王爽, 詹浩

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

確保飛行狀態(tài)在包線(xiàn)范圍內(nèi)被稱(chēng)為邊界保護(hù)控制,此邊界包括正常飛行邊界和故障條件下的邊界。早期的邊界保護(hù)經(jīng)過(guò)了硬限制、軟限制、反饋限制和比較邏輯反饋限制幾個(gè)階段,并在工程應(yīng)用中有了成功的應(yīng)用。近年來(lái),從動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的可達(dá)域及不變集的角度對(duì)飛機(jī)的安全邊界進(jìn)行了定義,利用優(yōu)化理論和粘性數(shù)值算法對(duì)邊界集進(jìn)行了計(jì)算,得到了一定的研究成果[1]。

所謂安全邊界,即在允許控制u∈U下,系統(tǒng)軌線(xiàn)保持在狀態(tài)空間的一特定凸子集x∈C中。Feuer[2]研究了當(dāng)t>0時(shí),在什么條件下可使系統(tǒng)在任意初始條件時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)仍保持在C中,Lygeros等[3]指出了優(yōu)化問(wèn)題與安全集之間的聯(lián)系,Allen[4]研究了邊界保護(hù)控制的方法。本文基于以上工作,討論了飛機(jī)舵面及推力在受極限限制和作用延遲的條件下的安全邊界集,并設(shè)計(jì)了邊界保護(hù)控制器,使該方法在工程上的實(shí)際應(yīng)用又推進(jìn)了一步。

1 可控不變集(Viablilty)與SUPMIN優(yōu)化問(wèn)題

根據(jù)Lygeros[3]的描述,考察系統(tǒng):

(1)

C為系統(tǒng)的允許狀態(tài)空間邊界。對(duì)于從集合S∈C中的任意初始狀態(tài)出發(fā),存在一允許控制u(·)∈U[0,T],對(duì)于所有的t∈[0,T],使系統(tǒng)軌線(xiàn)x(·)滿(mǎn)足x(t)∈S。滿(mǎn)足上述定義的子集S被稱(chēng)為C的最大可控不變集(viablity),記為Viab(t,C),用集合的描述形式即:

x=φ(τ,t,x,u(·))為系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)最優(yōu)化控制理論,選擇J指標(biāo):

J(x,u,t)=V(x,u,t)≥0,V(·,·,·):Rn×Rm×R→R,按照水平集方法的思想,此指標(biāo)中V(x,u,t)為距狀態(tài)允許邊界C的正向距離[5]。優(yōu)化目標(biāo)是最小化性能指標(biāo)J,如圖1所示。其最優(yōu)解即

(2)

故,可得初始時(shí)刻最大不變集對(duì)應(yīng)的集合S為:

S=Viab(0,C)={x∈Rn|V*(x,0)≥0}

(3)

類(lèi)似的SUPMIN問(wèn)題得到了廣泛討論,最有代表性的見(jiàn)Barron等[6]的研究。

假設(shè)條件U∈Rm是緊集且f和V有界并Lipschitz連續(xù)得到滿(mǎn)足。取Hamilton函數(shù)為:

(4)

則,上述SUPMIN問(wèn)題的解可歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)形式的Hamilton-Jacobi 偏微分方程,即:

圖1 可控正不變集和優(yōu)化指標(biāo)示意圖

(5)

邊界條件:V*(x,T)=l(x),l(x)為終端時(shí)刻距離邊界C的距離函數(shù)。假設(shè)條件保證了值函數(shù)最優(yōu)解V*(x,T)的連續(xù)性和在任意x∈Rn,t∈[0,T],u∈U時(shí),系統(tǒng)(1)有唯一連續(xù)解x=φ(τ,t,x,u(·)),從而簡(jiǎn)化了求解過(guò)程。

由于優(yōu)化控制理論只能保最終狀態(tài)會(huì)保持在C中,在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中,系統(tǒng)狀態(tài)軌線(xiàn)可能會(huì)穿越出C集,另外由于J(x,u,t)=V(x,u,t)≥0,必須保證指標(biāo)的正定,故對(duì)(5)式進(jìn)行修改,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[5],得:

(6)

這樣,就保證了V的非增特性,滿(mǎn)足了上述的要求。

同時(shí)從(4)式可以得到最優(yōu)控制

(7)

目前,對(duì)(5)式利用水平集理論及其粘性有限元解法進(jìn)行求解是一種行之有效的方法。水平集理論是一種應(yīng)用隱式面法和基于水平集梯度的計(jì)算方法,其核心步驟重新初始化水平集保證了算法的穩(wěn)定性和收斂性。水平集算法廣泛應(yīng)用于界面演化、HJB方程的解、多相混合流等問(wèn)題中。本文利用該算法,對(duì)具體飛機(jī)的安全邊界進(jìn)行了計(jì)算。

