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        二次根式的求值技巧

        2014-04-02 19:27:52李新云
        初中生之友·中旬刊 2014年3期
        關(guān)鍵詞:原式根式負數(shù)

        李新云

        二次根式求值問題是二次根式學(xué)習(xí)中常見的問題。解答時必須考慮利用一些解題技巧。下面舉例說明,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

        一、利用二次根式的定義

        例1 已知x、y為實數(shù),且滿足■-(y-1)■=0,則x2013-y2013=___。

        分析 由二次根式的定義,得■≥0,■≥0,則有y-1≥0。

        又1-y≥0,則可以求出y的值,從而x的值也可以求出。

        解 已知等式即為■=(y-1)■。

        因為■≥0,■≥0,

        所以y-1≥0,即1-y≤0。

        因為1-y≥0,所以1-y=0,即y=1。

        把y=1代入已知等式,得■=0,解得x=-1。

        則原式=(-1)2013-12013=-2。

        點評 若■有意義,則■中隱含著兩個非負數(shù):一個是被開方數(shù)a≥0,另一個是■≥0。

        二、利用倒數(shù)關(guān)系

        例2 已知a=2+■,b=2-■,試求■-■的值。

        分析 由ab=1,得a和b互為倒數(shù),那么■=a,■=b。

        解 由a=2+■,b=2-■,得ab=1,a+b=4,a-b=2■。

        則原式=a·■-b·■=a2-b2=(a+b)(a-b)=8■。

        點評 如果ab=1,那么a和b互為倒數(shù),即有■=a,■=b。解題時我們要注意利用這一性質(zhì)。

        三、利用平方法

        例3 若m=■,則m5-2m4-2013m3的值是______。

        分析 因為m5-2m4-2013m3=m3(m2-2m-2013),要求原式的值,關(guān)鍵在于確定m3及m2-2m-2013的值。

        解 因為m=■=■+1。

        所以m-1=■,(m-1)2=2014。

        所以m2-2m-2013=0。

        所以原式=m3(m2-2m-2013)=0。

        點評 對于m=■+b的多項式求值問題,應(yīng)先將這個條件變形為

        m-b=■,然后兩邊平方,從而解決問題。

        四、利用非負數(shù)和為零

        例4 若■+(b-2)2=0,則a2+■-b=______。

        分析 從已知等式出發(fā),看看能否確定a2+■的值及b的值。

        解 因為■≥0,(b-2)2≥0,所以a2-5a+1=0,b-2=0。

        由a2-5a+1=0,得a2+1=5a,a+■=5;由b-2=0,得b=2。

        則原式=a+■2-2a·■-b=21。

        點評 常見的非負數(shù)有:實數(shù)的絕對值,實數(shù)的平方,非負實數(shù)的算術(shù)平方根。若其中任意兩個或三個的和等于0,則每一個都等于0。

        五、利用實數(shù)相等的性質(zhì)

        例5 已知a、b為有理數(shù),m、n分別表示5-■的整數(shù)部分和小數(shù)部分,且amn+bn2=1,則2a-b=______。

        分析 先確定m、n的值,再將其代入已知等式中,可知左邊有理數(shù)部分為1,無理數(shù)部分為0。由此可以確定a、b的值。

        解 由2<5-■<3,得m=2,n=(5-■)-2=3-■。

        因為amn+bn2=1,

        所以23-■a+3-■2b=1。

        所以(6a+16b)-(2a+6b)■=1。

        所以6a+16b=1,2a+6b=0。

        所以a=■,b=-■。

        則2a-b=2×■-(-■)=■。

        點評 任意一個實數(shù)都可寫成m+n■的形式。其中m是它的有理數(shù)部分,n■是它的無理數(shù)部分。如果兩個實數(shù)相等,那么它們的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分必然分別相等。

        六、利用配方法

        例6 如果a-b=■+■,b-c=■-■,那么2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=______。

