賀麗

(江蘇科技大學(xué)張家港校區(qū)基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇張家港215600)

超流是凝聚態(tài)物理中一類重要的宏觀量子現(xiàn)象，其本質(zhì)是大量粒子在集體運(yùn)動(dòng)中所表現(xiàn)出的相位相干性.在三維玻色系統(tǒng)中(如液氦、冷原子氣體等)，超流總伴隨著玻色-愛因斯坦凝聚的發(fā)生［1-3］，而博戈留波夫方法是理解這類物理系統(tǒng)最基本的理論工具.該方法不僅適用于平衡態(tài)性質(zhì)的描述，還可以用于處理非平衡的穩(wěn)態(tài).文中利用博戈留波夫方法求解了以一定速度流動(dòng)的玻色超流體的準(zhǔn)粒子譜，并根據(jù)色散關(guān)系的正定性給出了超流穩(wěn)定性條件.當(dāng)體系具有伽利略不變性時(shí)，該條件即等價(jià)于朗道判據(jù).而當(dāng)伽利略不變性不滿足時(shí)，朗道判據(jù)不再成立，超流穩(wěn)定性只能通過準(zhǔn)粒子的激發(fā)譜來判斷.我們通過具體模型的計(jì)算，分別討論了上述兩種不同情形下的超流臨界速度.

1 流動(dòng)狀態(tài)下的準(zhǔn)粒子激發(fā)

從描述相互作用玻色系統(tǒng)的一般性哈密頓量出發(fā)，其二次量子化形式為

考慮玻色超流體以速度v流動(dòng)，有宏觀數(shù)目為N0個(gè)的粒子占據(jù)在動(dòng)量為p0的態(tài)上，形成玻色愛因斯坦凝聚，p0滿足(?p∈p)p=p0=v.由于相互作用造成的粒子間的散射，即使在零溫，凝聚粒子數(shù)N0也會(huì)小于系統(tǒng)總粒子數(shù)N，而占據(jù)p≠p0態(tài)的非凝聚粒子被稱為量子虧缺(quantum depletion).虧缺部分與凝聚部分之和滿足總粒子數(shù)守恒.

文中僅限于討論零溫的情況，即虧缺部分全部由量子漲落提供，而沒有熱激發(fā)的貢獻(xiàn).

當(dāng)相互作用較弱時(shí)，可以用博戈留波夫理論處理該系統(tǒng).由于凝聚粒子數(shù)目為宏觀量級(jí)N0?1，可以合理地將動(dòng)量p0對(duì)應(yīng)的算符用常數(shù)來代替，ap0≈a≈，而非凝聚部分的貢獻(xiàn)則可視為漲落效應(yīng)，對(duì)于p≠p0的算符保留至二階，可將哈密頓量近似為［1］:

當(dāng)正則變換系數(shù)滿足下述關(guān)系時(shí)，

哈密頓量可以寫為對(duì)角化形式:

式中準(zhǔn)粒子能量為:

式(4～7)實(shí)際上是玻色超流體博戈留波夫理論的一般性結(jié)果，當(dāng)取v=0時(shí)(即p0處于能譜∈p最小值點(diǎn)時(shí))該結(jié)果對(duì)應(yīng)于平衡態(tài)的情形［1］，而當(dāng)v為有限大小時(shí)則描述的是流速恒定的穩(wěn)態(tài).

在準(zhǔn)粒子表象下，容易求得非凝聚原子(即量子虧缺)的數(shù)目，當(dāng)不產(chǎn)生準(zhǔn)粒子激發(fā)時(shí)，可以得到

只要相互作用足夠弱，非凝聚粒子數(shù)目總是占很小的比例，即Ndpl?N，這一關(guān)系保證了博戈留波夫前提假設(shè)的自洽性.

