷間以及采集器本體結(jié)構(gòu)與彈簧間的相互耦合作用，建立了帶有彈簧放大器的雙自由度高效壓電懸臂梁振動(dòng)能量采集器的有限元機(jī)電模型，并利用ANSYS有限元軟件研究了系統(tǒng)參數(shù)(如質(zhì)量比、阻尼比以及負(fù)載電阻等)對(duì)振動(dòng)特性以及電輸出特性的影響。

1 TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的構(gòu)造及其建模

1.1 TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的構(gòu)造

圖1是TDOF壓電懸臂梁振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 TDOF壓電懸臂梁振動(dòng)能量采集器

整個(gè)能量采集器由末端帶有集中質(zhì)量Mt的SDOF壓電雙晶片懸臂梁系統(tǒng)和一個(gè)彈簧-質(zhì)量-阻尼構(gòu)成的彈性放大器系統(tǒng)(Elastic amplifier system, 簡(jiǎn)稱(chēng)EAS) 組成。壓電懸臂梁系統(tǒng)由金屬基板、雙壓電晶片、末端集中質(zhì)量Mt和負(fù)載電路組成。雙壓電晶片PZT1，PZT2通過(guò)環(huán)氧樹(shù)脂黏結(jié)到金屬基板的上、下表面，它們沿厚度方向極化，且極化方向相反(如圖1“↓”、“↑”所示)，并通過(guò)串聯(lián)形式連接于外加負(fù)載電阻RL(注：該電阻為能量采集器電輸出端連接的AC-DC電路、濾波電路和電阻R等電路的等效阻抗，負(fù)載電阻RL的改變反映了電輸出端的等效阻抗的變化)。彈性放大器系統(tǒng)是由質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)分別為Mb，Kb和Cb的彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)組成。壓電雙晶片懸臂梁的左端固定在彈性放大器的質(zhì)量塊Mb上，彈性放大器安裝在基礎(chǔ)上。y為基礎(chǔ)振動(dòng)位移，i為流經(jīng)負(fù)載電阻RL的電流?；A(chǔ)產(chǎn)生的振動(dòng)，通過(guò)彈性放大器系統(tǒng)放大傳遞到壓電雙晶片懸臂梁系統(tǒng)，使得壓電雙晶片懸臂梁系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)位移被放大，達(dá)到提高系統(tǒng)輸出能力的目的。

1.2 TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的建模

TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)模型中壓電晶體與金屬基體滿(mǎn)足本構(gòu)關(guān)系：

Ts=csS，

(1)

式中T為應(yīng)力矢量；S為應(yīng)變矢量；E為電場(chǎng)矢量；D為電位移矢量；cs為金屬基體的剛度矩陣；cE為恒定場(chǎng)下壓電晶體的剛度矩陣；e為壓電常數(shù)矩陣；εS為介電常數(shù)矩陣；下標(biāo)s和p分別代表金屬材料和壓電材料。

利用Hamilton原理和拉格朗日方程推導(dǎo)得到TDOF壓電系統(tǒng)的機(jī)電耦合動(dòng)力方程[11]

(2)

利用ANSYS有限元軟件建立TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的有限元模型，表1是壓電振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其中壓電陶瓷PZT壓電材料特性參數(shù)如下：

剛度矩陣(×1010N/m2)

介電常數(shù)矩陣

壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣(C/m2)

表1 TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)參數(shù)