        分析 根據(jù)已知兩等式不可能單獨確定a、b、c的值,只能確定a-b、b-c、a-c的值。因此,應(yīng)將原式變形成關(guān)于a-b、b-c、a-c的式子。

        解 已知兩等式即為a=■+■+b,c=b-■+■,

        所以a-c=2■。

        則原式=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)

        =(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

        =(■+■)2+(■-■)2+(2■)2=34。

        點評 配方的實質(zhì)是逆向應(yīng)用完全平方公式,將形如a2±2ab+b2的式子化為形如(a±b)2的形式。

        練習(xí)

        1.計算2■-6■+■的結(jié)果是( )

        A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

        2.如果■=1-2a,則( )

        A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

        3.已知6-3m+(n-5)2=3m-6-■,則m-n=( )

        A.2 B.1 C.-1 D.-2

        4.把二次根式a■化簡后,結(jié)果正確的是( )

        A.■ B.-■ C.-■ D.■

        5.下列各式計算正確的是( )

        A.■+■=■ B.2+■=2■

        C.3■-■=2■ D.■=■-■

        6.估計■×■+■的運算結(jié)果在( )

        A.1到2之間 B.2到3之間

        C.3到4之間 D.4到5之間

        7.若a<1,化簡■-1等于( )

        A.a-2 B.2-a C.a D.-a

        8.已知實數(shù)a滿足2011-a+■=a,則a-20112的值是( )

        A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

        練習(xí)參考答案

        1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

        二次根式求值問題是二次根式學(xué)習(xí)中常見的問題。解答時必須考慮利用一些解題技巧。下面舉例說明,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

        一、利用二次根式的定義

        例1 已知x、y為實數(shù),且滿足■-(y-1)■=0,則x2013-y2013=___。

        分析 由二次根式的定義,得■≥0,■≥0,則有y-1≥0。

        又1-y≥0,則可以求出y的值,從而x的值也可以求出。

        解 已知等式即為■=(y-1)■。

        因為■≥0,■≥0,

        所以y-1≥0,即1-y≤0。

        因為1-y≥0,所以1-y=0,即y=1。

        把y=1代入已知等式,得■=0,解得x=-1。

        則原式=(-1)2013-12013=-2。

        點評 若■有意義,則■中隱含著兩個非負數(shù):一個是被開方數(shù)a≥0,另一個是■≥0。

        二、利用倒數(shù)關(guān)系

        例2 已知a=2+■,b=2-■,試求■-■的值。

        分析 由ab=1,得a和b互為倒數(shù),那么■=a,■=b。

        解 由a=2+■,b=2-■,得ab=1,a+b=4,a-b=2■。

        則原式=a·■-b·■=a2-b2=(a+b)(a-b)=8■。

        點評 如果ab=1,那么a和b互為倒數(shù),即有■=a,■=b。解題時我們要注意利用這一性質(zhì)。

        三、利用平方法

        例3 若m=■,則m5-2m4-2013m3的值是______。

        分析 因為m5-2m4-2013m3=m3(m2-2m-2013),要求原式的值,關(guān)鍵在于確定m3及m2-2m-2013的值。

        解 因為m=■=■+1。

        所以m-1=■,(m-1)2=2014。

        所以m2-2m-2013=0。

        所以原式=m3(m2-2m-2013)=0。

        點評 對于m=■+b的多項式求值問題,應(yīng)先將這個條件變形為

        m-b=■,然后兩邊平方,從而解決問題。

        四、利用非負數(shù)和為零

        例4 若■+(b-2)2=0,則a2+■-b=______。

        分析 從已知等式出發(fā),看看能否確定a2+■的值及b的值。

        解 因為■≥0,(b-2)2≥0,所以a2-5a+1=0,b-2=0。

        由a2-5a+1=0,得a2+1=5a,a+■=5;由b-2=0,得b=2。

        則原式=a+■2-2a·■-b=21。

        點評 常見的非負數(shù)有:實數(shù)的絕對值,實數(shù)的平方,非負實數(shù)的算術(shù)平方根。若其中任意兩個或三個的和等于0,則每一個都等于0。