2 超流穩(wěn)定性

穩(wěn)定的超流態(tài)可以無阻尼的流動(dòng)，這種情形對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)粒子的真空態(tài).當(dāng)體系出現(xiàn)準(zhǔn)粒子激發(fā)時(shí)，準(zhǔn)粒子與外部(包括器壁、雜質(zhì)等)的碰撞會(huì)造成系統(tǒng)能量和動(dòng)量的損失，從而產(chǎn)生耗散［23］.因此，超流的穩(wěn)定性要求準(zhǔn)粒子能譜必須是恒正的，即穩(wěn)定性條件可一般寫為:

顯然，當(dāng)流速v足夠大時(shí)，上述條件必然會(huì)被破壞，故存在一個(gè)超流穩(wěn)態(tài)的速度上限，即臨界速度vc.

2.1 伽利略不變性與朗道判據(jù)

當(dāng)單粒子能譜取為通常的自由原子的色散關(guān)系∈p=p2/(2m)時(shí)，體系的流速與凝聚動(dòng)量滿足v= p0/m，而公式(7)中的準(zhǔn)粒子能量可簡(jiǎn)化為:

顯然，對(duì)于給定的流速v，最容易造成不穩(wěn)定的動(dòng)量出現(xiàn)在與v相反的方向，因此超流穩(wěn)定條件又可進(jìn)一步寫為:

這正是最早由朗道提出的超流判據(jù)［23］.與前面的微觀理論推導(dǎo)不同，朗道在提出該判據(jù)時(shí)直接采用了系統(tǒng)具有伽利略不變性這一特征，從而得到了流動(dòng)體系與靜止體系的準(zhǔn)粒子譜關(guān)系為E= E+q·v，即公式(10)的結(jié)果.當(dāng)朗道判據(jù)取等號(hào)時(shí)所對(duì)應(yīng)的速度即為該系統(tǒng)的超流臨界速度vc.

圖1為當(dāng)系統(tǒng)具有伽利略不變性時(shí)，玻色超流體在不同流速下的準(zhǔn)粒子譜.通過兩個(gè)實(shí)例給出了當(dāng)相互作用勢(shì)取不同形式時(shí)流動(dòng)狀態(tài)下的準(zhǔn)粒子色散關(guān)系及相應(yīng)的臨界速度.圖1a)取接觸相互作用勢(shì)Uq=U0，超流臨界速度即為聲子的速度，vc=c≡;圖1b)取含動(dòng)量線性依賴的相互作用勢(shì)Uq=U0+U'q，此處取U'=0.98)當(dāng)相互作用滿足1＜U'＜2時(shí)，準(zhǔn)粒子的色散譜會(huì)出現(xiàn)一個(gè)能量局域極小的旋子激發(fā)，此時(shí)超流臨界速度由旋子決定，vc=Δrot/qrot，其中，qrot=［3mnU'+/2和Δrot= n分別為靜止情況下的旋子動(dòng)量和旋子能隙.

圖1 玻包超流體在不同流速下的準(zhǔn)粒子譜Fig.1 Quasi-particle spectrum of bosonic superfluid w ith different velocity

需要強(qiáng)調(diào)的是，在這兩個(gè)例子中朗道判據(jù)與超流穩(wěn)定性條件一致是單粒子哈密頓量滿足伽利略不變性的結(jié)果.當(dāng)這一前提條件不成立時(shí)，朗道判據(jù)原則上不再適用，超流的穩(wěn)定性條件以及臨界速度只能由更為普適的公式(9)給出.