TDOF壓電振動(dòng)能量采集器的有限元模型建立步驟如下：

(1) 通過(guò)命令流的形式建立壓電振動(dòng)能量采集器的幾何模型；

(2) 對(duì)該幾何模型定義單元類(lèi)型與材料屬性；

(3) 運(yùn)用在體上生成體單元和體掃描的方法劃分網(wǎng)格，并進(jìn)行機(jī)電耦合處理和約束處理，最終生成有限元模型。

圖2為T(mén)DOF壓電振動(dòng)能量采集器的有限元模型。

圖2 TDOF壓電能量采集器有限元模型

在該模型中，采用8節(jié)點(diǎn)六面體耦合場(chǎng)SOLID5 單元對(duì)壓電陶瓷進(jìn)行建模，采用8節(jié)點(diǎn)線(xiàn)性結(jié)構(gòu)SOLID45 單元對(duì)金屬基板建模?？紤]到復(fù)合材料黏結(jié)層的影響，即壓電陶瓷和金屬基板并不是理想黏結(jié)，并且黏結(jié)層的厚度很小，僅在幾十微米到幾百微米之間，因此采用SHELL63薄膜單元對(duì)黏結(jié)層進(jìn)行建模。質(zhì)點(diǎn)單元MASS21用于TDOF系統(tǒng)的集中質(zhì)量Mb的建模，彈性單元COMBIN14用于TDOF系統(tǒng)彈簧-阻尼元件的建模。采用CIRCU94壓電電路單元對(duì)負(fù)載電阻RL單元建模，以便產(chǎn)生電壓、電流和輸出功率。極化方向是由PZT壓電材料特性中壓電常數(shù)矩陣決定的。PZT1和PZT2極化方向的不同主要通過(guò)改變PZT陶瓷的壓電常數(shù)d31，d33和d15的符號(hào)實(shí)現(xiàn)的，由于PZT1和PZT2是串聯(lián)連接的，因此PZT2的壓電常數(shù)d31，d33和d15與PZT1的壓電常數(shù)d31，d33和d15的符號(hào)相反。將圖2所示有限元模型中壓電電極的各個(gè)面進(jìn)行節(jié)點(diǎn)耦合，耦合點(diǎn)設(shè)置為電壓自由度；與金屬基板相黏結(jié)的兩個(gè)壓電電極耦合成一個(gè)參考點(diǎn)，其參考電勢(shì)設(shè)為0，即參考地；上層壓電片電極的節(jié)點(diǎn)電壓自由度耦合為通用節(jié)點(diǎn)“1”，下層壓電片電極的節(jié)點(diǎn)電壓自由度耦合為通用節(jié)點(diǎn)“2”，節(jié)點(diǎn)“1”與節(jié)點(diǎn)“2”之間連接負(fù)載電阻RL。

2 數(shù)值仿真分析

Meq=βMρAL+Mt

(3)

(4)

式中 系數(shù)βM和βK可由Rayleigh-Ritz方法推導(dǎo)得到；ρ，E，I，A和L分別為壓電懸臂梁的等效密度、等效彈性模量、等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、截面面積和長(zhǎng)度。

首先對(duì)模型添加約束條件和施加外力載荷，然后再對(duì)TDOF壓電振動(dòng)能量采集器有限元模型進(jìn)行仿真分析。先利用有限元仿真軟件ANSYS對(duì)所建立的有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析。通過(guò)命令流來(lái)設(shè)置電壓差以控制圖2中節(jié)點(diǎn)“1”和節(jié)點(diǎn)“2”之間的電路狀態(tài)，分別進(jìn)行求解，并計(jì)算出相應(yīng)的1階振動(dòng)模態(tài)和諧振頻率。本文主要關(guān)注的是TDOF壓電振動(dòng)能量采集器系統(tǒng)1階振型，因此，當(dāng)節(jié)點(diǎn)“1”與節(jié)點(diǎn)“2”之間的電壓差為0時(shí)，即負(fù)載電阻處于短路(RL→0)狀態(tài)，此時(shí)模態(tài)頻率為42.74 Hz，如圖3所示；當(dāng)節(jié)點(diǎn)“1”與節(jié)點(diǎn)“2”之間的電壓差為∞時(shí)，負(fù)載電阻處于開(kāi)路(RL→∞)狀態(tài)，此時(shí)模態(tài)頻率為44.52 Hz，如圖4所示。

圖3 TDOF壓電振動(dòng)能量采集器負(fù)載短路振動(dòng)模態(tài)

圖4 TDOF壓電振動(dòng)能量采集器負(fù)載開(kāi)路振動(dòng)模態(tài)

當(dāng)基礎(chǔ)振動(dòng)角頻率ω分別與彈性放大器的固有角頻率ωb及懸臂梁固有角頻率ωeq一致時(shí)，可以推導(dǎo)可知?jiǎng)偠缺扰c質(zhì)量比相等，整個(gè)TDOF系統(tǒng)達(dá)到諧振狀態(tài)，壓電懸臂梁的振動(dòng)位移也達(dá)到最大。

圖5為當(dāng)負(fù)載電阻RL=1 kΩ、基礎(chǔ)振動(dòng)加速度為40 m/s2(注：下文未特別說(shuō)明，基礎(chǔ)振動(dòng)加速度均為40 m/s2)時(shí)，不同質(zhì)量比a下的懸臂梁末端速度v和放大器加速度G隨激振頻率f的變化情況。

