王亭, 袁玉嬌, 杜慧宇, 金月曦, 樸勇杰

( 延邊大學理學院 數(shù)學系, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

文獻[1-3]的作者在度量空間上討論了第I、第II、第III膨脹映射以及弱膨脹映射的不動點存在問題.文獻[4-6]的作者在錐度量空間[7-8]上討論了膨脹映射與其相關聯(lián)的映射的重合點或公共不動點存在問題,同時給出了膨脹映射的不動點存在定理,推廣和改進了文獻[1-3]中關于第I、第II膨脹映射具有不動點定理的結論.文獻[9]的作者把文獻[8]中的收縮條件改成相應的膨脹條件后討論了公共不動點問題.文獻[10]的作者利用文獻[4-6]中的思路在2-度量空間[11-13]上得到了滿足第I和第II膨脹型條件的映射族的重合點和公共不動點以及不動點存在定理,引進了第III*型膨脹的概念并在沒有連續(xù)的框架下證明了映射族的重合點和不動點的存在定理,推廣和改進了第III型膨脹映射在連續(xù)條件下具有不動點的定理[1-3].本文采用新的方法在較弱的條件下更簡便地得到了文獻[10]中討論的相應結果,并討論了另一類膨脹的兩個映射的公共不動點存在問題.

1 基本概念

定義1[14-15]設X是非空集合,f,g∶X→X是兩個映射.如果存在x,w∈X使得w=fx=gx, 則稱x是f和g的重合點,而w是f和g的重合的點.

定義2[16]稱兩個映射f,g∶X→X是弱相容的是指如果x∈X且fx=gx, 則fgx=gfx.

定義3[11-13]2-度量空間(X,d)是由集合X和映射d∶X×X×X→[0,+∞)組成,使得:

(i) 對任何不同的x,y∈X, 存在一個u∈X滿足d(x,y,u)≠0;

(ii)d(x,y,z)=0當且僅當x,y,z中至少有兩個是相同的;

(iii)d(x,y,z)=d(u,v,w), 其中{u,v,w}是{x,y,z}的任意排列;

(iv) 對任何x,y,z,u∈X,d(x,y,z)≤d(x,y,u)+d(x,u,z)+d(u,y,z).

引理1[11-13]設{xn}n∈N是2-度量空間(X,d)中的序列.如果存在h∈[0,1)滿足對任何a∈X及任何n∈N, 成立d(xn+2,xn+1,a)≤hd(xn+1,xn,a), 則{xn}n∈N是柯西序列.

引理3[12-13]設f,g∶X→x是弱相容的.如果f和g有唯一的重合的點w=fx=gx, 則w是f和g的唯一公共不動點.

2 公共不動點存在定理

定理1設(X,d)是2-度量空間,f,g∶X→X是兩個映射使得fX?gX且滿足對任何x,y,a∈X,x≠y,

d(fx,fy,a)≥αd(gx,fx,a)+βd(gy,fy,a)+γd(gx,gy,a),

(1)

其中α,β∈R,γ≥-1.如果(i)fX或gX是完備的,(ii)α+β+γ>1, 則f和g有重合點.

證明首先,根據(jù)(ii)易知α+γ>0或β+γ>0.否則,若α+γ≤0且β+γ≤0, 則α+β+2γ≤0, 于是α+β+γ≤-γ≤1.矛盾.

任取x0∈X, 根據(jù)fX?gX可構造兩個序列{xn}和{yn}滿足條件yn=gxn=fxn+1,n=0,1,….如果存在n使得xn=xn+1, 則xn就是f和g的重合點.于是可假設xn≠xn+1,?n=0,1,2,….假如β+γ>0, 取x=xn+1,y=xn+2, 將其代到(1)式并整理得到對任何a∈X, 有d(yn,yn+1,a)≥αd(yn,yn+1,a)+(β+γ)d(yn+1,yn+2,a).于是

(1-α)d(yn,yn+1,a)≥(β+γ)d(yn+1,yn+2,a),?a∈X,n=0,1,2,….

(2)

假如α+γ>0， 取x=xn+2,y=xn+1, 將其代到(1)式并整理得到對任何a∈X, 有d(yn,yn+1,a)≥(α+γ)d(yn+1,yn+2,a)+βd(yn,yn+1,a).于是

(1-β)d(yn,yn+1,a)≥(α+γ)d(yn+1,yn+2,a),?a∈X,n=0,1,2,….

(3)

d(yn+1,yn+2,a)≤hd(yn,yn+1,a),?a∈X,n=0,1,2,….

因此,根據(jù)引理1知{yn}是柯西序列.

假設fX是完備的.因為yn=gxn=fxn+1∈fX, 因此存在u,p∈X使得yn→u=fp.當β+γ>0時,取x=xn+1,y=p, 將其代到(1)式并整理得到對任何a∈X, 有

d(yn,fp,a)≥αd(yn,yn+1,a)+βd(gp,fp,a)+γd(yn+1,gp,a).

令n→∞, 則根據(jù)引理2和{yn}是柯西序列,上式變成0≥(β+γ)d(fp,gp,a),?a∈X, 因此d(fp,gp,a)=0,?a∈X, 于是fp=gp=u.如果α+γ>0時,取x=p,y=xn+1, 將其代到(1)式并整理得到對任何a∈X, 有

d(fp,yn,a)≥αd(gp,fp,a)+βd(yn+1,yn,a)+γd(gp,yn+1,a).

令n→∞, 則根據(jù)引理2和{yn}是柯西序列,上式變成0≥(α+γ)d(fp,gp,a),?a∈X, 因此d(fp,gp,a)=0,?a∈X, 于是fp=gp=u.總之,無論何種情況下,u總是f和g的重合的點,p是f和g的重合點.