        五、利用實數(shù)相等的性質(zhì)

        例5 已知a、b為有理數(shù),m、n分別表示5-■的整數(shù)部分和小數(shù)部分,且amn+bn2=1,則2a-b=______。

        分析 先確定m、n的值,再將其代入已知等式中,可知左邊有理數(shù)部分為1,無理數(shù)部分為0。由此可以確定a、b的值。

        解 由2<5-■<3,得m=2,n=(5-■)-2=3-■。

        因為amn+bn2=1,

        所以23-■a+3-■2b=1。

        所以(6a+16b)-(2a+6b)■=1。

        所以6a+16b=1,2a+6b=0。

        所以a=■,b=-■。

        則2a-b=2×■-(-■)=■。

        點評 任意一個實數(shù)都可寫成m+n■的形式。其中m是它的有理數(shù)部分,n■是它的無理數(shù)部分。如果兩個實數(shù)相等,那么它們的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分必然分別相等。

        六、利用配方法

        例6 如果a-b=■+■,b-c=■-■,那么2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=______。

        分析 根據(jù)已知兩等式不可能單獨確定a、b、c的值,只能確定a-b、b-c、a-c的值。因此,應(yīng)將原式變形成關(guān)于a-b、b-c、a-c的式子。

        解 已知兩等式即為a=■+■+b,c=b-■+■,

        所以a-c=2■。

        則原式=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)

        =(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

        =(■+■)2+(■-■)2+(2■)2=34。

        點評 配方的實質(zhì)是逆向應(yīng)用完全平方公式,將形如a2±2ab+b2的式子化為形如(a±b)2的形式。

        練習(xí)

        1.計算2■-6■+■的結(jié)果是( )

        A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

        2.如果■=1-2a,則( )

        A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

        3.已知6-3m+(n-5)2=3m-6-■,則m-n=( )

        A.2 B.1 C.-1 D.-2

        4.把二次根式a■化簡后,結(jié)果正確的是( )

        A.■ B.-■ C.-■ D.■

        5.下列各式計算正確的是( )

        A.■+■=■ B.2+■=2■

        C.3■-■=2■ D.■=■-■

        6.估計■×■+■的運算結(jié)果在( )

        A.1到2之間 B.2到3之間

        C.3到4之間 D.4到5之間

        7.若a<1,化簡■-1等于( )

        A.a-2 B.2-a C.a D.-a

        8.已知實數(shù)a滿足2011-a+■=a,則a-20112的值是( )

        A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

        練習(xí)參考答案

        1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

        二次根式求值問題是二次根式學(xué)習(xí)中常見的問題。解答時必須考慮利用一些解題技巧。下面舉例說明,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

