曹書豪， 徐紅梅

( 延邊大學(xué)工學(xué)院 電子信息工程系， 吉林 延吉 133002 )

混沌信號是由確定的非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的具有偽隨機性、不可逆性和動態(tài)特性的信號.由于混沌信號在傳輸過程中不易受其他外界因素的影響，因此混沌通信和混沌加密技術(shù)成為國際電子通信領(lǐng)域重要的研究方向，其研究成果已經(jīng)被應(yīng)用到數(shù)據(jù)安全和保密通信等領(lǐng)域[1-4].Logistic映射是典型的一維非線性映射.現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論研究證明，在一維非線性映射中得到的分岔序列和臨界點附近的標(biāo)度性質(zhì)對于高維映射也同樣適用[5].文獻[6]研究了Logistic混沌系統(tǒng)的信息熵特性，論證了信息熵值能夠區(qū)分系統(tǒng)的周期態(tài)和混沌態(tài).文獻[7]對Logistic模型的均值突變時間序列臨界狀態(tài)進行了研究，其結(jié)果表明系統(tǒng)狀態(tài)突變的速度和程度與映射的控制參數(shù)有關(guān).文獻[8]研究了噪聲相互關(guān)聯(lián)時間對Logistic系統(tǒng)亞穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性的影響.文獻[9]研究了基于Logistic映射混沌擴頻序列的產(chǎn)生方法.基于上述研究，本文提出了基于Logistic映射頻譜特性，分析系統(tǒng)周期態(tài)和混沌態(tài)的方法.

1 Logistic映射

經(jīng)典的Logistic映射描述為

xn+1=f(μ,xn)=μxn(1-xn),

(1)

其中參數(shù)μ∈(0,4]， 對所有的x∈[0,1].

在給定參數(shù)μ以及系統(tǒng)初值x0的情況下，通過對(1)式的迭代計算可以獲得任意長度的Logistic序列.當(dāng)參數(shù)μ取不同值時，Logistic映射經(jīng)過多次迭代以后會出現(xiàn)以下情況：

1) 當(dāng)μ∈(0,1)時，系統(tǒng)穩(wěn)定于x=0；

4) 當(dāng)μ∈(3.449,3.544)時，系統(tǒng)存在4個周期點；

5) 當(dāng)μ∈(3.544,3.564)時，系統(tǒng)存在8個周期點；

2 Logistic映射混沌序列

分岔圖能從總體上反映系統(tǒng)的倍周期運動過程.根據(jù)倍周期分岔定理，以參數(shù)μ為橫坐標(biāo)、迭代函數(shù)值為縱坐標(biāo)，由(1)式可得到處于不同參數(shù)區(qū)間的Logistic映射分岔圖.

1) 當(dāng)0<μ≤1時，由(1)式得到的Logistic系統(tǒng)動力學(xué)行為很簡單，只存在不動點x0=0， 且x0為吸引不動點，此時系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖1所示.

2) 當(dāng)1<μ<3時，由(1)式得到的Logistic系統(tǒng)動力學(xué)行為相對較為簡單，存在兩個不動點0和1-1/μ， 且0為排斥不動點， 1-1/μ為吸引不動點，如圖2 (a)所示.對于每一個確定的參數(shù)μ值，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期1狀態(tài)，而且穩(wěn)定點的數(shù)值隨著參數(shù)μ的增大而增大.此時Logistic映射的分岔圖如圖2 (b)所示.

3) 當(dāng)3≤μ≤4時,由(1)式得到的Logistic系統(tǒng)動力學(xué)行為變得十分復(fù)雜——由倍周期進入弱混沌狀態(tài)后再進入完全混沌狀態(tài)，如圖3所示.

圖1 Logistic映射分布圖

圖2 Logistic映射分布圖

圖3 Logistic映射分布圖

在圖3的混沌區(qū)域內(nèi)有一些由若干曲線段組成的空白帶,稱做混沌區(qū)域中的周期窗口，即當(dāng)參數(shù)μ=3.836時，Logistic映射迭代序列出現(xiàn)了周期3的循環(huán)，這表明Logistic映射自此進入了完全混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的動力學(xué)行為由此變得更加復(fù)雜.

3 Logistic映射功率譜特性

圖4 Logistic映射功率譜(μ=1)

圖5 Logistic映射功率譜(μ=3.56)

圖6 Logistic映射功率譜(μ=3.6)

圖7 Logistic映射功率譜(μ=3.98)

從圖4—圖7可以看到：當(dāng)功率譜是單峰或多峰時，Logistic映射對應(yīng)于周期態(tài)或擬周期態(tài)；當(dāng)μ>3.569時，功率譜無明顯的峰(連成一片)，Logistic映射處于弱混沌狀態(tài)，且隨著參數(shù)μ的增大功率譜變得更稠密，其對應(yīng)的Logistic映射處于強混沌狀態(tài).

由以上分析可以得出，由單一Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列處于完全混沌狀態(tài)時，頻譜比較平滑，并且對序列長度具有魯棒性，與保密通信領(lǐng)域所要求的混沌信號具有寬帶、連續(xù)頻譜、對初始條件敏感依賴性的特點相吻合，說明處于混沌狀態(tài)的Logistic映射的部分序列適用于混沌系統(tǒng)的通信領(lǐng)域.

參考文獻：

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