如果gX是完備的,則存在u,p,q∈X使得yn=gxn→u=gq=fp.余下的證明與fX是完備時相同,故省略.

注1如果α,β,γ是非負實數(shù)且滿足α+β+γ>1和α<1或β<1,則定理1變成文獻[10]中的相應結果,也是文獻[6]中相應結果在2-度量空間上的表現(xiàn)形式,因此定理1的條件明顯弱于文獻[6,10]中的條件.另外,雖然定理1的條件更弱,但是定理1的證明方法與文獻[6,10]的方法有較大不同,而且證明過程更簡潔易懂.文獻[6,10]中分α≠0,β≠0,γ≠0 3種情況討論了重合點的存在性.

定理2設(X,d)是2-度量空間,f,g∶X→X是兩個映射，使得fX?gX且滿足(1)式,其中α,β,γ∈R.如果(i)fX或gX是完備的, (ii) min{α+β+γ,γ}>1, (iii)f和g是弱相容的,則f和g有唯一公共不動點.

證明首先,根據(jù)定理1,存在u,p∈X使得u=fp=gp.再假設存在v,z∈X使得v=fz=gz, 并且取x=p,y=z， 將其代到(1)式整理得

d(u,v,a)=d(fp,fz,a)≥γd(gp,gz,a)=γd(u,v,a),?a∈X.

因此必有d(u,v,a)=0,?a∈X, 所以u=v.這說明f和g有唯一重合的點u, 于是根據(jù)引理3知u是f和g的唯一公共不動點.

注2如果α,β≥0, 則定理2的條件(ii)變成γ>1.滿足該條件的定理2正是文獻[10]中的定理2.3,因此本文定理2推廣和改進了文獻[10]的相關定理.

根據(jù)定理1和定理2,模仿文獻[10]中的方法可給出很多(公共)不動點定理.現(xiàn)給出兩個特殊結果：

推論1設(X,d)是2-度量空間,f∶X→X是映射,使得對任何x,y,a∈X,x≠y, 有

d(fx,fy,a)≥αd(f2x,fx,a)+βd(f2y,fy,a)+γd(f2x,f2y,a),

其中α,β,γ∈R.如果(i)fX是完備的, (ii)min{α+β+γ,γ}>1, 則f有唯一不動點.

證明令g=f2, 則f和g顯然是弱相容的且滿足定理2的所有條件,于是f有唯一不動點.

推論2設(X,d)是2-度量空間,f∶X→X是映射，使得f2X=fX且對任何x,y,a∈X,x≠y有

d(f2x,f2y,a)≥αd(fx,f2x,a)+βd(fy,f2y,a)+γd(fx,fy,a),

其中α,β,γ∈R.如果(i)fX是完備的, (ii)min{α+β+γ,γ}>1， 則f有唯一不動點.

證明令F=f2,G=f, 則F和G是弱相容的且滿足定理2的所有條件,于是G=f和F=f2有唯一公共不動點u, 顯然u是f的唯一不動點.

定理3設(X,d)是完備的2-度量空間,f,g∶X→X是兩個滿映射且使得對任何x,y,a∈X, 有

d(fx,gy,a)≥Ad(x,y,a)+Bd(x,fx,a)+Cd(y,gy,a),

(4)

其中A,B,C是實數(shù),滿足A+B>0,A+C>0,A+B+C>1, 則f和g有公共不動點.進一步,若A>1, 則f和g有唯一的公共不動點.

d(x2k+1,x2k+2,a)=d(fx2k+3,gx2k+2,a)≥

Ad(x2k+3,x2k+2,a)+Bd(x2k+3,fx2k+3,a)+Cd(x2k+2,gx2k+2,a)≥

(A+B)d(x2k+3,x2k+2,a)+Cd(x2k+2,x2k+1,a),

(5)

類似地,對任何k=-1,0,1,2,…和a∈X, 利用(4)式可推出

d(x2k+2,x2k+3,a)=d(fx2k+3,gx2k+4,a)≥

Ad(x2k+3,x2k+4,a)+Bd(x2k+3,fx2k+3,a)+Cd(x2k+4,gx2k+4,a)≥

(A+C)d(x2k+3,x2k+4,a)+Bd(x2k+2,x2k+3,a),

(6)

d(xk+1,xk+2,a)≤hd(xk,xk+1,a),?a∈X,k=0,1,2,….

于是根據(jù)引理1可知{xk}是柯西序列.

d(x2k,u,a)=d(fx2k+1,gw,a)≥Ad(x2k+1,w,a)+Bd(x2k+1,x2k,a)+Cd(w,u,a).

令k→∞, 則根據(jù){xk}的柯西性以及引理2,上式變成0=d(u,u,a)≥(A+C)d(u,w,a),?a∈X, 因此根據(jù)A+C>0得到d(u,w,a)=0,?a∈X, 由此推出w=u=gw.類似地,

d(u,x2k+1,a)=d(fv,gx2k+2,a)≥Ad(v,x2k+2,a)+Bd(v,u,a)+Cd(x2k+2,x2k+1,a).

令k→∞, 則上式變成0=d(u,u,a)≥(A+B)d(u,v,a),?a∈X, 因此根據(jù)A+B>0, 得到d(u,v,a)=0,?a∈X, 由此推出v=u=fv.于是u=fu=gu, 說明u是f和g的公共不動點.

如果u′也是f和g的公共不動點,則根據(jù)(4)式,對任何a∈X有

d(u,u′,a)=d(fu,gu′,a)≥Ad(u,u′,a)+Bd(u,fu,a)+Cd(u′,gu′,a)=Ad(u,u′,a),

于是根據(jù)A>1必有u=u′.這說明u是f和g的唯一的公共不動點.

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