        一、利用二次根式的定義

        例1 已知x、y為實數(shù),且滿足■-(y-1)■=0,則x2013-y2013=___。

        分析 由二次根式的定義,得■≥0,■≥0,則有y-1≥0。

        又1-y≥0,則可以求出y的值,從而x的值也可以求出。

        解 已知等式即為■=(y-1)■。

        因為■≥0,■≥0,

        所以y-1≥0,即1-y≤0。

        因為1-y≥0,所以1-y=0,即y=1。

        把y=1代入已知等式,得■=0,解得x=-1。

        則原式=(-1)2013-12013=-2。

        點評 若■有意義,則■中隱含著兩個非負數(shù):一個是被開方數(shù)a≥0,另一個是■≥0。

        二、利用倒數(shù)關(guān)系

        例2 已知a=2+■,b=2-■,試求■-■的值。

        分析 由ab=1,得a和b互為倒數(shù),那么■=a,■=b。

        解 由a=2+■,b=2-■,得ab=1,a+b=4,a-b=2■。

        則原式=a·■-b·■=a2-b2=(a+b)(a-b)=8■。

        點評 如果ab=1,那么a和b互為倒數(shù),即有■=a,■=b。解題時我們要注意利用這一性質(zhì)。

        三、利用平方法

        例3 若m=■,則m5-2m4-2013m3的值是______。

        分析 因為m5-2m4-2013m3=m3(m2-2m-2013),要求原式的值,關(guān)鍵在于確定m3及m2-2m-2013的值。

        解 因為m=■=■+1。

        所以m-1=■,(m-1)2=2014。

        所以m2-2m-2013=0。

        所以原式=m3(m2-2m-2013)=0。

        點評 對于m=■+b的多項式求值問題,應(yīng)先將這個條件變形為

        m-b=■,然后兩邊平方,從而解決問題。

        四、利用非負數(shù)和為零

        例4 若■+(b-2)2=0,則a2+■-b=______。

        分析 從已知等式出發(fā),看看能否確定a2+■的值及b的值。

        解 因為■≥0,(b-2)2≥0,所以a2-5a+1=0,b-2=0。

        由a2-5a+1=0,得a2+1=5a,a+■=5;由b-2=0,得b=2。

        則原式=a+■2-2a·■-b=21。

        點評 常見的非負數(shù)有:實數(shù)的絕對值,實數(shù)的平方,非負實數(shù)的算術(shù)平方根。若其中任意兩個或三個的和等于0,則每一個都等于0。

        五、利用實數(shù)相等的性質(zhì)

        例5 已知a、b為有理數(shù),m、n分別表示5-■的整數(shù)部分和小數(shù)部分,且amn+bn2=1,則2a-b=______。

        分析 先確定m、n的值,再將其代入已知等式中,可知左邊有理數(shù)部分為1,無理數(shù)部分為0。由此可以確定a、b的值。

        解 由2<5-■<3,得m=2,n=(5-■)-2=3-■。

        因為amn+bn2=1,

        所以23-■a+3-■2b=1。

        所以(6a+16b)-(2a+6b)■=1。

        所以6a+16b=1,2a+6b=0。

        所以a=■,b=-■。

        則2a-b=2×■-(-■)=■。

        點評 任意一個實數(shù)都可寫成m+n■的形式。其中m是它的有理數(shù)部分,n■是它的無理數(shù)部分。如果兩個實數(shù)相等,那么它們的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分必然分別相等。

        六、利用配方法

        例6 如果a-b=■+■,b-c=■-■,那么2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=______。

        分析 根據(jù)已知兩等式不可能單獨確定a、b、c的值,只能確定a-b、b-c、a-c的值。因此,應(yīng)將原式變形成關(guān)于a-b、b-c、a-c的式子。

        解 已知兩等式即為a=■+■+b,c=b-■+■,

        所以a-c=2■。

        則原式=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)

        =(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2

        =(■+■)2+(■-■)2+(2■)2=34。

        點評 配方的實質(zhì)是逆向應(yīng)用完全平方公式,將形如a2±2ab+b2的式子化為形如(a±b)2的形式。

        練習(xí)

        1.計算2■-6■+■的結(jié)果是( )

        A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

        2.如果■=1-2a,則( )

        A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

        3.已知6-3m+(n-5)2=3m-6-■,則m-n=( )

        A.2 B.1 C.-1 D.-2

        4.把二次根式a■化簡后,結(jié)果正確的是( )

        A.■ B.-■ C.-■ D.■

        5.下列各式計算正確的是( )

        A.■+■=■ B.2+■=2■

        C.3■-■=2■ D.■=■-■

        6.估計■×■+■的運算結(jié)果在( )

        A.1到2之間 B.2到3之間

        C.3到4之間 D.4到5之間

        7.若a<1,化簡■-1等于( )

        A.a-2 B.2-a C.a D.-a

        8.已知實數(shù)a滿足2011-a+■=a,則a-20112的值是( )

        A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

        練習(xí)參考答案

        1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

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