李生彪, 彭建奎

( 蘭州文理學院， 甘肅 蘭州 730000 )

在國民經(jīng)濟運行過程中，GDP是衡量一個國家或地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展狀況的重要指標，也是政府在制定經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略和政策時的一個重要依據(jù)；因此，對一個國家或地區(qū)的GDP進行分析和預測具有非常重要的意義.20世紀70 年代，G.P.Box和G.M.Jenkins提出了ARIMA 模型法[1]，該模型是在建模之前先將非平穩(wěn)時間序列轉化為平穩(wěn)的時間序列，然后再運用 ACF圖和PACF圖對得到的平穩(wěn)時間序列選擇最佳的ARIMA模型.由于傳統(tǒng)的灰色理論、生長曲線、指數(shù)平滑法等方法只適合于具有某種典型趨勢特征變化的現(xiàn)象的預測,而甘肅省在改革開放以來特別是在西部大開發(fā)以來GDP增長快速，其GDP的時間序列數(shù)據(jù)并不總是滿足這種典型趨勢特征，這使得這些傳統(tǒng)模型產(chǎn)生的誤差項不一定完全是具有隨機性質的,從而會影響對它的預測效果.本文利用SPSS軟件，對甘肅省GDP的年度數(shù)據(jù)進行了時間序列分析，并基于Box-Jenkins方法建立了甘肅省GDP的時間序列ARMA模型，最后運用該模型對未來4年甘肅省的GDP進行了預測.

1 Box-Jenkins方法簡介

Box-Jenkins方法是關于時間序列分析、預測及控制的一整套方法，也稱作傳統(tǒng)的時間序列建模方法.該方法把時間序列建模分為3個階段，即模型類型識別階段、模型的參數(shù)估計階段以及基于模型的預測階段[2].在實際應用中，Box-Jenkins方法的常見模型形式為：若時間序列值xt是現(xiàn)在干擾值εt和過去干擾值εt-i以及過去的序列值xt-i的線性組合，則稱此模型為自回歸移動平均模型;相應地，序列xt稱為自回歸移動平均序列，稱

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q

(1)

2 甘肅省GDP時間序列分析建模

2.1 甘肅省GDP數(shù)據(jù)的分析

甘肅省1978—2012年的GDP數(shù)據(jù)[5]如表1所示，圖1是其時間序列的折線圖.

表1 1978—2012年甘肅省GDP 億元

圖1 1978—2012年甘肅省GDP數(shù)據(jù)時間序列的折線圖

從圖1可以看出，甘肅省的GDP在1978—1994年增長緩慢，但從1995年開始呈現(xiàn)出一種指數(shù)增長的趨勢.由此可知該時間序列是一個非平穩(wěn)的時間序列.我們首先通過對甘肅省的GDP數(shù)據(jù)取對數(shù)并做一階差分，將其轉化為線性趨勢，使該時間序列達到平穩(wěn).取對數(shù)并做一階差分后得到的甘肅省GDP數(shù)據(jù)時間序列圖如圖2所示.由圖2可以看出，取對數(shù)并做一階差分后的甘肅省GDP數(shù)據(jù)時間序列基本達到平穩(wěn).下面對該數(shù)據(jù)進行ACF圖和PACF圖分析，進行模型的識別和定階，以最終找到最佳的時間序列模型.

2.2 模型的識別與定階

首先根據(jù)甘肅省GDP時間序列模型的ACF圖和PACF圖(見圖3)建立相應的ARMA模型.從圖3可看出，PAC截尾,而AC拖尾,因此可判定對GDP數(shù)據(jù)差分后的序列適合AR模型,即原GDP數(shù)據(jù)序列適合模型ARIMA(p,1,0)，也就是說，對于原GDP數(shù)據(jù)序列而言,其可供選擇的模型有ARIMA(1,1,0)和ARIMA(2,1,0).

