曾惠芳， 熊培銀

( 1.湖南科技大學 商學院； 2.湖南科技大學 信息與電氣工程學院: 湖南 湘潭 411201 )

金融市場波動性是近年來金融理論研究中較為活躍的一個課題，其中波動率是衡量金融資產風險的重要指標.傳統(tǒng)的金融時間序列模型假設收益率序列服從正態(tài)分布，但是，近年來的大量實證研究表明，金融市場上絕大多數資產收益率序列的特征往往無法用一些標準的金融時間序列模型來刻畫，比如尖峰厚尾性、非對稱性等，尤其是當條件方差不存在時，傳統(tǒng)的GARCH模型很難實現對金融市場波動特征的刻畫.為了更全面和準確地描述金融時間序列的波動特征，研究者們提出了一些更加靈活和穩(wěn)健的分位回歸方法.如：Koenker等討論了異方差模型的分位估計[1]，且提出了分位自回歸條件異方差模型[2]，并推導了其估計量的漸近分布；Xiao等[3]提出了分位數GARCH模型，并給出了該模型的兩步估計方法以及估計量的漸近性質；Chen等[4]提出了ARCH模型的一步估計，并提出了分位回歸模型的格蘭杰因果檢驗；王新宇等[5]利用MCMC方法對間接TARCH-CAViaR模型進行了貝葉斯分析，并分析了中國股市的風險價值.雖然對ARCH模型的分位回歸分析取得了一些成果，但它仍處于起步階段，有待于進一步研究.本文討論了分位回歸ARCH模型的結構特征及其相應的估計方法，提出了AR-ARCH模型的兩步估計方法，并對其進行了仿真驗證分析.

1 模型結構分析

假設隨機變量{yt}服從如下的AR-ARCH過程：

(1)

yt=σtet=(α0+α1|yt-1|+…+αq|yt-q|)et，

(2)

因此，分位回歸ARCH模型可用如下的隨機系數分位回歸AR來表示：

yt=σtet=(α0+α1|yt-1|+…+αq|yt-q|)et=α0(et)+α1(et)|yt-1|+…+αq(et)|yt-q|，

(3)

因為|yt-j|以及系數都大于0， 所以它是關于et的單調遞增函數.相應地，yt的條件分位數函數為

(4)

在經濟系統(tǒng)中，經濟變量是互相聯系的，因此，在對資產收益率時間序列建模時，需要在分位回歸ARCH模型中引入其他經濟解釋變量,即

yt=a0+a1yt-1+…+apyt-p+ap+1x1t+…+ap+vxv t+εt,

(5)

并假設殘差項為

εt=(α0+α1|εt-1|+…+αq|εt-q|+αq+1|x1t|+…+αq+v|xv t|)et，

(6)

(7)

2 模型的貝葉斯估計

為了實現分位回歸ARCH模型的貝葉斯推斷，可以假設模型為

(8)

(9)

其中W=(wp+1,…，wn)′.假設參數α的先驗分布為擴散先驗分布，即π(α)∝1， 根據貝葉斯公式，可以實現對參數α的貝葉斯分位回歸估計.

3 仿真試驗和分析

圖1分別給出了殘差項服從標準正態(tài)分布、自由度為3的t分布和標準柯西分布的時間序列樣本軌跡圖.從圖1可以看出：擾動項服從柯西分布的時間序列，其異常點最多；其次是擾動項服從t分布的時間序列;正態(tài)分布的異常點相對較少.

圖1 時間序列樣本軌跡圖

選擇先驗分布為均勻分布，可以由M-H算法模擬得到各個參數的邊緣后驗分布.在模型運行的過程中，一共迭代了11 000次.為確保參數估計的一致性，丟棄開始時的1 000次迭代，用1 001次到11 000次迭代得到的樣本來估計參數.圖2給出了殘差項服從標準正態(tài)分布時，模型參數在不同概率水平(τ=0.05,0.25,0.5,0.75,0.95)下的后驗密度直方圖.由于篇幅所限，本文略去殘差項服從自由度為3的t分布和標準柯西分布情況下的模型參數估計的后驗密度直方圖.從圖2可以看出，不同情況下參數的后驗估計直方圖都呈倒鐘型，說明MCMC模擬過程是平穩(wěn)的，即該MCMC抽樣算法能有效地模擬分位回歸ARCH過程中各參數的邊緣后驗分布.

表1給出了當分位數τ=0.05,0.25,0.5,0.75,0.95時參數的后驗估計.從表1可知，擾動項服從正態(tài)分布或t分布時，因為其本身是對稱分布，所以參數的估計也是對稱的.當擾動項服從正態(tài)分布時，α0(0.05)=-9.415 0,α0(0.95)=9.896 0; 當擾動項服從t分布時，α0(0.05)=-14.881 0,α0(0.95)=14.020 2.由于t分布具有厚尾性，當分位數相等時，t分布的尾部概率比正態(tài)分布更大.因為柯西分布比t分布具有更厚的尾部特征，所以其分位數在尾部的絕對值更大.模型參數的估計結果與真實值比較接近，這進一步說明了該方法的有效性.

圖2 不同概率水平下參數的后驗密度(殘差項服從標準正態(tài)分布)

表1 參數的貝葉斯分位回歸估計

參考文獻：

[1] Koenker R, Zhao Q. L-estimation for linear heteroscedastic models[J]. Journal of Nonparametric Statistics, 1994,3:223-235.

[2] Koenker R, Zhao Q. Conditional quantile estimation and inference for ARCH models[J]. Econometric Theory, 1996,12:793-813.

[3] Xiao Z, Koenker R. Conditional quantile estimation for generalized autoregressive conditional heteroscedasticity models[J]. Journal of the American Statistical Association, 2009,104(488):1696-1712.

[4] Chen C W S, Gerlach R, Wei D C M. Bayesian causal effects in quantiles: accounting for heteroscedasticity[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2009,53:1993-2007.

[5] 王新宇,宋學鋒.間接TARCH-CAViaR模型及其MCMC參數估計與應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2008(9):46-51.

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[7] 朱慧明,王彥紅,曾惠芳.基于逆跳MCMC的貝葉斯分位自回歸模型研究[J].統(tǒng)計與信息論壇,2010,25(1):9-13.