2.2 存在自旋－軌道耦合時(shí)的超流臨界速度

近來，具有自旋-軌道耦合效應(yīng)的玻色-愛因斯坦凝聚成為冷原子物理中的一個(gè)研究熱點(diǎn)［4-5］.在這個(gè)系統(tǒng)中，由于自旋自由度與軌道自由度之間的糾纏，伽利略不變性是不被滿足的.在目前所廣泛采用的實(shí)驗(yàn)方案中，自旋-軌道耦合效應(yīng)是借助拉曼光的雙光子躍遷來實(shí)現(xiàn)的［6-8］.通過這種耦合光場(chǎng)作用，在沿拉曼光方向上最低能帶的單粒子色散關(guān)系被調(diào)制為

式中:kr為反沖動(dòng)量;Ω為拉曼耦合強(qiáng)度;δ為拉曼失諧.實(shí)驗(yàn)中這3個(gè)量都是連續(xù)可調(diào)的參數(shù)，在不同參數(shù)條件下，可以人為地控制單粒子能譜的色散行為.這里重點(diǎn)關(guān)注物理上最有興趣的一種情況，即Ω=2k/m，δ=0的情形，此時(shí)單粒子能譜在小動(dòng)量時(shí)呈現(xiàn)出四次方的色散關(guān)系(選擇適當(dāng)?shù)哪芰苛泓c(diǎn))，

超流穩(wěn)定性的必要條件是沿凝聚動(dòng)量反方向傳播的聲子激發(fā)能量恒正，由此臨界失穩(wěn)的凝聚動(dòng)量大小為p0c=(6U0nmk)1/4.再代入速度動(dòng)量關(guān)系，即可求得體系的超流臨界速度

圖2 自旋－耦合玻色氣體的超流穩(wěn)定性Fig.2 Superfluid stability of Bose gasw ith spin-orbit coupling

這個(gè)有限大小的臨界速度從一個(gè)側(cè)面說明了朗道判據(jù)的失效.這是因?yàn)?，?duì)于靜止的凝聚體而言(p0=0)，準(zhǔn)粒子色散譜在長波極限下的聲速為零，即min(?p∈p)=0，如果按朗道判據(jù)則會(huì)給出臨界速度為零的錯(cuò)誤結(jié)論.這里朗道判據(jù)不適用的物理原因正是由于體系不具有伽利略不變性導(dǎo)致的.

在上述簡(jiǎn)化模型的處理中，假定了決定體系穩(wěn)定性的準(zhǔn)粒子激發(fā)總是出現(xiàn)在由公式(14)描述的小動(dòng)量區(qū)間內(nèi)，而高階修正可以忽略不計(jì)，此外也沒有考慮相互作用勢(shì)對(duì)動(dòng)量的依賴關(guān)系.計(jì)入這些因素后，可以發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)相互作用較弱時(shí)超流的穩(wěn)定性才是由聲子決定的［9］，而當(dāng)相互作用較強(qiáng)時(shí)最先失穩(wěn)的是旋子激發(fā).采用文獻(xiàn)［9-10］中給出的方法，在不做簡(jiǎn)化的情況下計(jì)算了臨界速度隨相互作用強(qiáng)度的變化關(guān)系，如圖2b)所示.可以看到，從簡(jiǎn)化模型推出的公式(15)在弱相互作用條件下定量上符合得很好，這個(gè)公式為之前的數(shù)值計(jì)算提供了解析上的漸進(jìn)形式.

3 結(jié)論

文中用博戈留波夫方法推導(dǎo)了流動(dòng)狀態(tài)下玻色-愛因斯坦凝聚的準(zhǔn)粒子激發(fā)譜，并根據(jù)激發(fā)譜的正定性要求得到了超流穩(wěn)定性條件.當(dāng)體系哈密頓量滿足伽利略不變性時(shí)，該穩(wěn)定性條件與朗道判據(jù)等價(jià);而當(dāng)體系不具有伽利略不變性時(shí)，朗道判據(jù)不再適用，超流的穩(wěn)定性則需根據(jù)準(zhǔn)粒子譜來確定.作為一個(gè)實(shí)例，計(jì)算了存在自旋-軌道耦合時(shí)玻色氣體在一種特殊情況下的超流臨界速度，并推導(dǎo)出臨界速度在相互作用較弱時(shí)的漸進(jìn)表達(dá)式.

References)

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