圖2 對數(shù)變換和一階差分后的甘肅省GDP數(shù)據(jù)時間序列圖

圖3 1978—2012年甘肅省GDP差分序列的ACF和PACF圖

下面進行參數(shù)估計.文獻[6-7]表明，當最小信息準則AIC和Schwarz-Bayes準則SIC的值最小時，所對應的模型為預測的最佳模型.在參數(shù)估計的過程中,同時進行模型的殘差白噪聲檢驗.計算后的主要效果指標值如表2所示.從表2容易看出,ARIMA(2,1,0)是甘肅省GDP序列的最佳擬合預測模型,模型中具體的系數(shù)及顯著性檢驗的計算結果如表3所示.由表3數(shù)據(jù)可以得到如下的甘肅省GDP預測公式：

Δyt=0.357 695Δyt-1+0.357 896Δyt-2,

(2)

yt=1.357 695yt-1+0.000 202yt-2-0.357 896yt-3.

(3)

表2 GDP序列的兩種ARIMA模型的效果指標比較表

表3 ARIMA(2,1,0)模型的系數(shù)及顯著性檢驗表

2.3 模型的顯著性檢驗

顯著性檢驗就是看模型的殘差序列是否為白噪聲序列.如果是，說明模型可用來預測；否則，模型不合適于用來預測.本文利用殘差序列的ACF圖和PACF圖來檢驗殘差序列是否為白噪聲序列，檢驗結果如圖4所示.從圖4可以看出，殘差序列近似為白噪聲序列，這說明模型(3)可以用來擬合甘肅省GDP的時間序列.

圖4 殘差序列的ACF圖和PACF圖

3 甘肅省GDP數(shù)據(jù)的預測和分析

利用模型(3)對甘肅省2009—2012年的GDP數(shù)值進行計算并與實際值進行對照,檢驗模型的精確度，結果見表4.從表4可知，2009—2012年的實際GDP值與計算得到的GDP值之間的相對誤差均在5%以內，預測結果比較準確，由此說明模型(3)的擬合效果較好.為進一步說明擬合的效果，利用實際值和擬合值計算出模型(3)的相關系數(shù)R2=0.992 7,由此進一步驗證了該模型能很好地反映出實際狀況.基于此判斷，利用該模型對甘肅省2013—2016年的GDP做了預測，并得到了相應的預測值(見表4)，其結果的精確度有待于今后與實際GDP指標值比較后進一步確認.

表4 預測值及與實際值的對照

4 結論與建議

本文利用SPSS軟件并選取ARIMA(2,1,0)為擬合預測模型對甘肅省GDP進行了時間序列分析.實證分析表明，采用模型(3)預測甘肅省GDP取得了良好效果，而且比傳統(tǒng)模型更為簡便.另外，本文收集的時間序列分析的數(shù)據(jù)相對較多，并且由于Box-Jenkins方法不需要對發(fā)展模式做先驗的假設,而且方法本身又可反復進行識別和修改,因此Box-Jenkins方法非常適合各種經(jīng)濟時間序列分析，尤其是短期預測.如果預測時間延長,本方法的預測誤差會相對增大,因此本文中的模型(3)還有待進一步改進.

參考文獻：

[1] 何書元.應用時間序列分析[M].北京：北京大學出版社，2004:5-7.

[2] 張樹京.時間序列分析簡明教程[M].北京:清華大學出版社，2003:27-29.

[3] 王莎莎,陳安,蘇靜,等.組合預測模型在中國GDP預測中的應用[J].山東大學學報:理學版，2009,44(2):56-59.

[4] 王曉鵬,曹廣超,丁生喜,等.基于Box-Jenkins方法的青南高原降水量時間序列建模與預測[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2008，27(4):1-7.

[5] 國家統(tǒng)計局.中國統(tǒng)計年鑒(1991—2011)[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,2012:346-368.

[6] 湯巖.時間序列分析的研究與應用[D].哈爾濱:東北農(nóng)業(yè)大學，2007.

[7] 劉宏杰.基于時間序列分析預算支出與經(jīng)濟增長的關系[J].商業(yè)時代，2008,32:6-7.