圖5 不同質(zhì)量比a下的懸臂梁末端速度v與放大器加速度G變化曲線(xiàn)

從圖5(a)中可以看出，不同的質(zhì)量比a下，每條懸臂梁末端振動(dòng)速度隨頻率的變化曲線(xiàn)都有兩個(gè)峰值，峰值點(diǎn)的橫軸位置、縱軸大小以及兩峰值間的間距都受到質(zhì)量比的影響。隨著質(zhì)量比a的增大，峰值點(diǎn)的縱軸大小增大，兩峰值點(diǎn)間的間距變窄，逐漸形成一個(gè)寬頻帶窗口，這有利于拓寬壓電采集器的工作頻帶。特別指出，在質(zhì)量比a=1×10-10(即a→0)和剛度比r=1×1010(即r→∞)下，TDOF壓電能量采集器縮減成SDOF懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)，其末端振動(dòng)速度如圖5(a)中a=1×10-10，r=1×1010曲線(xiàn)所示。另外，在某個(gè)質(zhì)量比a下，會(huì)使得末端振動(dòng)速度的谷值等于SDOF系統(tǒng)末端振動(dòng)速度的最大值。由此說(shuō)明，SDOF系統(tǒng)加入彈性放大器后，不僅拓寬了整個(gè)系統(tǒng)的工作頻帶，還提高了末端振動(dòng)速度。從圖5(b)可以看出，不同的質(zhì)量比a下，每條放大器相對(duì)加速度曲線(xiàn)都有兩個(gè)峰值，隨著質(zhì)量比a的增加，左峰點(diǎn)的幅值減小，這表明部分彈性放大器的機(jī)械能轉(zhuǎn)換成了懸臂梁的振動(dòng)能量；右峰點(diǎn)的幅值隨質(zhì)量比a增大，這表明部分壓電懸臂梁的機(jī)械能轉(zhuǎn)換成了彈性放大器的振動(dòng)能量；另外，左右峰值間距變窄，逐漸形成一個(gè)寬頻帶窗口。特別指出，在質(zhì)量比a=1×10-10(即a→0)和剛度比r=1×1010(即r→∞)下，彈性放大器變成剛性，沒(méi)有起到放大作用。由圖5分析可知，合適的質(zhì)量比，不僅可以提高末端振動(dòng)速度，還可以拓寬頻率工作帶。

圖6為當(dāng)負(fù)載電阻RL=1 kΩ時(shí)不同質(zhì)量比a下的負(fù)載輸出電壓U與負(fù)載輸出功率P隨頻率f的變化情況。圖中為了便于觀察，縱坐標(biāo)采用了對(duì)數(shù)形式。

由圖6可知，負(fù)載輸出電壓變化曲線(xiàn)和負(fù)載輸出功率變化曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)與圖5(a)末端振動(dòng)速度曲線(xiàn)趨勢(shì)相同。在質(zhì)量比a=20時(shí)，負(fù)載電壓和功率輸出曲線(xiàn)的谷值等于SDOF系統(tǒng)的最大值。另外，隨著質(zhì)量比a的增大， 負(fù)載的輸出電壓和功率也隨之增大。

圖6 不同質(zhì)量比a下的輸出電壓U與輸出功率P變化曲線(xiàn)

圖7是當(dāng)質(zhì)量比a=20和負(fù)載電阻RL=1 kΩ時(shí)，不同阻尼比c對(duì)TDOF系統(tǒng)輸出功率P的影響仿真曲線(xiàn)。由圖7可知，隨著阻尼比c的增大，TDOF系統(tǒng)的輸出功率左右峰值逐漸減小，當(dāng)彈性放大器的阻尼系數(shù)增大到遠(yuǎn)超于懸臂梁系統(tǒng)的阻尼系數(shù)時(shí)，彈性放大器的放大作用就會(huì)失去，TDOF系統(tǒng)輸出功率的左右峰值就會(huì)合并為一個(gè)峰值。這說(shuō)明小的阻尼比c能夠使輸出功率有所提高。

圖7 不同阻尼比c下的輸出功率P變化曲線(xiàn)