2 安全邊界集及其計(jì)算

對(duì)于飛機(jī)系統(tǒng)的縱向四階狀態(tài)方程(8)

x=[V,γ,q,α], u=[T,δe]

(8)

假設(shè)條件自然滿(mǎn)足,不失一般性,取允許狀態(tài)空間范圍C為{Vmin,Vmax}×{γmin,γmax}×{qmin,qmax}×{αmin,αmax}圍成的超立方體域,控制輸入u為受極限限制{Tmin,Tmax}×{δemin,δemax}的矩形域。終端時(shí)刻T時(shí)的邊界條件取為

(9)

可見(jiàn),l(x)是凸集、Lipschitz連續(xù)的并滿(mǎn)足初始水平集條件,當(dāng)x∈C,l(x)≥0,x?C,l(x)<0,且也可以表征狀態(tài)點(diǎn)距邊界的最小距離函數(shù)。

根據(jù)方程(8)和邊界條件(9),解方程(6),計(jì)算所得的不變集S為飛機(jī)縱向方程的最大正不變集。即存在允許控制輸入u,使從集合S∈C內(nèi)出發(fā)的任意初始狀態(tài)都保持在集合S中。故,集合S可以認(rèn)為是飛行中允許進(jìn)入的最大可控安全包線(xiàn),稱(chēng)為安全邊界集。若因?yàn)榕及l(fā)問(wèn)題使飛行狀態(tài)落在此包線(xiàn)范圍外,飛機(jī)將不受控地超出允許的狀態(tài)集合C,從而引發(fā)安全問(wèn)題。按這種定義的安全集好處在于,比起常規(guī)的軟硬限制,集合S的邊界?S對(duì)應(yīng)于最大的可控制邊界,不會(huì)人為限制飛機(jī)的機(jī)動(dòng)能力,且其邊界包含所有飛機(jī)的狀態(tài)量,而不僅僅是迎角,能更全面地保護(hù)飛機(jī)飛行。

對(duì)于最優(yōu)控制u*,其取值為在某狀態(tài)下,最大化Hamilton函數(shù)時(shí)的值,即,

時(shí)的u。舉例來(lái)說(shuō),注意(7)式,最優(yōu)解T*為:

T*=

(10)

從形式上看,推力T具有不連續(xù)的切換特性,其對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是有害的。另外,上述計(jì)算邊界和最優(yōu)控制的方法中并沒(méi)有考慮舵機(jī)的特性[4],實(shí)際上,對(duì)于推力的增減和升降舵的偏轉(zhuǎn)來(lái)說(shuō),除了受到極限位置的制約外,還存在一定的延遲和速率限制,如圖2所示。

圖2 某客機(jī)的升降舵偏轉(zhuǎn)過(guò)程及其一階近似

由圖2 可見(jiàn),雖然現(xiàn)代客機(jī)的升降舵電液舵機(jī)具有高達(dá)70°/s的輸出速率,但仍然不可避免地出現(xiàn)延遲,推力的延遲作用則更加明顯。另外,舵面的初始位置也對(duì)安全邊界集存在影響。

根據(jù)該客機(jī)的舵機(jī)輸出特性,用一階延遲環(huán)節(jié)近似模擬舵機(jī)特性,如圖 2所示。增廣狀態(tài)x5=T,x6=δe,取適當(dāng)時(shí)間常數(shù)τT,τδe,補(bǔ)充方程

(11)

TC、δeC為推力、升降舵指令信號(hào),通常由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生,可以具有不連續(xù)的切換特性。轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)的形式為:

其穩(wěn)態(tài)靜增益為1。

聯(lián)立方程組(8)和(11),得其增廣狀態(tài)方程,即

(12)

終端邊界條件如(9)式報(bào)示,但須加上對(duì)T、δe的約束。

(13)

作為對(duì)比,利用水平集算法,分別對(duì)上述考慮舵機(jī)和不考慮舵機(jī)特性的2種情況進(jìn)行了計(jì)算。算例所用飛機(jī)是一架中短程支線(xiàn)客機(jī),重量63 T。計(jì)算域

對(duì)計(jì)算域離散9×12×15×13,8×21個(gè)網(wǎng)格。由于網(wǎng)格維數(shù)很高(增廣方程高達(dá)六維),限于計(jì)算能力,網(wǎng)格數(shù)設(shè)的不多。方程離散采用全局Lax-Friedrichs粘性格式(GLF)[5],空間導(dǎo)數(shù)離散為迎風(fēng)一階ENO2[5]格式,時(shí)間層上采用單步反向時(shí)間推進(jìn)。由于采用本質(zhì)無(wú)震蕩格式和水平集算法,其穩(wěn)定性和收斂性是可以得到保障的,即使每一維的網(wǎng)格數(shù)不多,也能取得較好的計(jì)算結(jié)果。

