(泰州學院, 泰州 225300)

0 引 言

在一些積分不等式的證明中,被積函數(shù)不確定,因此不能求出具體數(shù)值,這時可以將一元積分式轉(zhuǎn)化為二元積分式,再結合二重積分的性質(zhì)或結合均值不等式等方法進行證明。

1 重積分在不等式中的應用

1.1 應用一:直接增元法

由此可知

所以有

命題得證!

此命題看上去非常的簡單,但是在應用中非常有技巧性,用此命題來證明下面的不等式:

例1 設f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù),且滿足:

證明

證明 由題設

得

即

則

即

命題得證!

1.2 應用二:轉(zhuǎn)化法(將累次積分轉(zhuǎn)為重積分)

命題二:若f(x)在[a,b]上可積,g(y)在[c,d]上可積,則二元函數(shù)f(x)g(y)在平面區(qū)域D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上可積,且

其中D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}[1]

例2 設p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且在[a,b]上,p(x)>0，f(x),g(x)為單調(diào)遞增函數(shù),

試證

證明 由

可知

令

下證I≥0

(1)

同理

(2)

(1)+(2)得

因為同為單調(diào)增函數(shù),所以

[g(y)-g(x)][f(y)-f(x)]≥0

又因為

p(x)>0,p(y)>0

故

即I≥0,命題得證!

例3 若f(x)和g(x)在[a,b]可積,證明施瓦茲不等式

證明 由已知和定積分的性質(zhì)可知f2(x)和g2(x)在[a,b]上可積,由以上兩個命題可得

(1)

其中

D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b}

同理可得

(2)

由(1)式和(2)式兩邊分別相加可得

(利用均值不等式f2(x)g2(y)+f2(y)g2(x)≥2f(x)g(y)f(y)g(x))≥

故有

1.3 應用三:轉(zhuǎn)換法(將常數(shù)轉(zhuǎn)換成重積分形式)

積分中值定理:若f(x)在[a,b]上連續(xù),則至少存在一點ξ∈[a,b],使得

對于命題三,常常倒過來使用,將常數(shù)化為積分形式

例4 函數(shù)f(x)在[a,b]上取正值,且f(x)在[a,b]上連續(xù),試證

證明 若證

即證

即證

即證

即證

因為f(x)≥0、f(y)≥0

所以

即

恒成立

所以

成立 命題得證！

1.4 應用四:對稱變換法

證明 設D1={(x,y)|(x,y)∈D,y≤x}，D2={(x,y)|(x,y)∈D,y≥x}

則D=D1+D2

同理可得

命題得證!

此命題對于不等式的證明非常有幫助,我們?nèi)匀豢瓷厦娴哪莻€例子

例5 函數(shù)f(x)在[a,b]上取正值,且f(x)在[a,b]上連續(xù),試證

證明 令

則由命題二可知

其中D=[a,b]×[a,b]

又因為區(qū)間D=[a,b]×[a,b]關于直線y=x對稱,于是有

所以

則有

由于f(x),f(y), 均為正值,利用均值不等式可得

于是就有

從而得

I≥(b-a)2

即

命題得證!

1.5 四種方法的區(qū)別與聯(lián)系

以上四種方法在不等式的證明中占據(jù)重要的地位，它們之間有著區(qū)別同時也存在一定的聯(lián)系.第一種方法是直接在一元積分不等式兩邊增加一個積分變量,使一元積分不等式化為二元積分不等式,然后巧妙的運用轉(zhuǎn)換積分變量的順序達到了證明一元積分不等式的目的。

方法二、方法三與方法四之間看起來似乎一樣,但是它們的出發(fā)點不同。

在方法二中,將累次積分化為重積分,主要運用的是定積分的值與積分變量無關的性質(zhì),這樣我們就可以改變定積分的積分變量來化為重積分,以達到證明積分不等式的目的。

方法三是根據(jù)積分中值定理的推論將常數(shù)化為重積分形式,來達到構造重積分,積分形式統(tǒng)一之后,被積函數(shù)才可以任意加減運算,在根據(jù)被積函數(shù)的性質(zhì)來證明積分不等式。

方法四是構造二元函數(shù),根據(jù)兩元函數(shù)對稱的性質(zhì),可以交換積分變量的位置,使定積分的值不變,根據(jù)這個性質(zhì)就可以證明積分不等式了。

后三種方法雖然各自的出發(fā)點不同,但最終的歸宿是相同的,最終都以結合均值不等式的運用而結束,這是它們之間的共同之處.對于方法四,對積分變量的區(qū)間要求很嚴格,要求對稱,但是方法二就沒有這樣的要求,方法二要比方法四運用更廣泛。

2 重積分應用的擴展

對于以上的命題，有一些命題還可以擴展，例如命題二和命題四，下面我們就進一步的擴展。

(1) 命題二擴展一。

若f(x)在[a,b]上可積,g(y)在[c,d]上可積，h(z)在[e,f]上可積,則三元函數(shù)f(x)g(y)h(z)在積分區(qū)域V={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}上可積,且

其中V={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}[6]

例6 若f(x),g(x),h(x)在[a,b]可積,且f(x),g(x),h(x)均大于等于零,證明下面不等式

證明 由已知和定積分的性質(zhì)可知，f3(x)，g3(x)，h3(x)在[a,b]上可積。由上面兩個命題可知

(1)

其中V={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}

同理亦可求得

(2)

(3)

將(1)式，(2)式和(3)式兩邊分別相加得

f3(z)g3(x)h3(y)]dxdydz

(由均值不等式可知)

f(z)g(x)h(y)]dxdydz

故得

命題得證！

例7 若fi(xi)(i=1,2,3,…,n)在[a,b]可積,且fi(x)≥0證明下面不等式

(1)

同理可得

(2)

(3)

……

(n)

將上面n個式子兩邊分別相加得

…+

…+

此時可得

命題得證！

例8 若f(x)，g(x)，h(x)在[a,b]可積f(x),g(x),h(x)均大于等于零,且證明下面不等式

證明 由已知和定積分的性質(zhì)可知，f3(x),g3(x),h3(x)在[a,b]上可積。由上面兩個命題可知

其中V={(x,y，z)|a≤x≤b,a≤y≤b,a≤z≤b}

令F(x,y,z)=f3(x)g3(y)h3(z)

因為積分變量x,y,z的取值范圍相同

所以有

由此可知

f3(y)g3(z)h3(x)+

f3(z)g3(x)h3(y)]dxdydz

(均值不等式)

故得

所以

命題得證！

命題四擴展二：若當積分變量x1,x2,…,xn-1,xn取值范圍相同時,被積函數(shù)的n個變量交換位置后,n重積分的值不變,即

…=

例9 若fi(x)(i=1,2,3,…n) 在[a,b]可積,且fi(x)≥ 0證明下面不等式

令

因為積分變量x1,x2,…,xn-1,xn取值范圍相同

所以有

…=

即有

…+

dx1dx2…dxn+

dx1dx2…dxn+

dx1dx2…dxn+

…+

dx1dx2…dxn=

…+

dx1dx2…dxn≥

此時可得

命題得證！

3 后 記

以上只是例舉出來的幾種利用重積分證明積分不等式的方法,對于積分不等式的證明的方法很多,例如引入輔助并構建變限積分,再利用積分的性質(zhì)進行證明等方法,當我們在遇到積分不等式的時候,我們要靈活運用各種方法,而不能局限于這幾種特殊的方法!

參考文獻:

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