3 負(fù)載輸出功率優(yōu)化

在SDOF壓電振動(dòng)能量采集系統(tǒng)中引入彈簧放大器后，使得振動(dòng)特性和電輸出特性有明顯的改善。對(duì)于給定的激勵(lì)條件下，負(fù)載電阻與TDOF壓電振動(dòng)系統(tǒng)的阻抗匹配時(shí)，能夠使TDOF壓電振動(dòng)系統(tǒng)輸出最大功率。因此，對(duì)負(fù)載輸出功率最大化進(jìn)一步仿真分析與研究。

圖8是TDOF壓電振動(dòng)能量采集器系統(tǒng)輸出功率P隨負(fù)載電阻RL的變化關(guān)系。由圖8可知，當(dāng)系統(tǒng)的負(fù)載電阻RL趨于0時(shí)，即TDOF系統(tǒng)處于短路狀態(tài)，最佳匹配負(fù)載電阻為Rsc=42.3 kΩ，此時(shí)，系統(tǒng)負(fù)載輸出功率最大；當(dāng)系統(tǒng)的負(fù)載電阻RL趨于∞時(shí)，即TDOF系統(tǒng)處于開(kāi)路狀態(tài)，最佳匹配負(fù)載電阻為Roc=90.8 kΩ，此時(shí)系統(tǒng)負(fù)載輸出功率最大。

圖8 不同電阻下的輸出功率P變化曲線(xiàn)

圖9是當(dāng)質(zhì)量比a=20時(shí)，最佳匹配電阻對(duì)TDOF壓電振動(dòng)系統(tǒng)的電輸出特性(輸出電壓U、輸出電流I和輸出功率P)的影響。從圖9(a)，(b)和(c)中可以看出，TDOF能量采集器在負(fù)載電阻Rsc=42.3 kΩ和負(fù)載電阻Roc=90.8 kΩ下電輸出曲線(xiàn)都有兩個(gè)峰值，且每條曲線(xiàn)的谷值都明顯地大于SDOF壓電系統(tǒng)的相應(yīng)電輸出曲線(xiàn)的最大值。從圖9(a)和(b)中得出TDOF壓電系統(tǒng)和SDOF壓電系統(tǒng)的共同點(diǎn)：負(fù)載電阻Rsc=42.3 kΩ時(shí)的輸出電壓小于負(fù)載電阻Roc=90.8 kΩ時(shí)的輸出電壓，但輸出電流恰恰相反。除此之外，還可以知道圖9(a)中最大的峰值電壓出現(xiàn)在負(fù)載電阻Roc=90.8 kΩ時(shí)，而圖9(b)中最大的峰值電流出現(xiàn)在負(fù)載電阻Rsc=42.3 kΩ時(shí)。這說(shuō)明，TDOF系統(tǒng)處于反諧振狀態(tài)下，能夠輸出較大的工作電壓；處于諧振狀態(tài)下，能夠輸出較大的工作電流。

圖9 不同負(fù)載電阻下電輸出的變化曲線(xiàn)

根據(jù)結(jié)合圖9(c)得到最佳匹配電阻下的TDOF和SDOF的對(duì)比表，結(jié)果如表2所示。表2中f代表相應(yīng)匹配電阻下的諧振頻率，P代表相應(yīng)匹配電阻下的輸出功率,fB代表系統(tǒng)的工作頻率帶寬。

表2 最佳匹配電阻下的TDOF和SDOF對(duì)比

從表中看出，系統(tǒng)在短路最佳匹配電阻和開(kāi)路最佳匹配電阻條件下，TDOF系統(tǒng)的左峰值輸出功率約是SDOF系統(tǒng)輸出功率的10倍；TDOF系統(tǒng)左右峰值間的最小輸出功率(即谷值輸出功率)是SDOF系統(tǒng)的2倍。并且TDOF系統(tǒng)的工作頻率帶寬也是SDOF的5倍。

將圖9(c)與Wang等所作的單自由彈性體系壓電懸臂梁能量采集器的研究結(jié)果(如圖10所示)進(jìn)行了比較[13]。雖然兩者壓電晶體的材料特性不一樣，導(dǎo)致兩者短路狀態(tài)和開(kāi)路狀態(tài)下的諧振頻率不一樣。但是，兩者的電輸出特性和振動(dòng)特性隨頻率的變化趨勢(shì)和輸出功率隨負(fù)載電阻的變化趨勢(shì)是相同的，這間接驗(yàn)證了本文有限元模型仿真結(jié)果的有效性。