圖3至圖5分別顯示了不考慮舵機(jī)特性和考慮舵機(jī)特性的安全邊界集的計(jì)算結(jié)果。為了可視化,對(duì)高維(4、6維)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行切片,例如選?S(V,γ,q)(α=18°)進(jìn)行三維可視化數(shù)據(jù)分析。選取有代表性的結(jié)果,如圖3～圖5所示。

圖3 不考慮舵機(jī)特性的四階系統(tǒng)的不同迎角切片對(duì)應(yīng)的安全邊界集 圖4 考慮舵機(jī)特性的六階增廣系統(tǒng)在10 T推力、0°升降舵條件下不同迎角切片對(duì)應(yīng)的安全邊界集

圖5 不考慮舵機(jī)控制約束四階系統(tǒng)和考慮舵機(jī)控制約束的增廣系統(tǒng)的安全邊界對(duì)比

3 機(jī)動(dòng)邊界保護(hù)控制及其仿真

根據(jù)最大可控不變集S及其值函數(shù)V*、最優(yōu)控制u*,設(shè)計(jì)邊界保護(hù)控制如下:

u(x)=

(14)

upilotautopilot為原飛行員操縱指令或從自駕儀得到的指令,usafe=u*為保持狀態(tài)維持在安全集S內(nèi)的最優(yōu)控制。控制器結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 控制器結(jié)構(gòu)圖

為保證邊界保護(hù)控制不影響飛機(jī)的機(jī)動(dòng)性和操縱性,在集合S內(nèi),不對(duì)飛機(jī)的自由操縱進(jìn)行干預(yù)。在安全集S內(nèi)部的自由操縱不能保證狀態(tài)始終留在集合S內(nèi),故在安全集的邊界?S處,應(yīng)用計(jì)算所得的最優(yōu)控制,使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移指向S內(nèi)部,從而達(dá)到保護(hù)邊界的目的

從(14)式可以看出,在邊界?S,V*(x)=0附近,此時(shí)控制從自由控制到最優(yōu)控制間進(jìn)行切換,這使得控制量可能會(huì)不連續(xù)。如前所述,通過(guò)增廣,使這種不連續(xù)性轉(zhuǎn)移到其指令和一階導(dǎo)數(shù)中,從而保證了真實(shí)控制量舵面和推力的連續(xù)性,消除了抖振。

根據(jù)式(7),得安全邊界保護(hù)控制的具體形式為:

usafe(x)=u*(x)={TC={Tmax, p5>0

Tmax, p5≤0

δeC={δemax, p6>0

δemin, p6≤0

(15)

圖7、圖8顯示了從某初始狀態(tài)和控制條件下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移的軌線(xiàn)?？梢?jiàn),安全邊界控制器有效保護(hù)了飛行參數(shù)在既定的安全邊界內(nèi),并且?guī)缀鯇?duì)飛機(jī)機(jī)動(dòng)性沒(méi)有任何影響,也不干擾正常飛行員駕駛過(guò)程,僅僅提供飛行包線(xiàn)的邊界保護(hù)功能。從控制量角度看,如圖9所示,含舵機(jī)特性的增廣系統(tǒng)控制方案消除了控制量的不連續(xù)和抖振,舵面和推力都在約束條件內(nèi),從而具備了工程上的實(shí)用性。

圖7 包含與不包含邊界保護(hù)控制器的狀態(tài)時(shí)間歷程

圖8 包含與不包含邊界保護(hù)控制器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移

圖9 邊界保護(hù)控制器和無(wú)邊界保護(hù)的控制器的控制量時(shí)間歷程

4 結(jié) 論

參考文獻(xiàn)：

[1] Robert C A, Harry G K. Maneuverablility and Envelope Protection in the Prevention of Aircraft Loss of Control[C]∥ASCC Conference on Control, 2011: 381-386

[2] Feuer A, Heymann M. Invariance in Control Systems with Bounded Controls[J]. Journal of Mathmatical Analysis and Applications, 1976, 53: 266-276

[3] Lygeros John. Controllers for Reachability Specifications for Hybrid Systems[J]. Automatic, 1999, 35: 349-370

[4] Robert C A, Harry G K. Safe Set Protection and Restoration for Unimpaired and Impaired Aircraft[J]. Guidance, Navigation and Control, 2012, 3: 817-820

[5] Osher Stanley. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces[M]. USA, New York, Springer, 2005

[6] 解學(xué)書(shū). 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用[M]. 北京:清華大學(xué),1986

Xie Xueshu. The Application and Theory on Optimal Control Systems[M]. Beijing: Tsinghua University,1986 (in Chinese)

[7] Lygeros John. On Reachability and Minimum Cost Optimal Control[J]. Automatic, 2004, 40: 917-927

[8] Lygeros John. A Game Theoretic Approach to Controller Design for Hybrid Systems[J]. Proceeding of IEEE, 2000, 7: 949-970