圖10 文獻(xiàn)[13]模型不同負(fù)載下的輸出功率

4 結(jié) 論

本文通過(guò)有限元軟件ANSYS對(duì)TDOF壓電振動(dòng)能量采集器建立有限元模型和研究，利用有限元分析方法研究了系統(tǒng)參數(shù)(如質(zhì)量比、阻尼比以及負(fù)載電阻等)對(duì)振動(dòng)特性以及電輸出特性的影響。綜合所得出的曲線(xiàn)關(guān)系圖，得出以下結(jié)論：

(1) 彈性放大器不僅提高了末端振動(dòng)速度，還可以拓寬頻率工作帶和提高輸出功率。在基礎(chǔ)振動(dòng)加速度為40 m/s2條件下，系統(tǒng)短路諧振和開(kāi)路諧振最大輸出功率分別達(dá)到4 386.5和4 263.4 mW，是SDOF系統(tǒng)輸出功率的10倍。TDOF系統(tǒng)工作頻帶寬度達(dá)到10 Hz，是SDOF系統(tǒng)的5倍。

(2) 大質(zhì)量比a和小阻尼比c可以拓寬工作頻帶和輸出較大的功率。

(3) 反諧振狀態(tài)下的匹配電阻能夠使TDOF系統(tǒng)輸出較大的工作電壓；而諧振狀態(tài)下的匹配電阻能夠使TDOF系統(tǒng)輸出較大的工作電流。

參考文獻(xiàn)：

[1] Raghunathan V, Kansal A, Hsu J, et al, Design considerations for solar energy harvesting wireless embedded systems[A]. IEEE International Symp. on Information[C]. 2005.

[2] Mathuna C O, Martinez-Catalar V, O’Donnel T, et al. Energy scavenging for long-term deployable wireless sensor networks [J]. Talanta，2008, 75(3):613—623.

[3] Sari I, Balkan T, Kulah H, An electromagnetic micro power generator for low-frequency environmental vibrations based on the frequency upconversion technique [J]. Journal of Microelectromechanical Systems, 2010, 19 (1):14—27.

[4] Hoffmann D, Folkmer B, Manoliy Y, Fabrication, characterization and modeling of electrostatic micro-generators [J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2009, 19:094001—094012.

[5] Kim M, Hoegen M, Du Gundj I J, Modeling and experimental verification of proof mass effects on vibration energy harvester performance[J]. Smart Materials and Structures, 2010, 19(4):045023—045043.

[6] Liao Y B, Sodano H A, Model of a single mode energy harvester and properties for optimal power generation[J], Smart Materials and Structures, 2008, 17(6):065026—065040.

[7] Challa V R, Prasad M G, Shi Y, et al. A vibration energy harvesting device with bidirectional resonance frequency tenability[J]. Smart Materials and Structures, 2008, 17(1):015035—015046.

[8] Wu W, Chen Y, Lee B, et al. Tunable resonant frequency power harvesting devices[A]. Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering[C]. 2006, 6169:61690A.

[9] Ma P S, Kim J E, Kim Y Y, Power amplifying strategy in vibration powered energy harvesters[A]. Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering[C]. 2010, 7643:76430O.

[10] Aldraihem O, Baz A, Energy harvester with dynamic magnifier[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2011, 22(6):512—530.

[11] HAGOOD N W, CHUNG W, VON FLOTOW A. Modeling of piezoelectric actuator dynamics for active structural control[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 1990, 1(3):327—354.

[12] 王光慶, 金文平, 展永政，等. 壓電振動(dòng)能量采集器的力電耦合模型及其功率優(yōu)化[J]. 傳感技術(shù)學(xué)報(bào), 2013, 26(8):1 092—1 099.WANG Guangqing, JIN Wenping, ZHAN Yongzheng, et al. A force-electric coupling model and power optimization of piezoelectric vibration energy harvester[J]. Chinese Journal of Sensors and Actuators. 2013, 26(8):1 092—1 099.

[13] Wang H Y, Shan X B, XIE T. An energy harvester combining a piezoelectric cantilever and a single degree of freedom elastic system[J]. Journal of Zhejiang University-SCIENCE A, 2012, 13(7):526—537.